Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пример 4.13. Найдем интеграл от функции ез~/(1+ег). Используя замену 1 = ге (й = с*ах), получаем 4.3. Экеыоыеыыиааыиае и гиыербоыичесние фуикции 165 нал альных дробей (см. 2.3): 1 1 А В М»+Р 2 + + 2 »(1+»+»2+»3)»(1+»)(1+»~)» 1+» 1+» 11 вводя правую часть этого равенства к общему знаменателю, 0рн получаем 1 = А(1+»)(1+»2) + В»(1+»2) + (М»+ Р)»(1+»). (4.13) 11олагая»=О и»=-1, находим соответственно А=1 и В= --1/2. Для определения коэффициентов М и Р приравняем яо2ффициенты при»з и»2 в правой и левой частях (4,13) и нолучим систему двук уравнений А+В+М=О, А+М+Р=О. Отсюда М = Р= -1/2. Таким образом, ГИ» Г ~Ь Г»+1 1=6/ 3/ 3/ 2И»= / / 1+ / 1+»г = 6 !⻠— 3! п(1+») — - 1п(1+»2) — 3 агс26»+ С = 3 2 Интегралы вида "е®но преобразовать аналогично интегралам от тригонометрических функций.
Например, для первого из зтнх интегралов е'кно применить так называемую универсальную подстановку 2Ь(х/2) и, учитывая известные формулы с" х-еЬ2х =1, вЬ2х = 2еЬх сЬх, сЬ2х = сЬ2х+еЬ»х, 166 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ получить 2вЬ(х/2) сЬ(х/2) 2й(х/2) 21 сЬз(х/2) — вЬз(х/2) 1 — 1Ьз(х/2) 1 — 1з' сЬз(х/2)+вЬз(х/2) 1+1Ьз(х/2) 1+1з сЬх сЬ~(х/2) — вЬ~(х/2) 1 — йз(х/2) 1 — Р ' еЬ 1 — ьЬ~(х/2) 2 й 2сЬ~(х/2) 2 1 — 1з Следовательно, | /' ( й 1+1з~ й /' В(вЬх, сЬх)дх=2 В( —, — ) — = ~В1фй ./ ~1-1з' 1 — 1з) 1 — 1з ./ Подстановке $ = ьЦх/2) (как и рассмотренной в 4.1 подстановке 1 = 16(х/2)) можно дать геометрическое толкование. Текущему значению переменного интегрирования х на координатной плоскости УОи соответствует точка М с абсциссой е = сЬх и ординатой и= вйх Эта точка лежит на ветви гиперболы (рис.
4.2). Из подобия треугольников АВМ н ОВЮ следует, что Рис. 4.3 2вЦх/2) сЦх/2) ОВ ОВ АМ вЬх 0.0 — — — — — —— 1 ОВ АВ 1+ сЬх 2сЬз(х/2) т.е.ординататочки В равна й(х/2). Придвиженииточки по гиперболе новое переменное интегрирования $ измеыяетс" в интервале (-1, 1). где В1(1) — рациональная функция нового переменного инте- грирования 1. 4.3. Экспоыеыцыекъыьее ы гыперболыческые фуыкцып 167 В ковкретных случаях вместо уииверсальиой подстановки ч асто быстрее к цели можно прийти при помощи замен сЬх, 2=9Ьх и 2= ФЬх. Первые две из иих удобны, если' ио одынтегральнал функция нечетна относительно вЬх и сЬх оответственно, а последняя — если подынтегральиал функция четна по совокупности аргумевтов вЬх и сЬх.
Пример 4.15. а. Для подынтегральиой функции сЬ2х/9Ьзх ири именем универсальную подстановку $ = 2Ь(х/2) и получим 1 Г (1 + $2)21!2 1 1 22 ьз 822 2 8 = — — + - !и !2! + — + С = 11 — 2~ 1 сЬх 1 ! х! — — + -!и !1!+С= — + -!в~ФЬ вЂ” ~+С. 2 (22)2 2 29Ь2х 2 ! 2~ б. Примеиевие универсальной подстановки к подыитегральной функции вЬех сЬзх приводит к громоздким выкладкам. Поскольку зта функция является нечетной относительно сЬх, используем замену $=9Ьх (й=сЬхьЬ) и вычислим | вь * ь *ь*=|(~ь ь *)вь * ь ь= — (1+ Ф ) 2 И = — + — + С = -9Ь х+ — вЬ х + С. 2 е 2 ~ ! 9 1 11 9 11 9 11 и Числитель подыитегральной функции 29Ьх+ЗсЬх 49Ь х+ бсЬ х Ф редставим в виде липецкое комбикации знаменателя и произ- ее диои знамеиателя: 29Ь х + 3сЬ х = А(49Ь х+ 5сЬ х) + В(4сЬ х+ 59Ь х). 168 4.
ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ Приравнивая козффициенты при вЬх и сЬх, получаем д уравнения для определения козффициентов А и В: 4А+ 5В = 2 и 5А+ 4В = 3. Отсюда А= 7/9 и В = -2/9. Следовательно, | 2вЬх+ЗсЬх 7 Г 2 ГИ(4вЬх+5сЬх) Ых=- / ах — -~ 4вЬх+5сЬх 9,/ 9/ 4вЬх+5сЬх = — — -)п(4вЬх+5сЬх) +С.
7х 2 9 9 г. Для четной относительно сЬх подынтегральной функ. ции сЬ х вместо возможной подстановки 1= Йх целесообраз. но дважды применить формулу понижения показателя степени в виде сЬх х = (1+ сЬ2х)/2. Тогда получим сЬ~х дх ж - / (1+сЬ 2х) Пх = -~ (1+2 сЬ 2х+-+-сЬ 4х) бх = 4,/ = — + -вЬ 2х+ — вЬ 4х+ С. Зх 1 1 8 4 32 Второй интеграл в (4.14) можно привести к интегралу от — вЬ~х дифференциального бинома подстановками 1 = вЬх, 1 = вЬ х, 1=сЬх или 1=сЬхх.
Так, приняв 1=вЬзх (~И=2вЬхсЬхс1х), запишем а 1-'('(1+1)-'l' Ь Ь 1 б1. Тогда получим интеграл Г' = ~вЬ"хсЬехах=- 111 -')Г'(1+1)~ -')Г'а, аналогичный (4.7). Этот интеграл можно выразить чере' злементарные функции в тех же трех случаях: когда хо а хотя 6" е.З. Экепоиеипмееъжее и гмпербеиичееиие функции 169 один и иэ показателей степеней п2 или у является нечетным нел ым числом или в сумме они дают четное целое число.
Пример 4.18. Функцию ~/сих = ~'— ), показатели степ пени в которой в сумме дают нуль (четное целое число), М ожно проинтегрировать в элементарных функциях. В данном учяе удобно применить подстановку $ = ~/спх. Тогда с слу 2 2 4 уче етом равенства 1/сй2 х = 1 — $й2 х = 1 -1 находим 1 Нх 1 — с4 21й Й= — = — Нх и Нх= —. 24Ьх сй~х 21 1 — 14 Таким образом, Г сзс11 Г й Г Й$ 1 1+1 ДЬхИХ=2/ — = / — — / — = -)и —— / 1-~ / 1-12 / 1~.Р = 2 — агсс81+Сее -1п — агссдчьЪх+С, х) О.
1 1+ ДГХ 2 1 — сЯм Здесь знак абсолютной величины для аргумента логарифмической функции опущен, поскольку 1= ЛЬх = Е (О, 1) Ух ) О. ее+ е-* Позтому (1+1)/(1 — 1) >0 при всех х) О. ф Формулы приведения вида (4.8) — (4.11) позволяют выразить Г;„, через такие же интегралы, но с ббльшими или меньшими показателями степеней: 8Ь х сЬ х и+у+2~, ~ 1 (4 16) 8п + х сп +'х т+д+2Г, -6-1; (4.16) Ге 8Ь Х СЬ Х Д вЂ” Ге ~ (4 17) п2+ у п2+ е Г' Г' д ~ -п2.
(4.18) еп+е п2+о ~ 170 а ИНТ'о1 РЛЛЫ ОТ' ТРАНС!!ПНД~!ПНЬ!Д ФУН!Е1!ИО В случае, когда оба показателя степени го и д явля» ся целыми числами, последовательное применение зтих форм „ позволяет привест п ивести 1' либо к одному из табличных еее, гралое, либо к интегралам | Их !' ~Ь ~ 4е*) вЬх ! е — е ./ (ее)з — 1 | е З Пример 4.17.' Для интегрирования функции сЬ х/вЬ х, нечетной относительно еЬх, пригодна подстановка 1= сЬх, ио удобнее последовательно приыепить формулы приведения (4.16) и (4.1Т): | — ох = — — + — / — их = — сЬ х+ сЬ~* сЬ~ х 3 сЬ~ х 1+ вЬ~ х еЬзх 2вЬзх 2 / еЬх 2вЬзх 3 сЬзх 3 !сЬзхЫх 1+еЬзх +- — +-/ Их= — сЬх+ 2 3 2/ еЬх 2вЬ х 3 / 1+вЬ~х сЬх 3 ~ х~ П и вычислении интегралов от произведений гиперболических сииусов и косинусов различных аргументов целесоо раз р в ооб ие использовать формулы вЬахсЬ11х= -~вЬ(а+11)х+вЬ(а-,б)х), 1~ 2 1г вЬ ах еЬ,Ох = — ~сЬ(а+ 6)х — сЬ(а — 6)х), й сЬах сЬбх = -~сЬ(а+ ф)х+ сЬ(а — Ях).
