Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 26
Текст из файла (страница 26)
4 2п 4пэ Определение 6.5. Разбиение Т' отрезка [а, 5] называют нзмельчением разбиения Т этого оепрезма, если множество точек разбиения Т' получено добавлением к множеству точек разбиения Т некоторого числа новых точек отрезка [а, 5], так что Т'~ Т. Теорема 6.2. Если разбиение Т' получено из разбиения Т добавлением Й новых точек отрезка [а, 5], то выполняются неравенства У(Т ) < У(Т), 5(Т) < Я(Т'); (6 9) У(Т) — У(Т') < ьь,Ь, д(Т') ~(Т) < Ый, (6 10) гле Ь вЂ” максимальный шаг разбиения Т; и = М вЂ” пь— колебание функции Дх) на отрезке [а, Ь]. ч ПУсть разбиение Т1 получено иэ разбиения Т добавлением ~кШЬОдией НОВОЙ ТОЧКИ Х', т.Е. 1=1 И Х'б [Х 1, Ху].
ТОГда слагаемое М,(х -х; 1) в сумме У(Т) для отрезка [х 1, ху] томдества маяло доказать с иомощьв метода математической 'Эти частичного отрезка [х; 1, х;] соответственно. Согласно (6.7), находим 220 б. ОПРЕДЕЛЕННЫН ИНТЕГРАЛ (см. (6.7)) в новой сумме У(Т~) будет заменено суммой двук слагаемых М~(х' — х ~) + ~~'(х — х'), где М' и М" — точные верхние грани функции 1.(х) на отрезках [х ~, х] и [х', х ] соответственно. Эти отрезки являются частямн отрезка [ху ~, ху], и на ннк точная верхняя грань множества значений функции не может возрасти посравнениюс М [1-2.7], т.е.
М' < М н МР< Му. Поэтому М'(х' — х ~) + М"(х. — х') < < М (х'-х ~)+М(х — х') =М.(х — х ~). Отсюда следует, что У(Т~) < Я(Т) и Я(Т) — У(Т~) = (М вЂ” М')(х' — х ~) + +(Му — МР')(х — х') < (М вЂ” т)(ху — х ~) (ий, (6.11) поскольку х — х ~ <Ь, М <М, яз<М и т<М . Если к разбиению Т~ отрезка [а, е] добавить еще одну точку, то получим разбиение Тэ Э Т~ Э Т. Как уже доказано, Я(Тэ) < Я(Т~) < Я(Т) и Я(Т~) — Я(Тэ) < мй. (6.12) Складывая почленно левые и правые части неравенств (6.11) и (6.12), находим Я(Т) — Я(Тэ) < ай.
Если описанную процедуру последовательно провести для всех х новых точек деления, то придем к первым неравенствам в (6.9) и (6.10). Доказательство вторых неравенств в (6.9) и (6.10) аналогично. > Итак, иэ теоремы 6.2 следует, что при измельчении разбие ния отрезка нижняя сумма Дарбу может только лишь возрасти а верхняя — только лишь уменьшиться. 221 в.з. Сунны и иытегралы дарву Теорема 6.3.
Для любых двух разбиений отрезка [а, 6] любая нижняя сумма Дарбу не превосходит любую верхнюю. ,л Пусть Т' и Т" — любыедваразбиения отрезка [а, 6]. Тогда Т'С Т'0Т" и Т" С Т'ОТ". В силу (6.8) и (6.9) получаем ЙТ') < й(Т'ОТ") < ~(Т'~Тв) < ~(Та) > и 1* = !пГ У(Т), (6.13) ТЕ7 1, = впр Д'.(Т) Т67 причем (6.14) Числа 1, и 1' называют нинсними верхним интпеграяами Дарбуфуикции 1(х) наотреэке [а, 6] соответственно. Теорема 6.4. Для ограннченной на отрезке [а,6] функции 1(х) 1, = 1пп ЯТ), 1' = 1нп У(Т), (6.15) Ь-ФО л-+о где Ь вЂ” максимаяьныб шаг разбиения отрезка [а,6].
