Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 36
Текст из файла (страница 36)
1 Их ~ь — — 1пп / — = 1пп 1п1х — а[~ х — а г-~а+о х — а 4-+а+о 4 = 1п [Ь вЂ” а~ — 11пь 1п [( — а~ = +со. ~-Ь а+О ~Ь (Ь вЂ” а)Ь ' Г = Г(Ь) — Р(а+ 0) = (х-а)' 1 — з е При з > 1 этот интеграл расходится. В частном случае при а = 0 получаем, что несобственный интеграл Ь Л о (7.32) сходится при 0 < з< 1 и расходится при з >1. Замечание Т.З.
Проведя исследование, аналогичное выполненному в примере 7.10, можно установить, что несобственный Следовательно, при з= 1 несобственный интеграл (7.31) расходится. Если з ф 1, то одной из первообразных подынтегрзльной функции 1/(х — а)' будет функция г(х) =-(х — а)ь е/(з-1), которая имеет при х+ а+О конечный предел Р(а+0) =0 только при условии з < 1. Итак, несобственный интеграл (7.31) сходится при 0 < з < 1 и, согласно (7.26), равен 302 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ интеграл Ь | Их (о — х)' О (7.33) тоже сходится при 0<о<1 и расходится при г>1. Если же о < О, интеграл (7.33) является определенным интегралом и существует на любом отрезке (а, о) б В. Так как при г < 0 рассмотренные интегралы (7.31)-(7.33) являются определенными, то можно считать, что исходные интегралы сходятся при в<1 и расходятся при о>1.
ф Т.б. Сходимость интегралов от неограниченных функций Приемы исследованвя на сходимость несобственнмя «нтегралое по бесконечному промежутку и от неограниченной функиии имеют много общего. Необходимыми условиями сходи- мости несобственного интеграла от неограниченной функции Дк) по промежутку (а, о) являются ограниченность и непрерывность в этом промежутке функции Ф(х) (7.24). В соответствии с определением 7.3 это следует из свойства ограниченности функции, имеющей конечный предел (1-7.4), и теоремы 6.15.
Свойства несобственного интеграла от неограниченной функции аналогичны свойствам определенного интеграла и несобственного интеграла по неогрзличенному промежутку. Предлагаем чвтателю самостоятельно сформулировать н доказать их. Однако уместно отметить, что не все свойства определенного интеграла имеют аналоги для несобственных интегралов. Например, произведение двух функций, интегрируемых на некотором отрезке, также интегрируемо на этом отрезке. Но по промежутку (О, Ц несобственный интеграл от провзведения функций Дх)у(х) = 1/х расходится (см. пример 7.10), тогда как от каждого иэ сомножвтелей Дх) =у(х) =1/~/г несобственные интегралы по этому промежутку сходятся. 7.а. Схолнноетв ннтеграеов от неограниченных функций 303 1пп — =Л>0, Дх) е-+ь-о д(х) (7.34) то несобственные интегралы ь Дх) ех и а ь д(х) Их либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Доказательства сформулированных теорем аналогичны доказательствам теорем 7.1 и 7.2, и читатель может провести нх самостоятельно. Приведенные признаки применимы для исследования сходимости интегралов не только вида (7.25), но н вида (7.26), а также для интегралов в правой части (7.27). Достаточные признаки сходимости несобственного интеграла от неограниченной неотрицательной функции аналогичны соответствующнм признакам сходимостн несобственного интеграла по бесконечному промежутку, т.е. справедливы следующие теоремы. Теорема 7.3. Пусть функции Дх) н д(х) иитпегрирдемы на любом отрезке [а,О]С [а,Ь) и не ограннчены прн х-+Ь вЂ” О, причем при х Е [е, Ь) выполнены неравенства 0 < Дх) ( д(х). ь Тогда, если сходится несобственный интеграл [ д(х) ььх, то схоь ь днтся н [ Дх)Их, а если расходится [,7(х)Их, то расходится и а а ь [д(х) ььх. а Теорема 7.4.
