Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(7.4) а Как и в случае (7.2), говорят, что несобственный интеграл (7.4) сходится, если предел при а-ь -оо существует и конечен, и расходится, если зтот предел бесконечен или не суще ствует. При 7"(х) ) О Чх б (-оо,Ь] значение сходящегося ве 7Л. Иитсг«оаск оо бескокочкоку прокекутку обственного интеграла (7.4) равсо с Лх) но площади криволинеинои тр пеции с бесконечным основанием, заключенной между прямой х = О Ьх = Ь, осью Охи графиком функРис. 7.2 е если функция ~ х определена прямои и Й интегрируема на любом конеч ого сЕ И соотношением то для произвольного с «-со Дх) дх = Дх) Их+ 7(х) дх с (7.5) о' +оо ,7(х) Их+,7(х) Нх = 7'(х) Нх+ 7"(х) Нх.
-Оо о' оп е елений 7.1 и 7.2 несобственных интегралов и можно записать аддитивности определенного интеграла мож | ~(*) .+/ ~(*) *= 1т / — ' х)дх+ 1пп ~(х)дх= с а -Оо с ь о с аппп ~(х) Нх+ ~ 1(х) Йх + !««и ~(х) Нх. (7.6) О-ь-Оо с тся если независимо один от ственный интеграл сходится, есл и (7 5) сходятся оба несобственных и р интег ала в правои части е несобственного ение 7.1. Сходимость и значение не Утверждение ния точки с Е Й. интеграла « . (7.5) не зависят от положения т а Е В (а ф с) и покажем, что ° е Для доказательства возьмем 276 7.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Поскольку определенный интеграл по отрезку с концами в точках с! и с от интегрируемой функции 7(х) является числом, то, учитывая аддитивность определенного интеграла, перепишем (7.6) в виде | ~(х) с(х+ Дх) с!х = Йп Дх) с!х+ — 00 с с с Ь с + 1нп Дх) с!х+ /(х) Вх = 1!ш Дх) с!х+ с с с Ь с +со + 1!ш /~(х) с!х = /(х) с(х+ Дх) сЬ, Ь-++со,/ откуда следует справедливость высказанного утверждения. ~ Вычисление несобственного интеграла основано на его определении.
Пусть, например, функция Дх) имеет первообразную г'(х) в промежутке [а,+оо) и интегрируема на любом конечном отрезке [а, о]. Тогда в силу формулы Ньютонов Лейбница Отсюда следует, что при существовании первообрззной несобственный интеграл (7.2) сходится в том и только в том случае, если существует конечный предел !пп г (о) = Р(-1-оо).
Тогда Ь-++со для несобственного интеграла (7.2) имеем Аналогично, если функция Дх) имеет первообразную г''(х) в промежутке (-оо, Ь] и интегрируема на любом отрезке [а, о] 7.Ь Интегралы ао беасомечвому пронемутку 279 то получаем Ь = Р(Ь) — !1т Р(а) = Р(Ь) — Р(-оо) = Р(х)~, (7.8) откуда ясно, что при существовании первообразной несобственный интеграл (7.4) сходится тогда и только тогда, когда существует конечный предел !пп Р(а) = Р(-оо). Наконец, если функция Дх) имеет первообразную Р(х) в бесконечном интервале (-оо, +оо) и иитегрируема на любом отрезке 1а,Ь], то для несобственного внтеграла (7.5) можно написать Х(х) ейх = (Р(с) — 1пп Р(а)) + ( 1нп Р(Ь) — Р(с)), (7.9) т.е.
зтот несобствеипый интеграл сходится тогда и только тогда, когда существуют и конечны пределы 1пп Р(а) = Р(-оо) и !пп Р(Ь) = Р(+со). е-е-оо 0-++оо Тогда из (7.9) имеем Дх) е(х = Р(+со) — Р(-оо) = Р(х) ~ . (7.10) Соотношения (7.7), (7.8) и (7.10) иногда называют обобилеииыми формулами Ньюпьона — Лейбница. В силу определения песобственного интеграла по бесконечному промежутку для их нахождения можно применять методы, используемые при вычислении определенных интегралов.