4 Докажем справедливость лишь первого равенства (6.15), поскольку справедливость второго можно доказать аналогично. Для доказательства необходимо при произвольно выбранном е> О найти такое б(г) > О, что для любого разбиения Т с максимальным шагом Ь<3(г) будет выполнено неравенство ~~(Т) — Ц < г, которое с учетом (6.13) эквивалентно неравен- ству (6.16) О < 1. — ЯТ) < г.
Согласно теореме 6.3, для функции 1(х) при любых разбиениях отрезка [а, 6] множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху любой верхней суммой, а множество верхних — снизу любой нижней. Поэтому на множестве 7 всевозможных разбиений Т существуют конечные точные верхняя и нижняя грани [1-2.7] 222 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ В силу свойств точной верхней грани [1-2.7] найдется такое разбиение Т' отрезка (а,6], что 1, — — < ЯТ') < 1,. (6.17) 1, — — < ЯТ') < ЯТ' 0 Т), т.е. с учетом определения 1 (см.
равенство (6.13) ) 0 < 1, — Я(Т'0 Т) < —. (6.18) При объедииеиии разбиений Т' и Т число 6 новых точек деления отрезка (а,6], добавлеииых к Т, ие превышает н' — 1. Поэтому, согласно теореме 6.2, ЯТ'0Т) — Я(Т) < ймй < (н' — 1)иЬ < (н' — 1)ыб =, < —, (и' — 1)ыг г т.е. ЯТ'0Т) < ЯТ) +г/2. Учитывая это иеравеиство в (6.18), приходим к (6.16), что в силу произвольности г доказывает первое равенство (6.15).
в 6.4. Критерий существовании определенного интеграла При помощи верхней У(Т) и нихсней Я(Т) сумм Дарбу можно сформулировать необходимое и достаточное условя" иитегрируемости функции иа, отрезке (а, 6], т.е. условия су ществоваиия иа этом отрезке определенного тианеграла. Положим б= гД2н'ы), где и' — число частичных отрезков разбиения Т', а ы = М вЂ” ~и — колебание функции Дх) яа отрезке (а,6].
Пусть произвольиому разбиению Т с максимальным шагом Ь < б отвечает иижняя сумма Дарбу Я(Т). Тогда, согласно теореме 6.2 и иеравеиству (6.17), имеем бА. Критерий существовании оаределеииого юетегрвло 223 Теорема 6.5 (критерий Дарбу). Для того чтобы огра ниченная на отрезке [а, Б] функция Дх) была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы совпадали нижний 1, и верхний !' интегралы Дарбу, т.е.
1, = 1'. Необходимость. Предположим, что функция Дх) интегрируема на отрезке [а, Ь], т.е., согласно определению 6.4, существует конечный предел 1 интегральных сумм Я(Т) для этой функции на данном отрезке: о 1= !пп Я(Т) = 1пп ~~! ~®)Ьх;, (6.19) 1иа где Ь вЂ” максимальный шаг разбиения отрезка [а,о]. Тогда в силу определения 6.3 предела интегральных сумм для любого е > О найдется такое число б = б(с) > О, что для любого разбиения Т с максимальным шагом Ь ( Б(е) и при любом выборе точек ~; на частичных отрезках [х; 1, х;] будет выполнено неравенство 11 — Я(Т) ~ < е, или 1- е < Я(Т) < 1+ е. Так как при заданном разбиении отрезка значения Я(Т) и У(Т) являются точными нижней и верхней гранями множества интегральных сумм, то в силу свойств точной верхней (нижней) грани [1-2.7], принимал во внимание (6.8), имеем 1-е(Я(Т) (Я(Т) < 1+с.
Поскольку это неравенство верно для произвольного числа е, то Ьп ЯТ) = 11п1 У(Т) = 1. Отсюда на основании теоремы 6.4 Л-+О Л-+О получаем !' = 1пп У(Т) = 1пп Д'(Т) = 1,. Л-+О Л-Ю Достаточность. Предположим, что выполнено равенство !' = 1, = 1, где 1 — общее значение верхнего и нижнего интегралов Дарбу. Тогда из теоремы 6.4 следует 1пп Я(Т) = 1пп ЯТ)) = 1. л-ю л-ю б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (6.21) !!щ ЯТ) =!пп Я(Т), л-+о л-+о откуда !!т ®Т) — У(Т)) = )пп (М; — ти;) Ьх; = О, Л-+О л-+о что эквивалентно 6.22.
