Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Он соответствует расстоянию пройденному за промежуток времени ех точкой, которая дви жется с постоянной скоростью, равной ее значению и(1) в мо мент времени 1. В случае й > 0 знак дифференциала пл(~) в момент времени 8 зависит отзнака скорости п(1), вычислен ной в тот же момент времени. У аЬВА, ограниченной графа М ком этой функции и име. ющей в основании отрезок (а,й), заключено между зна.
чениями ш(5 — а) и М(5 — е) площадей прямоугольников ев абВ~А1 и айВзАз соответ- О в ственно (рис. 5.6). Интегралу Ньютона можРис. в.в но дать и механическую интерпретацию. Пусть точка движется прямолинейно и в момент времени 1 имеет мгновенную скорость о(1) (П). Еслв текущее положение точки характеризовать расстоянием л($), отсчитываемым вдоль направления движения от ее начального положения при С = 8о, то для мгновенной скорости получаем о(1) = л'(й) = Ил(й)/Й, т.е.
л(1) является одной из первообраэных функции о($). Тогда интеграл с переменным верхним пределом 201 аб. Иытерпретаыии иытеграаа Ныотоыа 3а отРезок вРемени 1со, 1,) точка пРойдет Расстолние л, = сс(т) Йт. (5.29) При зтом средняя скорость точки за этот отрезок времени составит с, л, 1 Г е, = ' = ~ и(т)с1т. с -со с — 1о се е(с) = сс(со) + в(т) сст, (5.30) где е(8о) — скорость точки в момент времени 1о. За отрезок времени [со, 1,] приращение скорости точки составит с.
Асс = сс(1,) — сс(1о) = а(т) й, где сс(Ф ) — скорость точки в момент времени Ф,. Это еще одна нз возможных механических трактовок интеграла Ньютона. Пример 5.7. Найдем закон прямолинейного движения гоч"н с постоянным ускорением а = совеФ. Пройденное точкой моменту времени 1 расстояние в(с) будем отсчитывать от "омента времени со = О, в который точка имеет скорость ссо. Ясно, что при равномерном движении точки со скоростью сс = = соней средняя скорость за любой отрезок времени совпадает со скоростью равномерного движения, т.е. сс = о. Поскольку между скоростью точки и ее ускорением а(с) существует зависимость а(с) = сссс(с)/Й, т.е.
скорость является первообразной функции а($), то, согласно (5.21), можно написать с 202 а интеГРАл ньютОнА Тогда, согласно (5.30), скорость точки в текущий момент вре. мени $ будет равна (( о(() = по+ адг = по+ ат~ = во+ аФ, о о а пройденное ею расстояние, согласно (5.28), ( а 1( а з(й)= /(юв+ю)и~= [а~+- ) =юай+-й . 2 !о 2 (ь В частности, при падении тела в пустоте с постоянным ускорением а = у, если движение началось из состояния покоя (оо = О), скорость тела о(Ф) = уй,. а пройденное им расстояние г(й) = уР/2. б.Т. Способы вычисления интеграла Ньютона Применение формулы (5.3) Ньютона — Лейбница для вычисления интеграла Ньютонаот функции ~(х) по отрезку [а, 6) требует знания на [а, в) первообрагной г'(х) этой функции.
При нахождении первообрэзной мы применяли интегрирование подведением под энак дифференциала, подстановкой, заменой переменного и по частям (см. 1). Те же приемы используют и при вычислении интеграла Ньютона, но при этом следует учитывать некоторые особенности, связанные со свойствами подынтггральных функций. Сформулируем н докажем теорему о замене переменного и интеграле Ньютона. Теорема 5.3. Пусть наотрезке [о,)3) определена сложная функция ~(у(г)), а функция х = у(1) непрерывна на этом отрезке и дифференцируема в интервале (о„б). Если функция $.7.
Способы вычнсгенкв ннтеграга Ньютона 203 ь Р ~й*)~*-~/(ая)уяв (5.31) 4 Согласно правилу дид1д)гргниирования сложной у)дикции, (Р'(у(Ф))), = ~(д(С)) у'(1). Следовательно, фуикцив Р(у(1)) лвлввтси одной из первообразиых функции /(у($)) у'($) па отрезке 1©,,у]. Позтому к интегралу в правой части (5.31) можно прииеиить формулу (5.3) Ньютона — Лейбница и записать ~ ПюЮ)ЮЮс=~(юЮ)-~(у( )) =~(И-~( ). Но тот же результат получим и применив (5.3) к интегралу в левой части (5.31), что доказывает справедливость (5.31).