281 КК Иятогролм до боокояечыону промежутку т.е. этот несобствениый интеграл сходится. Но при х-ь+оо г.(х) -++со и, согласно (7.7), | е*дх=е ~ =+со, ~о о т.е. второй несобственный интеграл в правой части (7.12) Р асходится. Поэтому и несобственный интеграл в левой части (7.11) расходится. г. Функция соех непрерывна в промежутке [О,+оо), но ее первообразнзя Г(х) =ьйпх не имеет при х-++со ни конечного, ни бесконечного предела. Следовательно, несобственный интеграл от фупкцви соах по бесконечному промежутку (О, +со) расходится. Пример 7.2.
Кривая графика функции Дх) = 1/(1+хо), называемая лококом Аньези, имеет горизонтальную асимптоту д = 0 (рис. 7.3). Согласно (7.2), при а=О находим Рве. Т.З +оо | +оо о ~ь и 11ш агсЬ8х~ = 1пп агсг86= —. Ь-++оо 1о ь-++ 2 Итак, несобствеиный интеграл по промежутку (О, +со) от функции Дх) = 1/(1+ хз) сходится, а заштрихованная на Рис. 7.3 площадь равна х/2. В силу четности функции 7(х) локон Аиьези симметричен относительно оси ординат, поэтому площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, будет равна Это же можно установить, если вычислить несобственный 7.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ интеграл 0 0 Их . /' г(х 2 1+хз а-+-оо У 1+хз а л — !!ш агсг8х~ = — !!ш агсг8(а) =— а-ь-оо а а-о-оо 2 и использовать (7.5) при с = О. Отметим, что функция 1/(л(1+хз)) находит широкое применение в теории вероят ностей (ХУ1]: она задает стандартное распределение Коши вероятностей случайной величины, рассмотренное французскими математиками О. Коши (1789 — 1857) и несколько ранее С.
Пуассоном (1781-1840). Пример 7.3. Исследуем на сходимость несобственныи интеграл | их — е>0, х' а в зависимости от показателя степени я Е 1ь. Ясно, что при а>0 и любом ябан функция 1/х' непрерывна, а значит, интегрируема на любом отрезке !а, Ь]. Если показатель степени з-6 1, то одной из первообразных функции 1/х' будет г (х) = = -1/((в — 1)х' '). Тогда, согласно (7.7), находим +оо а В случае я> 1 при х-++со имеем 1/х' г-+О и поэтому +оо а 7.2. Основные свойства интегралов по бесконечному нронснутну 283 +со Г ах — — 1пп 1и х — 1и а = +оо, х в-++со т.е.
несобственный интеграл расходится. В итоге установили важный для дальнейшего результат: несобственный интеграл в (7.12) сходится при в ) 1 и расходится при в<1. 7.2. Основные свойства сходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку Свойства сходящегося несобственного интпеграла по бесконечному промежутку аналогичны свойствам определеивого интеграла, в поэтому ограввчимся лишь перечислением этих свойств. Их доказательство читатель может провести самостоятельво, используя определения 7.1 и 7.2 несобственных интегралов, соответствующие свойства определенного иитегра ла (см. 6.7) и свойства предела функции 11-7.4]. 1'. Если в сходящемся несобственном интеграле поменять местами пределы иквегрироеамия, то его знак изменится на ПРотивоположный, например: | ~(х) Нх = — ~(х) дх.
О +Ос (7.13) т.е. рассматриваемый несобственный интеграл сходится. Если же в < 1, то предел в (7.12) бесконечен, т.е. несобственный интеграл является расходящимся. При в = 1 имеем 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ | Ь(х) дх с | (Л1~1(х) + Лз~з(х)) дх = а +00 +сс = Л~ ~1(х) дх+ Лз ~з(х) дх. (7.15) Отметим, что если в равенстве +со +00 | Л1~1 (х) дх = Л1 „Й (х) дх а 2'. П ть функция ~(х) интегрируема на любом отрезке 2'. Пусть функция х интег нтег алы [а,о]С[а,+оо) и с а.
