Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 30
Текст из файла (страница 30)
-1 о а. Подынтегральная функция е* непрерывна на отрезке [ — 1,3]. Поэтому, используя формулу (6.49) Ньютона — Лейбница, получаем з | ~3 3 евлах =е~~ =е — —. -1 е -1 б. Функция х — а1п х непрерывна на [О, 1]. Учитывая линейностпь определенного инпмграла, находим 1 1 (х — в1пх)дх = хдх — в1пхдх = о о о ха~~ ~~ 1 1 — +соех~ = — +соа1 — 1=сое1 — —. 2о ~о 2 2 Следствие ОЯ. Если функция 1(х) непрерывна наотрезке [а, 6] и определенный интеграл от этой функции по любому отрезку [о,ф]С [а,6] равен нулю, то Дх) нО при х 6 [а,6]. ~ Согласно следствию 6.4, непрерывнал на отрезке [а, 6] функция Дх) имеет на нем некоторую первообразную г'(х), которая в силу теоремы 6.16 непрерывно дифференцируема на [а, 6].
По условию для произвольных о, 12 е [а, 6] с учетом формулы (6.49) Ньютона — Лейбница имеем г'(,В) - г (о) = О, т.е. г'(х) = =сопв1 при х Е [а,6]. Поэтому на основании определения 1.1 первообраэной,Р(х) =~(х) =0 при х Е [а,6]. в 6.10. Вычисление определенного интеграла Чтобы вычислить онредглгнныб интеграл, можно исполь' зовать его представление через предел интегральных сульн 11~ этот путь обычно приводит к громоздким выкладкам. Вмест сте 251 б.»0.
В»га»слеиее определенного еатеграее Пример 8.11. Вычислим определенные интегралы Ь а) х»»х; »!х 4хз+7 а. Одной из первообразныхфункции х" при аф-1 будет Р(х) =* +»/(»»+1). Поэтому | хо+» !» Ьо+» — ае+' х»!х= — ~ =, а~-1. »»+1~, »»+1 а Это равенство имеет смысл там, где непрерывна функция х~. б. Подынтегральнзя функция 1/4хЬ+7 непрерывна на отрезке (0,1] и имеет первообразную !п!х+~~~+7~. Поэтому 1 | »»х ~» 1+2с/2 — = )п~х+ 1/х»!-7~1 = )п(1+~(8) — !и ~Г7 = )и —.
ф ~Гх 1+7 о ~/7 Формула (6.49) Ньютона — Лейбница па»валяет установить правило замены переменного под знаком определенного интеграла, а также правило интегрирования по частям. Теорема 8.17. Если функция Дх) непрерывна наотреэке (а Ь], а функция !о(!) непрерывно днфференцируема на отрезке »»зд], причем у(а)=а, !о(8) =Ь и р(») 6(а,Ь! при» Е(а„8], с тем зто представление позволяет построить эффективные численные методы приближенного вычисления определенного интеграла (см. 10).
Согласно следствию 6.5, для вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке [а, Ь] функции Дх) применима уюраула (6.49) Ньютона — Лейбница, т.е. достаточно найти любую первообразмую этой функцнн иа данном отрезке. 252 е. опркдитнный интигрлл то справедливо равенство (6.50) ~ Так как функции Дх) и ~р($) непрерывны наотрезках [а,о) и [а,)9] соответственно и )р(Ф) 6 [а, Ь) при 86 [а,)у), тосложнзл функции /((р($)) непрерывна на [а,)о1.
Ввиду непрерывности подынтегральных функций существуют не только определенные интегралы в (6.50), но и соответствующие им неопределенныг интегралы. Позтому при вычислении обоих интегралов в (6.50) можно использовать формулу (6.49) Ньютона — Лейбница. Если Р(х) ивляетслоднойиз первообразныхфункции ~(х), | то Дх) дх = Г(х) + С. В силу инеарианп1ности неопределенного интеграла Использул формулу Ньютона — Лейбница, получаем | Дх) дх = Р(о) — Г(а) а |у(др)) у(е) а т(рр))-к(р( )) = т(ь) -к( ), а откуда следует (6.50).
