Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 44
Текст из файла (страница 44)
гамма функция Г(в) является предо сжением функции (в-1)!, определенной лишь прв в 6 Х, ва множество значений з>0. Более того, используя (8.28), можно продолжить гамма функцию н ва множество значений в 6 (-н, 1 — к), полагал Г(.) Г('+") Ы. (8.30) з(в+ 1) (в+ 2) ... (в+ и — 1) ' Збт 8.8. Эйаеровм яатеграам Итак, гамме функция определена на всей числовой прямой, за исключением точек »=1— — а, п Е Х. График функции Г(з) представлен на рис. 8.2.
Возвращаясь к бета функции В(а,,б), выясним некоторые ее свойства. 1'. Для любых а> 0 и ~9 > >О В(а,,б) =В(,6, а), чтолегко установить, если в интеграле В(о,,д) выполнить подстановку 1 — х = 1. 2'. Для любых а>0, б>1 или а >1,,6>0 соответственно справедливы равенства В(а,,9) = В(а,,б-1), В(а,,9) = В(а-1, Ф). В самом деле, интегрированием по частям с учетом равенства хе=хе ~ — хе ~(1 — х) получаем + — х~(1 — х)» ~Ь = — ~ х (1 — х)» 4х— а -2 ~б а-1 -я е е отсюда следует первое соотношение, а в силу свойства 1' симметрии и второе соотношение свойства 2'. 368 я. интеГРАлы, 3АВисЯЩие От пАРАметРА 3'. Для любых а> О и»б Х с учетом симметрии верно равенство (» — 1)! В(а, ») = В(», а) = что нетрудно установить последовательным применением своиства 2', начинал со значения В(а, 1) = 1/а.
В частности, при т», » б Х имеем В(т», ») = (т» — 1)!(» — 1))/(т+» — 1)!. Известная формуле Эйлера длл бепъо- » гаима-фу»к- »»4 устанавливает связь между этими функциями: В( „В) = Г('Г(®), > О„В > О. (8.31) Г(а+,9) ' Для ее доказательства в интеграле Г(а) положим х = (1+ Ф) у, $ > О (дх = (1 + 1) Ну): +сю +оо Г(а) = хе 'е 1х= (1~-1)"у» 'е 1'+О"ф, О о а затем заменим а на а+,8: +со Г(а+ 8) 1 +я-1 -(1+~Ьб (1 1 е)а+я / О Умножим обе части этого равенства на 1' ' и проинтегрируем по 1 от О до ~> О: 4 с +оо | й 'й у +д 'е <'+ОЯу.
(8.32) Г(а+8) = й у е о о о Д 1)=1 ~у+и 'е 11+О" при а>1 и Р>1 Функция Ду, ) = непрерывна на множестве ((у; Е): у > О, 1 > О), и интеграл | У(у е)Ф о 369 8.8. Эйлвровы ивтесрааы согласно признаку Вейерштрасса, равномерно сходится относительно параметра 1 па любом отрезке [О, в), так как сходится интеграл от мажорирующей ее при $ б [О, в] функции в 'у +8 'е ".
Поэтому в правой части (8.32) в силу теоремы 8.7 можно поменять порядок интегрирования, одновременно сделав в левой части подстановку х = $/(1+ 1) (<Ь = Й/(1+ 1) ~, 1= /(1- ), 0=4/(1+~)): Г(а+8) в~ ~(1-л)8 ~Нв= у +8 ~е "йу 1~ 1е '"Й. (8.33) При ~~+оо внутренний интеграл стремится к Г(а)/у'*, а интеграл в правой части (8.33), согласно признаку Вейерштрасса, равномерно сходится относительно параметра С на любом отрезке [О, а), поскольку сходится интеграл от функции Г(а)1Г8 1е в, мажорирующей подынтегральную функцию при С б [О, а]. Следовательно, выполнены условия теоремы 8.6 и в соответствии с замечанием 8.2 возможен переход в (8.33) к пределу при С -++со под знаком внешнего интеграла, чему в левой части (8.33) отвечает переход к пределу при и-+ 1.
В итоге интеграл в левой части (8.33) стремится к В(а, 11), а в правой части — к Г(а) Г(,6), откуда следует (8.31). Напомним, что справедливость (8.31) установлена при а > 1 и 9 > 1, это позволило изменить в (8.32) последовательность интегрирования. Если же а > 0 и ~9 > О, то вместо (8.31) справедливо лишь равенство Г(а+ 1) Г(,0+ 1) Г(а+ 13+ 2) Но отсюда снова следует (8.31), если к гамма-функции приме- нить (8.28), а для бета-функции использовать свойство 2'. Пример 8.11. Найдем значение Г(1/2).
Так как Г(1) =1, нз (8.31) заменой переменного х = в1пз1 (Их = 2в1п$совФЙ, 370 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Ф=О при х=О и $=х/2 при х=1) получим В(, ) — Г() — * /(1 х) /И о Итак, Г(1/2) = ~/х. Использун это значение гамма-функции, можно вычислить несобственный интеграл +ОО Р= е 'ах, е (8.34) +оо +00 Р= / е их= — ~ $ ' е й=-Г(-) = —. г 3 1 г 1 3 1 1 /1Ъ а 2„/ 2 2 2 В силу четности функции е ~ получим играющий важную роль в теории веронтностей. Этот интеграл называют иитегралом Пуоссоио по имени французского механика, физика и математика С.Д.