) ) . Тогда несобственные инт р +00 +со Дх) дх и ~(х) дх с либо оба расходящиеся, причем в случае либо оба сходящиеся, ли о а р венство сходи. ности т ди.н з их несобственных интегр алов ве„но ра с ~.сс | ~(х)йх= ~(х)йх+ ~(х)дх, (7.14) Ф а с с о я егося несобственного интег(свойство аддитивности сходящего рава).
ый интегсл обладает свон- 3'. Сходящийся несобственныи и несобственные интегралы ством линейности, т.е. если +сс | ~~(х) дх и а и несобственный интеграл от функоба сходятся, то сходится и нес ции Л1~1(х) + Лз~з(х) ( 1, з ) (Л Л Е й) по промежутку [а, +со), причем тегоаеов ыо оесыоыечыоыу вв ы утьо 285 7.2. Осыовыые своыства ыытеграе +00 +ОО | ~(х)ь1х ( д(х)~Ь. О е (7.16) П ример 7.4.
Исследуем на сходимость несобственные ин- тегралы +со а); б) / ха1пхИх; в) ,/ ха+ 4х+ 9' о а. Ф нкция 1/(хз+4х+9) непрерывна на всей числовои а. Функция х х мой Й. Для нахождения ее первообразной в д ы елим полный прямои . Для квадрат в знаменателе дроби: х +4х + = (х тывал тоаблочкмб иитегрол 13 и (7.10), получаем | ь1х |' ь~(х+2) ха+ 4х+ 9,/ (х+ 2)з+ 5 00 ОО я+21+00 х ( х ~ х ~ Г~- 2Л ~ 2Л~ Л' б. Так как функция ха!пх непрерывна при х б [О,+со), е ["а 51 С [О,+оо). Поэтому оиа интегрируема на любом отрезке... +00 ь | хавхь1х = 11пь ха1пхНх.
ь-++оо о о п и Л1р один Л рО из несобственных интегралов расходится, то Л р посколь если бы один из интегралов расходится и другой, поскольку есл ечило бы (7.15) сходился, а др угой расходился то зто противоречило бы 7. 1 при Ля=О. 4'. Для сходящихся несобственных интегр алов от „нкций промежутке условию Дх) ( д(х), справедливо неравенство 286 Т. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Применяя для вычисления определенного интеграла интегриро. ванне по частям, находим Ь ь Г хе!ихпх = хь!(-соях) = о о = -х соя х~ + ~ сое х дх = -осоя о+ я!и о. о о Поскольку предел полученного выражения при о -+ +со яе существует, то рассматриваемый несобственный интеграл расходится.
в. Функция 1/(хэ(1+х)) является рациональной дробью и интегрируема на любом отрезке [а, — 2) С ( — оо, -2). Разложим ее на простейшие рациональные дроби: 1 А В Р + + хз(1+ х) х хз 1+ х Для нахождения неопределенных коэффициентов приведем дроби справа к общему знаменателю и затем приравняем числителя в обеих частях равенства: Ах(1+х)+В(1+х) +Рхз = 1. Отсюда при х =О находим В=1, при х =-1 имеем Р=1, а из равенства коэффициентов при хэ следует А = -1. Таким образом, одной из первообраэных функции !(х) будет 1 11+х! 1 Г(х) = — !и !х~ — — + !и !1+ х~ = !и~ — 1 — —. В данном случае при х-+ -оо существует конечный предел г'(-со) = О. Поэтому, используя (7.8), получаем <Ь ~1-2! 1 1 = Р(-2) — Р(-оо) = )п~ — ~ — — — О= — — !п2 хэ(1+х) ~ -2 ~ — 2 2 287 ХЗ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