1ь Замечание 8.Т. Отметим одну особенность, свлзанную с применением неравенства (6.50). При вычислении неопре деленного интеграла заменой переменного х на $, получив 253 6.10. Вмчвсдевве опредеяеныого интеграла первообрээную, выраженную через переменное 1, нужно было возвращаться к исходному переменному х. При вычислении же определенного интеграла в этом нет необходимости. Однако не следует забывать, что при переходе к новому переменному нужно пересчитывать пределы интегрировании. П имер б.12. Вычислим определенные интегралы риме а); б) е1п х<Ь.
3 1+~/х о о а. Чтобы вычислить интеграл от функции 1/(1+~/х), сделаем замену х = $ . В этом случае нх— г И =2~Й н -„/х= =~/Р=Щ =Ф при Ф) О. Изменению х отбдо 4 соответствует изменение $ от О до 2. Поэтому г 3 | Нх /21Й /(1+1) — 1 1+~/х .| 1+~ .1 1+л г 2 =2 Й вЂ” — =21~ — 21п11+$~~ =2(2 — 1пЗ). о о о б.
Сделаем замену сов х = 1. Тогда — ип х Ых = Й, значению х=О соответствует 1=1,азначению х=х отвечае ает 1=-1. Поэтому -1 | 3 1 (1 зх) 1 (1 ~2)Й о о Р~ 2 4 з~, з з' (1 — $~) Й = $ — — = 2 — — = —. в. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Пример 6.13. Покажем, что ««/2 ««/3 | в1п" х(1х = сов" х(Ь, и Е И. о о (6.51) о е/2 е/З в/3 | — ' "$(ьг — в1п" гй. х ( «х в 1 и в ( х / 2 х о о ««/2 интег ала не зависит от обоТак как значение определенного интегр ег и овалия, то (6.51) верно.
значения переменного инте р р Тео ема 8.18. Если функции и(х) и о(х) непрерывно Теорема ке [а о] то справедлива формула дифференцируемы на отрезке,а,, то Ь | «( («~(*(= ( (~(*(( — |~(*(Ю«(«(. («.52( а иффе енцировалия произведения функ- а [а о] всех входящих в это равенство функ- непрерывности на [а,, всех беих частей, ции сущ ествуют определенные инт р ег алы от его о г ала причем с учетом лине йности определенного инте р ь ь ь | («(~)«(~)( (*=|и(*)~(*(8*+|«(~(~( (Ш*. а й Ф интег вле справа замену переменного Ф= гг/2 — х.
Сделаем в интеграле сира /2 егрирования по При этом й = — х, р /2 и 0 переменного х отвечают пределы хг и е соответственно. Учитывал, что совх = в)п и — х, пол 255 бл О. Вычнеленне оноедененного ннтегнааа ь ь ь (*)н(*) |( (*)~(*)) Ь вЂ” /~(*)Ю (*). (653) а а а Функция (и(х)о(х)) непрерывна на отрезке [а,й] н имеет первообразную, равную и(х)и(х). Поэтому Подставляя зто выражение в (6.53), приходим к (6.52). !ь Рекомендации по выбору в подынтегральной функции сомножителей в(х) и (!о(х) те же, что и при вычислении неопределенного интеграла (см. 1.8). Пример 8.14. Вычислим определенные интегралы з уг а) хз!охах; б) хсоехЫх. 1 о а.
Поскольку в подынтегральное выражение входит функция )и х, то ее целесообразно выбрать в качестве и(х): е | и=!пх, е!о=Их/х~ 1 = — )ох~ — / — Их = 3 3 !1,/ Зх 3 9!1 ез 1 2ез+1 9 9 9 Разрешая это равенство относительно последнего слагаемого в правой части и учитывая, что в'(х)(1х=(!в(х) и и'(х) х= = (1о(х), находим б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ б. Положим в(х) =х и получим З /2 З /2 / 3/2 | и = | вв,)= ь ~ — / «и о о о Зх ~з«/2 Зв' 2 = — — +совх = — — — 1. «'/2 «/2 л = В1П Х11Х = — В1П Х11СОВХ = ~в— о о «/2 = — в1п х сов х~ + (и — 1) в1п — -в1п хсовх — ' " 2 2х11х= о о «/2 = а-1) (1-в1пзх)в1п" 2хдх=(п — 1)(1в 2 — 1 ).