Пуассона (1781-1840). Иногда (8.34) называют также интегралом Эйверо — Пуассоиа. Если в (8.34) провести замену хз = $ (2х 4х = й), то можно записать 3?1 Во оросм и задаче Для подынтегральной функции е *~ заменой переменного х = Р~г (Нх = 101г 1 й/р) с учетом (8.30) получаем Г -*'Ы 1 ~Гь1г-ье-ьЮ Г( ~ Г~1+ / е х=— о о Интересно, что при р-ь +оо интеграл стремится к значению Г(1) = 1. При л ) 0 функция Г(е) достигает миннмального значения 0,8856 в точке в = 1,4616. Для сравнения при в = 3/2 Г(3/2) = Г(1/2)/2 = /х/2 = 0,8862.
Вопросы и задачи 8.1. Найти пределы при у -+ 0 следующих интегралов: 1 г а) хг+уг~Ь; б) х соеху<Ь; в) ~ о о о 8.2. Из условия минимальной средней квадратичнои погрешности на отрезке (О, Ц найти козффициенты и и о в приближенной формуле ~/Г+ хг в Йх + о. 8.3. Найти производные по параметру у следующих интегралов: ь+г 9 маг а) — Нх; б) ь' Их; в) оЦх~у) ~Ь. х х а+о о СОВ г 8.4.
Можно ли вычислить производную функции 1 1(у) = 1в(хг+ уг) Нх о при 8=0, используя (8.5)? 372 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЭАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 8.6. Доказать, что если функция /(х) непрерывна на отрезке (О, о) и 0 < а < <х<о. 8.6. Выяснить, при каких значениях х н у верно (8.7) для следующих подынтегральных функций: хз рз 5 ,3 а) ( з,!. „з)з б) ( )з в) ( 4 2„з)е 8.7. Применяя интегрирование по параметру, вычислить интегралы 1 1 | ха 1 Т хл — х' 1 — з!п(!п — ) Нх, / — соз(!и — ) Их, 0 < а < о. !пх х ' „! !их х 8.8. Доказать, что интегралы Френеля сходятся и +со +оэ | /х з1пх ох = созх Йх = -~/ —. 2у 2 о о 8.9.
Доказать, что Г(в+ 1/2) = (2п — 1)!! ~/х/2", и 0 Х. 8.10. Выразить через значения гамма-функции интегралы по промежутку !О, +со) от следующих функций: а) х"е~, р>-1, о>0; б) е ™х !"~'1, д>0, пЕХ; в) 1/(1+х )", р>1/2; г) ег* ~, р>0. 9.ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Интегральное исчисление является одним иэ наиболее широко применяемых на практике разделов математического анализа. Сначала рассмотрим общую схему применения определеппого интеграла, а затем перейдем к его геометрическим приложениям и примерам его использования при решении прикладных задач в механике, физике, технике. 9.1. Общая схема применения интеграла Пусть вне зависимости от существа изучаемого геометрического, физического или технического объекта его некоторое свойство свлзано с промежутком Х.
Этот промежуток может соответствовать протяженности объекта, периоду времени движення точки, прнращению температуры тела или разности электрических потенциалов на обкладках конденсатора, а рассматриваемыми свойствами могут быть масса объекта, пройденный точкой путь, аккумулированное телом количество теплоты или накопленный конденсатором электрический заряд соответственно. Если количественная характеристика рассматриваемого свойства является аддитивной, т.е.
итоговое значение этой характеристики в промежутке является суммой вкладов всех частей этого промежутка,то обычно ее удается вычислить при помощи определенного интеграла. Отметим два характерных подхода, связанных с применением определенного интеграла. Первый подход состоит в составлении выражения для дифференциала функции, количественно характеризующего изучаемое свойство объекта на элементарном участке Ьх про- 374 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА межутка Х. Если этот дифференциал удается представить в виде Дх)йх н функция Дх) является интегрируемой в промежутке Х, то далее необходнмо вычнслнть определенный интеграл от этой функции по данному промежутку. Поскольку функция Дх), непрерывнэл в промежутке Х, имеет на любом отрезке [а,в]СХ первообраэную, то в таком случае для вычисления определенного интеграла можно найти одну нз первообразных этой функции и затем воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница.
В некоторых достаточно простых случаях выражение для первообраэной можно получить непосредственно при составлении упомянутого дифференциала. Если известно, что определенный интеграл, описывающий количественно рассматриваемое свойство объекта, существует, т.е. существует предел соответствующих интегральных сумм, то возможен второй подход. Ои заключается в составленвв одной иэ интегральных сумм по совокупности частичных отрезков разбиения промежутка Х для функции Дх), характеризующей проявление изучаемого свойства в окрестностн любой точки * б Х.
Тогда предел такой интегральной суммы при стремлении максимального шага Ь раэбиения к нулю и даст искомое значение определенного интеграла от функции Дх) по промежутку Х, поскольку этот предел при условии Ь-+ О не зависит ни от разбиения промежутка на частичные отрезки, ни от выбора точек, в которых на каждом из частичных отрезков вычисляют значение функции Дх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
