Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 39
Текст из файла (страница 39)
На рис. 7.10 заштрихована область значений а и ,9, при которых исследуемый интеграл сходится. Рие. 7.10 Пример 7.19. Исследуем на условную и абсолютную схо- димость (см. определения 7.5 и 7.6) несобственный интеграл от функции Дх) =х"'в1вх/(1+х") (гвму В, и > 0) по промежут- ку (О, +оо). Точкой х=х разобьемзтотпромежуток надвапромежут- ка: (О, и) и [х, +оо). Поскольку у(х) х +',аиитегралот з-++о функции д(х) = 1/х' по промежутку (О, и) сходится при усло- вии в < 1 (см. пример 7.10), то в соответствии с теоремой 7.4 при в = -ю — 1 < 1 (т.е. при ш > -2) сходится интеграл по этому промежутку и от функции Дх), причем абсолютно, так как ~(х) = ~~(х)~ при х б (О, х).
Преобразуем функцию Дх) к виду У(х)= „. Прн в — ш>0, или ш<и, инте- грал от функции у(х) по промежутку [х, +со) сходится, так как для этой функции выполнены все условии ггризкаиа Дирихле (см.пример7.16.а). Итак,интегралотфункции Дх) попроме- жутку (О, +оо) сходится, если -2<гв< в. Нетрудно показать, что при тех же условиях сходятся иктегрвлы +оо +оо | в1п ах /' совах х +х"- ггх и гГх, ,у х о~+х" "' о о где а~О. Так «а«при в = и — ш ~вгвх~ 1 1 и8.
прямерм иссаеловаеиа явтеграеов вв сяолимость 323 то, согласно примеру 7.3, интеграл от функции Дх) по промежутку [х, +оо) сходится абсолютно, если» вЂ” »з=я> 1, т.е. при»т <» — 1. Покажем, что при» вЂ” 1< ~в<» интеграл от функции Дх) по промежутку [х, +оо) сходится только условно. Для этого рассмотрим поведение интеграла от неотрицательной функции у(х) =е1взхДх ~+х" ) по указанному промежутку, представив этот интеграл суммой двух: +оо +со Г ешах 1 /' 1 — сае2х их=в 4Ь= х-~а~-х--~в 2 1 х-в~-х.= 21 / х- ~-хо-'о / х-о1-1-х»- / Первый интеграл справа — это несобственный интеграл, сходящийся лишь при и — тв> 1, или т<» — 1 (см.
пример 7.3), и расходящийся при» вЂ” »з < 1, т.е. при тв>» — 1. Второй интеграл скодится при»з <». Таким образом, интеграл от функции у(х) по промежутку [и, +со) сходится лишь при т»<» — 1 н расходится при ю)»-1. Но Следовательно, согласно теореме 7.4, при ю )» — 1 интеграл от функции Щх) ~ по промежутку [х, +со) расходится, а в силу определения 7.6 несобственный интеграл от функции 1(х) по тому же промежутку сходится условно. В итоге получаем, что интеграл от функции ~(х) по промежутку (О, +оо) сходится абсолютно лишь при одновременном выполнении условий ю > -2 н » — тв > 1, т.е. при -2 <»з <» — 1. На рис. 7.11 Рве ~*11 324 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ заштрихованаобластьзначений ттт и п, при которых интеграл от функции Дх) = х">в!ах/(1+ х") по промежутку (О, +оо) сходится, причем вертикальной штриховкой отмечена область условной сходимости, а горизонтальной — абсолютной сходи- мости.
Т.9.Преобразование несобственных интегралов Покажем на примерах, что при помощи замены переменного и интпегрирования по частпан несобственный интпеграл может сводиться к обычному определенно.иу интпегралу. Пример 7.20. а. Рассмотрим несобставенный интпеграл от неположительной неограниченной при х-++О фунннии 1пв!пх по промежутку (О, я/2]. Покажем сначала, что зтот интеграл сходится, а затем вычислим его. Чтобы убедиться в его сходимости, используем интегрирование по частям: »т'2 ~ Iг !' совх 1= 1пв1пх>!х=х1пв1пх~ — / х —.т!х= о,/ в1пх о о тг ~тг = — 1пп (х!пв!пх) — хс1ихт!х = — хссйхт!х, е->+о поскольку, согласно правилу Бернулли — Лопитзля, 1пв!пх .
совх 1пп (х1пв1пх) = Ит — = йш = О. а'->+о ю-++о 1/х к-Ф+о (-1/хг) в1пх Определенный интеграл в правой части предыдущего равенства существует, так как функция хс2йх непрерывна и ограничена в промежутке (О> х/2] и в точке х =0 может быть доопределена значением 1. Таким образом, интеграл 1 сходится. 7.9. Преобраэоаанне нееобетаенных ннтеграхон 325 Для вычисления несобственного интеграла от функции 1пе!пх по промежутку (О, х/2) проведем сначала замену переменного х = 2» (г!х = 2г!», х = О при х = О и х = х/4 при х=гг/2) и запишем «/г «/4 1= 1пяпхг!»=2 1п»1п2»г!»=2 1п(2е!пхсоег)г!х. Так как интеграл 1 сходится, то, используя свойства логарифмической функции, несобственный интеграл в правой части зтого равенства можно представить в виде суммы интегралов: 1 = — 1п 2+ 2 1п е1п»Нх+ 2 1п соэхг!х.
2 Теперь в последнем интеграле заменим »=я/2 — $ (гЬ=-Й, 1=к/2 при »=О и 1 =я/4 при х=гг/4): «/4 «/4 1= — 1п2+2 !пв!пхг!х+2 !псов! — -$) (-й) = 2,/ ./ ~2 «/2 = — 1п2+2 1пе!пхг!х+2 1пз1пФЙ= 2 «/г = — 1п2+2 1пе1пхг!х = — 1п2+21. 2 / 2 о Отсюда 1= -(х/2)!п2. б.