Пусть функции 7(х) и д(х), ннтегрнруемые на любом отрезке [а, О] С [а, Ь), являются неотрицательными прн всех х Е [а, Ь) н неограннченнымн при х -+ Ь вЂ” О, а функция д(х) отлична от нуля в некоторой полуокрестностн точки Ь. Еслн существует конечный положительный предел 304 7. НЕ БСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В качестве функции сравнения для иесобствеипого иитегра- ла от неограниченной функции удобно использовать функцию 1/(х — а)' или 1/(Ь вЂ” х)'. Пример 7.11. Исследуем иа сходимость иесобствеииые ии- тегралы . Фущп~я Д~)=1/чб* — *~ — 5 гр нрн *-> -+ 1+ 0 и интегрируема иа любом отрезке [с,2) С (1, 2]. Ясно, что бх — х~ — 5= (х — 1)(5 — х) и при всех х Е (1,2) 1 1 Г~ ~- 1 Г3(х — 1)г/з г Интеграл ) д(х)Их сходится, так как показатель степеии л= 1 = 1/2 < 1 (см.
пример 7.10). Тогда в силу теоремы 7.3 рассматриваемый несобственный иитегрзл тоже сходится. б. Функция Дх) = 1/(1 — е*) иа любом отрезке [-1,0] С С [-1, 0) положительна и непрерывна, а значит, и иитегрируема, ио ие ограничена при х -+ -О. Поскольку 1 — еи (-х), е"+-0 1 1 Дх) = — -- = д(х), 1 — ее ~-+-о х т.е. верно (7.34) при Л = 1.
Так как иитеграл от функции д(х) расходится (см. замечаиие 7.3 при Ь = 0), то в силу теоремы 7.4 расходится и рассматриваемый интеграл от фуикции Дх). в. Подынтегральная фунниил Дх) = агсап~/х/!п(1+ ~(хб) удовлетворяет условиям теоремы 7.4 в промежутке (О, 1) и при <Ь / Их а ~ ~ ~~ О ~ ~ ~ и ~! у6* — *~ — Б / ! — * -1 1 | ах г); д) ее — соех / агсе1п~/х ,| ~п(1+ тУхе) о 1 Г их Фаях — х 7.6. Абсааютная и усаоявая сходииость лытегралов 305 х -++О является бесконечно большой, эквивалентной функции у(х) =,/х/~Фхв = 1/хз!4.
Поскольку интеграл от функции у(х) сходится (см. пример 7.10), то исследуемый интеграл от функции /(х), согласно теореме 7.4, тоже сходится. г. Функция /(х) =1/(ех — совх) на любом отрезке [(, 1] С С (О, 1] положительна и непрерывна, а значит, и ынтегрируема, но не ограничена при х -++О. Для исследования сходимости несобственного интеграла от функции /(х) по промежутку (О, 1] добавим ы вычтем 1 в ее знаменателе и получим /(х) = =1/((ех-1)+(1-соях)). Слагаемое ех — 1 является при х-+ 0 бесконечно малой функцией, эквивалентной х, а слагаемое 1 — соях при х-+0 эквивалентно х~/2 [1-10.2].
Алгебраическая сумма б.м. функций эквивалентна прн х -+ 0 своей главной части [1-10.3], т.е. х. Таким образом, 1/(ех — соя х) 1/х прн х + О. Поскольку несобственный интеграл по промежутку (О, 1] от функции 1/х расходится (см. пример 7.10), то иптеграл от функции /(х) поэтому промежутку в салу теоремы 7.4 также расходится. д. Функцыя 1/(сбх — х) удовлетворяет условиям теоремы 7.4 в промежутке (0,1] и при х-++О является бесконечно большой. Представим функцию сбх в окрестности точки 0 формулой Маклорена третьего порядка [1Ц: сбх = х — хз/3+ +о(хз). Из этой формулы находим, что сбх — х ° -хз/3 при *-+О.
Несобственный интеграл от функцыи 3/(хз) по промежутку (О, 1] расходится (см. пример 7.10). Следовательно, в силу теоремы 7.4 интеграл от функции /(х) по этому промежутку также расходится. Т.б. Абсолютнан и условнаи сходимость несобственных интегралов Признаки сходимости несобсщвеккых интегралов от знакопостоянных функций рассмотрены в 7.3 ы 7.6. Выясним, как ведут себя несобственные интегралы от функций, принимаю~Чих в промежутке интегрирования значения разных знаков. зрб 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Напомним прежде всего, что, согласно свойству 10' определенного интеграла (см.
6.7), если функция Дх) интегрируема на отрезке [а,Ь), то и функция Щх)[ интегрируема на том же отрезке. Поэтому можно рассматривать два несобственных интеграла по бесконечному промехсутку: Дх) ах и [Дх)[ах. Во втором из этих интегралов подынтегральная функция неотрнцательна, и поэтому к нему применимы все результаты, полученные в 7.3. Это позволяет исследовать на сходимость и первый из укаэанных несобственных интегралов, так как сира ведлива следующая теорема. Теорема 7.5.