о Отсюда следует рекурреитиое соотиошеиие (6.54) а — 1 1в = 1в-2~ и при помощи которого интеграл 1 можно привести в случае четного и = 2п2 (1п 6 И) к интегралу «/2 «/2 1о= в1п хдх= ах =о-, о о Пример 6.16. Вычислим определенный интеграл от фуи кции в1пвх, и 6 И, по отрезку 10, х/2). Положим п(х) = =в1п -1х — 'Пв 1Х (тОГда Йи(Х) = (и — 1)В1Пв 2ХСОВХ12Х) И Й~(Х) = =в1пх11х = -11(совх). С учетом (6.52) получим 257 В.10. Вегптоеетюе опредеееимого хит«грела а в случае нечетного и = 2ти+ 1 — к интегралу «/2 1«/2 11 — — в!пхт!х = -совх~ = 1.
~е о В итоге получаем «/2 2ти-1 2ти-3 3 1 тг (2ти — 1))'! тг 12 = в!и хт!х =— 2ти 2ти-2 4 2 2 (2ти)!! 2 ' о «/2 2ти 2ти — 2 4 2 (2ти)В 1 = / втп хггх= — °вЂ” ,/ 2ти+ 1 2ти — 1 5 3 (2ти+ 1) В о (напомним, что и!! обозначаетпроизведение всехнатуральных чисел, не превосходящих и и имеющих с ним одинаковую четпость, причем по определению ОВ = Ц.
тг 2 2 4 4 2ти 2ти 2 1 3 3 5 2ти — 1 2ти+1 (6.55) В СаМОМ ДЕЛЕ, ПОЧЛЕННЫМ ДЕЛЕНИЕМ ПрОНЗВЕдЕНИй дЛя 12го И 12«,+1 НаХОдИМ х 2 2 4 4 2ти 2ти 12«, 2 1 3 3 5 "' 2ти — 1 2ти+1 12,„+1 (6,56) Так как 0 < в!п~~+ х < в!в~~ х < в!в~~ ' х Чх Е ~0, — ), Пример 6.16. Из формул для 12,„и 12„,+1, полученных в примере 6.15, следует установленная в 1655 г. английским мв тематиком Дж. Валлисом (1616 — 1703) еще до возникновения интегрального исчисления формула в виде бесконечного про- изведения в. ОпРеделенный интеГРАл 258 то, применяя свойства б' и 8' (см. 6.7)> получаем 0 ( 1з»>~т ( ( 1з„( Хз„, » или с учетом (6.54) при тт = 2то+ 1 тз»> тз»>-1 2ттт + 1 1( — ( 1з»>~.т 1з»>~т 2ттт При тп-+ оо (2ттт+1)/(2ттт)-+ 1.
Поэтому, согласно теореме о сходимости „промежуточной" последовательности [1-6.5], ) 2»> 11пт — = 1. »>-тоо тз +> Используя этот результат и переходя в (6.56) к пределу прн та-+ оо, получаем (6.55). ф Требование непрерывности подынтегральной функции при использовании (6.50) и (6.52) не является обязательным. Это вытекает из формулировок следующих теорем, доказательство которых приведено в Д.6.2. Теорема 6.10.
Пустьфункции т'(Ф) и 7(х) интегрируемы на отрезках [о»6] и [а, е] соответственно, а функция а(х) = 1е+ 7(в) ~й, а где $о=д(а) =сопв1, не убывает наотрезке [а, е] и у([а, е]) С С [о,,в]. Тогда функция ~(у(х))7(х) интегрируема на отрезке [а, 5], причем я<Ь) (6.57) я(») Если функция у(х) непрерывна на отретке [а, е], то 7(х) = =у'(х) )Ь Е [а,й] и утверждение теоремы 6.19 сводится к утверждению теоремы 6.17. 6.10. Вычиеаеене оередеаеекого лнтегоааа 259 У(х) = а(1) й, О У(х) = и(1) й, а Пример 6.17. Вычислим определенный интеграл от функции 2[хг]х по отрезку [0,2,5].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