~ Поэтому для любого б > 0 найдется такое Ь(б), что для каждого разбиения Т с максимальным шагом Й < Ь(б) имеем У(Т) < 1+б, 1-б < Я(Т). (6.20) В силу (6.8) справедливо неравенство Я(Т) < 5(Т) < Я(Т). Тогда с учетом (6.20) получим 1 — б < Я(Т) <1+б. Сле- довательно, существует предел (6.19), т.е., согласно опреде- лению 6.4, рассматриваемая функция 1(х) интегрируема на отрезке [а, Ь]. ~ Из критерия Дарбу следует,что для интегрируемой на от- резке [а, Ь) функции 1(х) Ь 1(х) ь!х = 1' = 1,. а Следствие 6.1. Для того чтобы ограниченная на отрезке [а, Ь] функция 1(х) была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы а !!щ,~ и;,О,х; = О, (6.22) Л-ьо, в=1 где и; = М; — пь; — колебание функции 1(х) на частичном отрезке [х; 1,х;) разбиения Т.
м Согласно теореме 6.5, ограниченная функция интегрируема тогда н только тогда, когда 1' = 1,. Учитывая (6.15), получаем равенство б.4. Критерий существовевяе определеыыого интеграла 225 Теорема 6.6 (криенериб Римана). Для того чтобы ограниченная на отрезке [а, Ь] функция 1(х) была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого л > О нашлось такое разбиение Т отрезка [а, Ь], что Я(Т)-ЯТ) <л. (6.23) «1 Необходимость. Пусть функция 1(х) интегрируема на отрезке [а, Ь]. При доказательстве теоремы 6.5 показано, что для такой функции выполнено равенство 1пп (У(Т) — ЯТ)) = !пп У(Т) — 1пп ЯТ) = 1' — 1, = О.
ь-«о л-+о л-«о Следовательно, для любого г > О найдется такое б > О, что для любого разбиения Т с максимальным шагом Ь< б справедливо (6.23). Достаточность. По условию теоремы для любого г > О существует такое разбиение Т отрезка [а, Ь], что для соответствующнх верхней и нижней сумм Дарбу справедливо (6.23). Тогда, согласно определению (6.13) верхнего и нижнего интегралов Дарбу, имеем О < 1' — 1, < Я(Т) — Я(Т) < г и в силу произвольности л заключаем, что 1' =1„т.е., согласно теоРеме 6.5, рассматриваемая функция интегрируема на отрезке [а, Ь]. н Утверждение теоремы 6.6 также называют криенерием суилестпеоеанил определенного инпъеграла. Согласно этому критерию, для выяснения интегрируемости функции на отрез"е достаточно найти хотя бы одно разбиение Т этого отрезка, удовлетворяющее условию (6.23), тогда как определение 6.4 интегрируемой функции в сочетании с определением 6.3 предела интегральных сумм требует проверки выполнения неравенства ( .4) для любых достаточно мелких разбиений этого отрезка.
Докажем еще одну теорему, имеющую важное значение в теории определенного интеграла. 226 о. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Следствие 6.2. Для того чтобы ограниченная на отрезк [а,Ь] функция /(х) была интегрируема иа этом отрезк необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О нашлос такое разбиение Т отрезка [а,Ь], что (6.24) где ьд — колебание функции /(х) на частичном отрезке [х; 1, х;] разбиения Т. ~ Из соотношений (6.7) имеем и;Ьх; = ~~~ М;Ьх; — ~~~ щах; = У(Т) -ЯТ), где М; и пм — точные верхняя и иижияя грани функции /(х) на частичном отрезке [х; 1,х;] разбиения Т. Поэтому (6.23) можно записать в виде (6.24). ~о Пример 8.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
