Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 40
Текст из файла (страница 40)
4Л). Несобственный иитеграл по промежутку [а, +оо) может сходиться и в случае, если подынтегральнал функция /(х) не ограиичеиа при х-++оо. Например, функция /(х) =хсоех~ ие ограничена при х ~+со, однако, используя подстановку ЗЗО 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ хэ = э в интеграле по промежутку [О, +оо), получаем 1 Г хсоех Пх = — ~ соея Их, 2./ т.е. интеграл в левой части равенства сходитсл, поскольку сходится (как зто установлено выше в этом примере) интеграл Френелл в правой части равенства. Предлагаем читателю самостолтельно доказать, что если несобственный интеграл по промежутку [а, +оо) от неотрицательной при х >а функции у(х) сходнтсл, то ~(х)-+О при х-++оо, т.е.
Дх) лвллетсл функцией, б.м. при х->+со. 7.10. Главные значении несобственных интегралов Пусть й1укхцел у(х) определена на всей числовой примой и и инп~сгреруеме на любом отрезке [а, 6] С В. Если существует конечный предел В 1пп у(х)Нх, В-++со у -и то этот предел называют г еаеиььм значением иесобсиэееииого иииэеграло и обозначают Ч.р. у(х) Их (Ч.р.
— начальные буквы французских слов Ча1епг рппс1ра1— главное значение). В случае неотрицательной функции главное значение несобственного интеграла равно площади неограниченной области между осью абсцисс и графиком этой функции. Интеграл от нечетной функции по любому симметричному относительно начала координат отрезку [-В, В] равен нулю.
7.10. Главные эначеннв несобственныв нвтераеов ЗЗ1 Позтому и главное значение несобственного интеграла от те кой ф нкции также равно нулю. Главное значение интеграла удвоенному зна му значению этого интеграла. Поскольку любую опречетной 1О(х) и нечетной функций 1Ь(х) [1-3.5) в виде 1(х)+Т( — х) „ 1(х) — у(-х) 2 2 то для функции Дх) получим +ос +оо Ч.р.
Дх) сЬ = 2 <р(х) ~Ь оо О (если, конечно, несобственныи интеграл в право" Й ча~~и зтого равенства сходящийся). 7.23. Ф нкция Дх) =(1+х)/(1+х ) является суммой четной <р(х) = 1/(1+ хз) и нечетной ед(х) = х/( х функций. Позтому с учетом примера Т.2 находим Ч.р. / — Нх = 2 ( — = я. ф г 1+х / ." — ( ." оо О Если функция ~(х) не ограничена при х -+ с б (а, Ь), то несобственный интеграл от этой фун ц к ии на отрезке [а,Ь] можно представить в виде (7.2Т) ь с Ь | Дх) Их = Дх) Их+ Дх) ех = е а с в ь = Ию 1~®с11+ йпв 1~(1)с11, е-ес-е,/ *-+с+О,у е в 332 7.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ причем он расходится, если один или оба предела в правой части этого равенства не являются конечными. Но если существует конечный предел с-с Ь 1пп /(х)ах+ /(х)ах Ф с+с (7,49) то его называют глаеныль значением несобсьивенного ин сиеграла от неограниченной функции и обозначают ь Ч.р. Дх) йх.
с Ь с-с Ь Ч.р. /(х) Нх = 1пп — + с-с Ь 6.~* — с) +ь~* — с! )= с-++О ~, с с+с = вь [ь~ ~+ь~' '~) =ь' Может сложиться неверное впечатление, что главное значение несобственного интеграла от неограниченной функции можно вычислить по формуле Ньютона — Лейбница как разность значений первообразной г'(х) = 1п(х — с) на концах отрезка [а, 6], игнорируя неограниченность функции Дх) = = 1/(х — с) при х -+ с б (а, е). Но совпадение результатов в данном случае является исключением, а не правилом. Покажем Пример 7.24. Используя пример 7.10, можно установить, что несобственные интегралы от функции /(х) = 1/(х — с) по промежуткам [а, с) и (с, 6] расходятся.
Однако главноеэначение несобственного интеграла от этой функции существует: ззз Вовросм н задачи на простом контрпримере, что игнорирование неограниченности функции во внутренней точке отрезка интегрирования может привести к абсурдному результату. Например, в случае формального применения формулы Ньютона — Лейбница к вычислению интеграла на отрезке (-1, 1] от функции д(х) = 1/хг получаем 1 1 | Г Нх 1(1 д(х) (1х = / — = -- ~ = -2, х тогда как подынтегральная функция положительна. Так как функция д(х) = 1/хг не ограничена при х-~ О, то проверим, существует ли коиечный предел вида (7.49): Именно второе слагаемое в правой части этого соотношения, стремящееся к бесконечности при е -++О, было упущено при вычислении главного значения несобственного интеграла с помощью формулы Ньютона — Лейбница. Позтому главное значение несобственного интеграла от функции д(х) = 1/х на г отрезке (-1, Ц не существует.