1к 2 4А. Раавичыые трансцевлеатхме вмрааеаы 171 т1рнмер 4.18. Функцию вЬхвЬ2хвЬЗх перед иитегриро~ием преобразуем последовательно к виду 1 1 Ьх вЬ2х вЬЗх = -(сЬ4х — сЬ2х) вЬ2х = -(вЬбх -вЬ2х — вЬ4х). 2 4 Зогда и~~у~им сЬ6х сЬ4х сЬ2х вЬ х вЬ2х вЬ Зх Их = — — — — — + С. 24 16 8 4.4. Различные трансцендентные выражения Для большинства выражений, содержащих траисцендентвне функции, не удается установить общие правила интегрироваиия.
В таких случаях вычисление интеграла (если оио вообще возможно) обычно связано с подбором подходящей замеяы переменного или испольэоваиием иитегрировавия яо частям. Однако можно выделить иесколько типов траисцеидевтиых выражений, для которых существуют общие приемы яитегрировавия. Наиболее простыми и часто встречающимися типами таких выражений являются произведевия миогочлена и экспопеициальиой, логарифмической, триговометрической или обРатной тригоиометрической функций. Ясно, что интеграл от произведеиия мвогочлева Р„(х) жаох" +а1х" '+...+а„1х+а„, во~О степеии в Е Р1 и любой трансцендентной функции в общем случае можно представить как сумму ивтеграла от этой функции и " иитегралов от произведений данной функции иа натуральные степеии перемевиого иитегрироваиия х. Поэтому целесообразо Рассмотреть подыптегральяые функции вида х"Дх), где (в) — некоторая трансцендентная фуикция.
1 сли ~(х) = е — эксповевциальвая фуикция, то интеграл х"е* при помощи рекурреитвой формулы, полученной 172 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ интегрированием по частям, можно представить в виде (1.22), К этому случаю нетрудно свести интегрирование функция ХвСВХ И Х"В!1Х. В более сложных случаях !1(х) =е'асовЬх и /~(х) =е'*в[вЬ иитегрированием по частям (по аналогии с примером 1.14) в ! = х"е™совЬхах = — е' совЬх — — ох е совЬхах— х е сов х хаа — '* в-1 аа хе совх х —— а,/ хв, в хве ~-Ьв1вЬ, )<Ь= — с Ьх — — ~в 1+-1„, а а аа ° в хвеаав1пЬхах= — еаав1вЬх — — ~ пх е в1пЬхах— в-1 аа а а„! 1 хв .
В Ь аа ° — х — ве' ЬсовЬхах = — е в1пЬх — — 1в 1 — -1а а а а получим систему двух уравнений относительно интегралов !а и,7в, решение которой приводит к рекуррентвым формулам васовЬх+Ывх, в аг + Ьг аг + Ьг ~ 7 в ав!в Ьх — Ьсовх, в е'а — — (а,7„1 — И„1) . аг + Ьг аг + Ьг Эти формулы позволяют по известным интегралам о 1 и 7в от фуикций ~1(х) =е совЬх и ~г(х)=е в1пЬх (см. пример 1.14), последовательно увеличивал показатель степени и До требуемого значения, проинтегрировать функци ,~1( ) х"Уг(х) ° 4.4. Реввычыые траыецеыдеытыые выражеыыв Из этих же рекуррентиых формул при а= О ( ь ) а=О гевеь11 пепоср едствепио следуют формулы для интегралов | / в-г в "соайх~Ь = — а1пх — — х а1пбх~Ь, | Хв в-1 х ипахНх — — — соах+ — х соаохох. ь| 3 результате интегрирования по частям вычисление инте- алов от функций хв агса1п(х/а) и хв агссоа(х/а) сводится гралов от ж его к иптегр р ироваиию иррационального выражения, содер ащ радикал а — х, ъ~ У вЂ” е тогдакак для интегралов от хвагс1и(х/а) и х агсс$~(х/а) такой путь ведет к интегрированию рациональяой функции переменного интегрирования х.
В случае Дх) = 1пх интегрирование по частям приводит к простой формуле | в+1 1 Г (1Х хп+ъ 1 х пх х= — — — / апри г'(х) =!п'вх (тф-1) получаем рекуррептиую формулу | хв+г 1п"'х и+1 а+1„~ Если в подыитегральном выражении сомножителем трансцеидентной функции дх) является рациональиал функция в(х), то после выделения из В(х) целой части и разложеяия оегавшейся правильной рациональной дроби иа простеишие Придем к интегралам вида | У(~) Нх У(х)(их+я) Ь )Х, в И |,2 „, )в, Е Р.
астиым случаем этих интегралов является интеграл от функ- И У(х)/хв (и Е И). Рассмотрим этот случай подробнее. 174 а ИитигРлЛЫ от трдисцпидпнтНЫх ФЬНКЦИй Если /(х) = !их, то нетрудно установить, что !п2х — +С, в=1; 2 1 г 1 ~ — +!вх) +С, оф 1, (и — 1)х"-1 ~~ — 1 анри Дх)=!и х (~в~-1, вф1) достаточнов(4.19)сменит знак перед а. Прн в=1 получим | !в~+' х — ~Ь= +С, т~ — 1. х 1в+1 В случае и ) 1 через элементарные функции можно выра. зить интегралы, в которых у(х) является обратной тригоно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