Если функции Дх) и ~1(х)~ интегрируемы на любом отрезке [а, о] С [а, +со) и несобственный интеграл +ОО +со [ [Д(х)~ах сходится, то сходится и интеграл [ Дх) ах. а а < Для всех х б [а, +оо) справедливо неравенство [1-1.3) - )Дх) ~ ( Дх) ( Щх) ~, или О ( Дх) + )Дх) ) ( 2Щх) [. Так как по условию теоремы интеграл от функции ~Дх)~ по бесконечному промежутку [а,+оо) сходится, то в силу линейности сходящегося несобственного интеграла (см.
7.2, свойство 3') сходится и интеграл по этому же промежутку от функции 2Щх)~, а тогда, согласно теореме 7.1, сходится и интеграл от функции Дх)+Щх)[. На основании того же свойства, используя (7.15) при Л1 — - 1 и Лз = -1, запишем Поскольку сходятся интегралы в правой части этого равенства, то сходится и интеграл в его левой части. ~ Т.я. Абсааотиаа и уоаовиаа саолииоста юп'еграаов 307 Определение Т.б.
Если наряду с несобственным интегралом от функции Дх) по бесконечному промежутку [а, +оо) сходится и интеграл по этому промежутку от функции у(х) ~, то первый из этих интегралов называют сходлщимсл абсолюпзмо, а функцию /(х) — абсолютно иипъегрируемой.
В этом случае говорят об абсолютвиоб сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пример Т.12. Исследуем на сходнмость несобственный интеграл +оо | з!Пх ех. (1+ з 1 (7.35) Подынтегральная функция Дх) = з1п х/Д + хз непрерывна, а значит, и интегрируема на любом отрезке [1,6). Так как она знакопеременна в бесконечном промежутке [1,+со), то рассмотрим поведение несобственного интеграла от функции Щх)~ по этому промежутку.
В силу ограниченности функции з1пх при х > 1 имеем з1п х ~ [з~пх~ 1 /1+хз ~ хз/з 1+ 1(хз ~ ~3/2 Поскольку показатель степени в = 3/2 > 1, то несобственный интеграл по промежутку [1, +оо) от функции д(х) сходится (см. пример 7.3). Поэтому, согласно теореме 7.1, сходится и несобственный интеграл по этому промежутку от функции Щх)~, а тогда на основании теоремы 7.5 несобственный интеграл (7.35) сходится, причем, согласно определению 7.5, абсолютно. Определение Т.б. Если несобственный интеграл от функции Дх) по промежутку [а, +оо) сходится, а интеграл от функции Щх)~ по этому промежутку расходится, то первый из этих интегралов называют сходлщимсл условно и говорят 308 Т. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ об условиоб сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку.
Пример 7ДЗ. Исследуем на сходимость несобственныи интеграл + (7.36) П ынт грвльная функция в1пх/х непрерывна в промежутке од е (1,+со), а значит, н интегрнруема на любом отрезке (, ]. Проинтегрируем эту функцию на отрезке (1, Ь1 по частям: Ь Ь ь | в1п х 1 б(-совх) сов х (ь )г со~х — Их=у х,/ х х !ь „1 х 1 1 Переходя в.этом равенстве к пределу при а-++ос, получаем +оо +со | апх Г совх — Нх = сов1 — ~ — <Ь. г 1 1 (7.37) гралы +оо +оо | в1п ах пх и ~ х. х Для нсследования интеграла (7.36) на абсолютную сходимость рассмотрнм сначала на том же промежутке интеграл от функции в1пг х/х = (1 — сов2х)/(2х).
На основании определе- Так как ~ сов х/хг ( 1|хг при х > 1, а несобственный ннтегрвл от функции 1/хг по промежутку (1,+оо) сходится (см. пример 7.3), то в силу теорем 7.1 н 7.5 интеграл в правой части (7.37) сходится, причем абсолютно.
Следовательно, интеграл (7.36) сходится. Аналогично можно показать, что прн о ф 0 сходятся инте'- 7.6. Авсоаотнао н условное схолнность аитссрааов 309 ння 7.1 несобственного интеграла по неограниченному проме- жутку запишем +со ь | в!п~ х . в!пз х — Их = !пп — Нх = х ь-++ о х 1 ь ь +00 +со !пп — — — ь!х = — — — с!х. (7.38) ь Первый интеграл в правой части (7.38) расходится (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