> Как и при иахождеиии неопределенного интеграла, если подмнтегральног выражение представимо в виде ~(у($))у'($) Й, то производную у'(1) можно подвести под знак диффереициа Р Р ~уИПаФв= ~ХМ(~)) ~ЬР)) а а Обозначив у($) = х, придем к равеиству ~у(др))д(цс ~у(др))н~др))- (у(*)н*, (Бзз) Де а=у(а) и Ь=у(б). Взтомслучаеговорвт,чтовивтеграле ьютоиа сделана подстановка. Важио цодчеркиуть, что в отличие от неопределенного ии~грала, при вычислении которого ва заключительиом зтапе у(х) имеет иаотрезке 1а,Ь]=у(1а„б]),где а=д(а) и Ь=д(Я, пгрвообраэндю Г(х), то 204 Я. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА необходимо вернуться к первоначальному переменному инте.
грирования, при использовании (5.31) и (5.32) для вычисления интеграла Ньютона этого делать не нужно, поскольку полу ченное число в силу теоремы 5.3 равно значению интегралов в обеих частях этих формул. Пример 5.8. а. Вычислим интеграл Ньютона от функции хек на отрезке [0>2]. Для этого используем подведение под знак дифференциала с последующим использованием формулы (5.3) Ньютона — Лейбница: г л | хе'х=1 Гаг г 1 Г~ 1>! е — 1 хех Ых = - / е' >1(х ) = - / е Й = -е ~ 2/ 2/ 2 !о 2 о о о б.
Чтобы вычислить интеграл Ньютона от функции Г(х) = = ~/~~-! на отрезке (а,6] при а=О и 6=(в2, сделаем замену переменного 1=>/Р-Т. При этом в (5.31) имеем х= у($) = =!п(1+гг)> <Ь=2$Й/(1+1г)> значению а=О переменного х соответствует значение а = 0 переменного Ф, а значению 6 = = !п2 соответствует значение >О = 1.
Используя >пабличкмо ив>веграл 13 (см. 1.4), находим мг 1 | Г 21Й Ггг+1 — 1 ~/е — Их = / $ — = 2 / Й = 1+1 1+1 о о о 1 1 Г Й !! и = 2 Й вЂ” 2 / — = 2$~ — 2агсг51~ = 2 — —. ,/ 1+8 !о 2 о о в. При нахождении интеграла Ньютона от функции У(х) = = 1/((х - 1)~/хг+ 1] на отрезке !2,3] целесообразно сделать замену $ = 1/(х — 1) (см. замечание 3.4).
Тогда в (5.31) будем иметь х = у($) = 1+ 1/$, >Гх = -Й/гг, а пределы интегрирования а= 2 и 6= 3 изменят значения на а=1 и о = / Р= 1/2 205 бХ Способы вычпслспив !ппегрвпв Ньютона боот ветственно. С учетом табличного интеграла 16 получим 1/З | а-!)!!*!!! / Й!Д1~-щ!.!.! ! l!! .!.2й-';1 1 1/3 1/3 Пусть четпзл функция !р(1) имеет первообразную на отрезке [се, !6]. Проведем замену переменного 1 = -х (й = -Ых, х= -1). В этом случае новому переменному х соответствуют пределы аса — а и 5=-//. Поскольку для четной функции !р(-$) = !р(Ф), то в силу (5.31) и свойства 1' (см. 5.3) смены знака определенного интеграла при перестановке пределов, запишем Ф -й а -а -а | !р(Ф) й = р(-х)(-йх) = !р(-х) йх = 4р(-С) й = (р(1) й. а -а -й -й -й Таким образом, интегралы Ньютона от четной функции по отРезкам [!з,/у] и [-,о, -а], симметричным относительно начала координат, равны.
Отсюда при а = 0 для четной функции !Р(1), имеющей на отрезке [О, ~8] первообразную, с учетом свойства (5.6) аддитивности интеграла Ньютона получаем Р о й й 1р(1) й = !рЯ й+ !р(1) й = 2 !рЯ а. (5.33) -й -й о 4ля нечетной функции ф(1), имеющей первообразную на отрезке [а, Д], та же замена переменного с учетом равенства Л ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА (5.35) Действительно, согласно, .