Для вычисления интеграла от функции 1п"х (п) О целое), неограниченной при х -~ +О, по промежутку (О, 1] 326 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ используем интегрирование по частям: ! «=!и" х! 1„= !и" хах = ~ О 1 Г !и" 1х =х!п"х~ — и/ х — бх=-н1„1, е,/ х о поскольку, примевяя н раз нрав«ло Берналૠ— Лов«нньял, получаем !п"х . и!п" 'х цп х!и"х= !цп — = !!~п в-ь+е в-~Фе 1/х в-++О х(-1/хз) !пв-1 х =-«!!т =...=(-1)"+1«! !цп х=О.
-++о 1/х " ' ' -++о Так как 1д — — 1, в итоге находим 1„= (-1)"н! В этом примере значение 1„вайдеио без исследования несобственного интеграла на сходимость. Подынюегравнал функция в преобрззоваииом интеграле будет, вообще говоря, неограниченной при 1-+ О. Наоборот, весобствевиый интеграл по конечному промежутку (а, Ь) от веограиичеииой при х -+ Ь фуикции /(х) заменой перемевиого а+Ь| х — а х ! !=в 1+$ ' Ь вЂ” х Ь-а бх= — й, (1.!. !)г Замечание 7.4. Отметим, что несобственныб «нтеграл от функции Дх) иобесконечному промехсутку [а, +оо) заменой переменного х = 1/! можно преобразовать к иитегралу по конечному промежутку: 327 7ЛЬ Преобразование ввсобсвивккмх яитегрвввв нтегралу по бесконечному промежутку нетрудно привести к инте 10, +00): | ь Г а+61~ Й Дх) Ых = (6- а) / ~( — ~ а о Если равный нулю нижнии предел не уд дл обен я дальнейшего исследования преобразованного и р нтег зла, то заменой переменного х = 6 — 1/1 (Ф = 1/(6- х)) можно получить ь +оо й*) *=И --')4 О с где с= 1/(Ь вЂ” а).
ть перехода заменой переменного интегрироваВоэможность пе; ния от одного т ипа несобственного интеграла к другому еще раэ подтверждает существование аналогии свойств и признаков ов обоих типов. сходимости несобственных интеграл Пример 7.21. Покажем, что если интеграл от четнои ч ункции 7(х~) по промежутку 10, +00) сходится, то В | Д~)И=А| ~ (А* — — ) )Ы, А, В>». (».4$) о о Проведем замену переменного л = л = Ах — В/х, полагал, что х ) О. В данном случае х -++О при л-+— -00 Х -+ +00 при л-++00 и л= ~Ь = (А+ В/хэ) Их. С учетом свойства 3' аяа см. 7.2 линеиности схо ящ дящегося несобственного интеграла (см..
) получаем | Д*~)И =А /~((А* — — ) )Ю»В /»((»» — — ) ) —. о — 00 о 328 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Второй интеграл в правой части этого равенства заменой переменного я = — В/(А1) (1 -+ -оо при х -+ +О и 1 -+ -О прн х-++оо4 <Ь = Вй/(АВз)) преобразуем к виду В /4 ((А* — — ) ) — = о =В~~((А — —  — ) ) ( — ) о о =А /~((А4 — -) )44=А ~~((А* — — ) )А*. (7.464 Таким образом, с учетом свойства 2' аддитивности сходящего- ся несобственного интеграла (см. 7.2) имеем /Д*4)А*=А/ ~((А* — — ) ) А, что для четных подынтегральных функций равносильно (7.45).
Пример 7.22. Пусть несобственный интеграл от функции /(х) по промежутку (а, +оо) сходится. Должна ли она быть при * -++оо бесконечно малой (б.м.) функцией? Можно привести контрпрнмеры, из которых следует, что зто не обязательно, Функция у(я) = соехз не имеет предела прн х -)+оо, хотя интеграл от нее по промежутку [О, +оо) сходится.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим два несобственных интеграла (7.47) Х9. Лреобрвэовевие весобствеввмх ввтегрввов 329 для произвольно выбраипого а > О. Первый из пих от иеограниченной при 1 -+ +О функции /(Ц = сое1/~Л сходится в силу теоремы 7.5 (в качестве функции сравнения можно выбрать у($) = 1/~~, интеграл от которой сходится по промежутку (О, а] согласно примеру 7.1О). Второй интеграл по промежутку 1а, +оо) сходится в соответствии с признакам Дирихле функция Д$) = соя$ иптегрируема па любом отрезке (а, Ц С (а, +со) как иепрерывная, функция 1$ Ф(1) = /(г)йт= соегИг=е1пт~ =ваяй — я1па е ограничена при 1) а, а функция у(1) = 1/~~ при $ ) а непрерывно диффереицируема и монотонна, причем у(1) -+ О при 1-++оо.
Сумма интегралов (7.47) оказывается сходящимся весобствеииым иптегралом по промежутку (О,+со). Поэтому, используя замену 1 = хз (х = ~Л, ~Ь = й/(2~~) ), получаем 1 Гсое1 1 Г соа1 Г сое1 à — й+- / — й= / — й= / соех (Ь, (7.48) 2,/ 1/1 2,/ ф,/ 2ф,/ о е о о откуда следует, что несобственный интеграл в правой части (7.48) сходится. Его (как и интеграл от функции япхз по тому же промежутку) называют интегралом Френеля по имени французского физика О.Ж. Френеля (1788-1827), создателя теории дифракции света. Напомним, что для функций соехз и я!пх ие существует первообразных в классе злементарпых функций (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