Вопросы и задачи 7.1. Можно ли сходящийся по промежутку 1о, 6) интеграл от неограниченной при х -+ 6 — О функции Г(х) рассматривать как предел соответствующих интегральных сумм? 7.2. Вычислить несобственные интегралы по промежутку [О, +оо) от следующих функций: 1 1 1 агсФйх а); б) '+*+1' (~и+*+1(1' 1+ 3',((1~~ ') 3 г) 335 Воаросы и задачи 7.9. Найти области значений параметров гг и 13, при которых сходится (вбсолготно и условно) интегралы по промежутку (О, +со) от функций: е* агрба х 1 (з~г+~ 1)Рв!пд и (2+хг)(ез 1)Д' 1+х~~в!пх!Ф' 1+х !по(е* — х) !п(1+ х~) — 2!пх г) ° и ! д) 4 а (х+~/х)дагсв!п — (~/1+х — 1) агсФбдх 1+и 7.10. Найти главные значении несобственных интегралов: +00 4 и з/в а); б) —; в) х 1кх Нх; г) е 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 8.1.
Определенные интегралы, зависящие от параметра Пусть фуккция Дх, у) интегрируема на отрезке [а, Ц при любых значениях параметра у б [с, д). Тогда существует определенный интеграл Цу) = Дх, у)ах, а (8.1) называемый определенным инпяегралом, эавислщим от параметра у. Подынтггралькая фукнция у (х) в рассмотренных выше интегралах зависела только от переменного интегрирования х. Однако в ряде случаев (например, при исследовании сходимости несобственных интегралов) в подынтегральную функцию входили некоторые коэффициенты или показатели степени, которые могли принимать те или иные значения. В таких случаях можно говорить о зависимости интеграла от значений этих коэффициентов или показателей степеней, называемых обычно параметрами.
В простейшем варианте, когда подынтегрзльная функция у(х, у) помимо переменного интегрирования х зависит еще от значений одного параметра у, говорят об интеграле, зависящем от этого парамепзра. Использование свойств зависящего от параметра интеграла существенно расширяет возможности интегрального исчисления как в теоретических вопросах, так и в прикладных задачах. 8.1. Омредеаеммые ммтеграем, еаамсюмме от параметра 337 ФЬ) ,У(у) = у(х, у)ах, юЬ) (8.2) зависящий от параметра у. Теорема 8.1. Если функция двух переменных Дх, у) непрерывна в прямоугольнике Р = ((х;у): х б [а, Ь~, у Е [с, а)), (8.3) то интеграл, зависящий от параметра у, 1(у) = У(х у)дх а как функция переменного у непрерывен на отрезке [с, а).
М Прямоугольник Р является компактным множеством, а непрерывная на таком множестве функция у(х, у) равномерно непрерывна на нем [1-Щ, т.е., согласно равномерной непрерывности, для произвольного г > 0 найдется такое б = б(г) > О, что для любого х б [а, Ь] и любых у, уе Е [с, И] при условии [у — уе~ < б(г) верно неравенство ~~(х, у) — Дх, уе)[ <— С учетом линейности определенного интеграла и его свойства 10' (см.
0.7) для любого у б [с, а)1 удовлетворяющего В общем случае от того же параметра у могут зависеть и пределы интггрированиц т.е. а = ~р(у) и Ь = еЬ(у). Если функция у(х, у) интегрируема на отрезке с концами в точках у(у) и ер(у) при любых значениях параметра у б [с, а), то существует определенный интеграл 338 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЭАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА неравенству )у — уо~ <6(х), имеем Ь Ь )У(и)-У(в))=)у У(* и)и*-у У( в)и*(= а а Ь =)~(У(* и)-У( в))и») < а Ь Ь < /)У(,и)-У(,и ))и < / — '' ». Итак, для произвольного с > О найдется такое 6 = 6(х) > > О, что для любых у, уо Е [с, «Ь]и для которых [у — уо[ < 6(х)» будет выполнено неравенство [1У(у) — Цуо)[ < х, т.е. функция 1(у) непрерывна в произвольной точке уо Е [с,4], а значит, и на отрезке [с, гй]. )и Замечаиие 8.1.
Из хода доказательства этой теоремы следует, что при уо Е [с, (1] У(и~) = иа У(и)=у (и~ У(* и))и*=/У(, в)и», т.е. в случае непрерывной в прямоугольнике (8.3) функции )'(х, у) разрешен переход к пределу по параметру у под знаком интеграла на отрезке [а, О]. Пример 8.1. а. Вычислим предел 11ш (х +с<иух)схыпУ<~х ги-+о,)) Поскольку подынтегральная функция непрерывна в прямоугольнике ((х;у): х Е [-)г, Уг], у Е [-1, 1]) 8.ь Оарадааевыые аетагратъг, эаеасацеа от параметра 339 и 0 Е [-1, 1], то, согласно замечанию 8.1, находим 11т I (х+соеух)еаеаЯх = / 11т(х+соаух) е еаЦ1х = т-ьо,/ —,,+.
т (х+ 1) Их = ~-х + х) ~ = 2х. ~2 т б. Выясним, можно ли перейти к пределу под знаком интеграла в выражении 1пп — е 1~~т1 пх. а~о,/ уз о Переход к пределу под знаком интеграла в данном случае неправомерен, поскольку подынтегральнал функция ~(х, у) = = (х/у~)е 1*~т1 имеет разрыв в точке (О;0), принадлежащей любому прямоугольнику ((х;у): х б (О, Ц, у б 1-е, е)), е ) О, в котором она должна быть непрерывна (см. замечание 8.1). В этом примере нужно сначала вычислить интеграл | — е 1 ~т1 Их= — е ~" с1~ — ~1 =--е ~т ~ =-(1 — е ~та), у 2 у~/ 2 о 2 о а затем перейти к пределу. Тогда получим 1пп / — е 1~~т1 Ых = — 1пп (1 - е '~т ) = -.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