„ (5.6) запишем а +т д+т и+т Дй) Й = Я) Й+ ~Я Й а а д+т ) — ~(1) позволиет написать -а -й -а | ,~(,)~,,ь( 1)Й=- МЯЙ, -Ф -д -Р а -а Н От иечетиой функции по отрезкам т.е. интегралы ьютоиа от иеч р, ] мметричиым отиосительио о начала коо р. (6] 1А ] й ичиие, ио противоположны по инат, равны по абсолютиои величи дина, р еграл Ньютона от иечетвои функ зваку.
Следовательно, иитеграл му отиосительио начала коордиват отрезку ции по симметричвом~ о (-,6, а, Л] равев нулю. Д$) можно представить в виде суммы Любую функцию ~~ ~ мож о четной у($) и нечетной ф(1) функций (1-3.4]: =~($)+» ~) Ф()= () ( $) ( ) (а) + Ф( )' У(ф) 2 ' ( ) 2 Позтому длл л и уи юбо" ф икции Д1), имеющей первообразиую иа отрезке (-Д Я, с учетом (5.33) находим | ~~~+и ~а=|(ур~» у~-жал. р.з4) У(~)Й=2~ о о -и ДФ) с периодом Т имеет Если периодическаи фуикцил ... с р а+Т] то длл любого,д первообразиую иа отрезке (а, а+ ], е+Т О+Т у(Ф) Й = ДФ) Й. а Ф 2ОВ а ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА Пример 5.9.
Применим (5.36) для вычисления интеграла Ньютона от функции !пх по отроку [1, 3], положив и(х) =1пх и )Ь(х) =)Ь ()1и(х) =)1х/х и о(х) жх): | )3 1пхдх= х!пх] — / х — =31пЗ вЂ” 2. ,/ х Вопросн и задачи 5.1. Найти интегралы Ньютона на указанных отрезках от следующих функций, имеющих на этих отрезках первообраз ные, и изобразить соответствующие криволинейные трапеции: а) хз, [-1,2]; б) С5 х, ~ —,— ~; в) х — 2х +х — 1, [ — 1,Ц; г) 2*, [0,2]; д) —, [1,4]; е) ~~Гх! [-1, 1]; ж) —, [1,2]; «), )0,4); «), )«, !)! ) )1 — *), )«,2); 1 1 ««-~/Ы' ' ' * ~-««2' л) —, [е, е ]; м) агсв1пх, [О, -]; н) хагсг5х, [О, ~13]; х пх ..*. БЯ „,'...1Б 5.2. Объяснить, почему не верны равенства: 1 1 Г )Ь )г Г 1 1 )г х а) / — = 1и 1х1] = 0; б) / Ыагсг5 - = агсг5 -~ х х-г 2' -1 -1 2» в) | Их 1 15х ~з» = — агсс5 — ~ =О.
(2+ 15зх) совзх /2 )/2!о о 5.3. Можно ли в интеграле Ньютона от функции ху1-х зг х1 на отрезке [О, 3] провести замену переменного интегрировя' нил х=в1пг? 209 Вопросы и эвлачп 6.4. Доказать, что если функция /(х) имеет первообразную на отрезке (О, 1], то ьь/2 ьь/2 6.6. Применима ли подстановка 26х со 2 при вычислении ннтегрзла Ньютона от функции 1/(1+ еьпзх) на отрезке (0, х]2 6Я. Доказать, что если функция /(х) имеет на отрезке ]а, Ь] первсюбразную и /(а+ 2) = Х(Ь -1) Н Е (О, Ь - а], то Ь Ь х/(х) ьЬ = — / /(х) сьх. а+Ь Г 2 ./ 6.Т.
Вычислить интеграл от функции (1+х-1/х)е + /~ на отрезке (1/2, 2], используя подстановку х+ 1/х = $. 6.8. Доказать, что одна иэ первообраэных четной функции есть функция нечетная, а любая первообразнан нечетной функции есть функция четная. 6.9. Найти интеграл Ньютона на отрезке (О, 2] от функции х2, хб(0ь1]; У(х) = 2 — х, х Е (1, 2]. 6.10.
Доказать, что первообраэная периодической функции с периодом Т есть сумма линейной функции и периодической ФУнкции с тем же периодом. 6.11. Доказать, что для функции /'(х), имеющей на отрезке (е Ь] первообраэную, верно равенство 210 В. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА 6.12. Установить знак интегралов Ньютона (не вычисляя и„ значений) от функции хз2* на отрезке [-2, 2] и от функция хз!пх на отрезке [1/2, 1]. 6.13. Доказать, что при и, т Е Е интегралы на отрезке [ — х, х] отфункций в!пххв!птх (гафт), совйхсовтх (гафт) и в!пххсовтх равны нулю. 6.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
