Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Теорема Т.В (врихма» Абелл). Если функция 1(х) ннтегрнруема на любом отрезке [а, Ц С [а, +оо) и несобственный интеграл от нее по промежутку [а, +оо) сходится, а функция у(х) при х ) а непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна, то интеграл (7.42) сходится. ~ В силу ограниченности и монотонности функция у(х) имеет конечный предел [1-8.4) йш у(х) = А. На основании свойства линейности определенного интеграла запишем ~ / Яд ~ а) 31 = ~ Л й) (у ф — А) й + А ~ Лй) й. Перехода к пределу при х -~+оо, получаем Второй интеграл в правой части (7А4) сходится по условию этой теоремы. Для доказательства сходимости первого интеграла заметим следующее: поскольку по условию теоремы несобственный интеграл от функции 1(х) по промежутку [а, +оо) сходится, а функция Г(х) = У(1) а О непрерывна на любом отрезке [а, е1 С [а, +оо) (см. теорему 6.15), то она ограничена в промежутке [а, +со).
Кроме 7.7. Другие ернзыаке сходимосли яитеграаов 317 того, функция у(х) — А стремится к нулю при х -~ +со. Следовательно, для первого интеграла в правой части (7.44) выполнены все условия теоремы 7Я, и он сходится. Таким образом, несобственный интеграл в левой части (7.44) сходится, поскольку сходятся оба несобственных интеграла в правой части, что доказывает справедливость признака Абеля. > Пример 7.18. Применяя признаки Дирихле и Абеля, исследуем на сходимость при Л > 0 несобственные интегралы по промежутку [1, +со) от функций вшх б) Ях) = — „ассах.
в1п х а) /1(х.) = — „; х" а. Функция /(х) = в1пх интегрируема на любом отрезке [1, Ц как непрерывная (см. теорему 6.7), функция Ф(х)= /(1)в1= в1п$й=-сов1[ =сов1 — совх !1 Отметим, что все рассмотренные выше признаки применимы для исследования на сходимость и интегралов вида (7.4). ограничена при х>1, афункция у(х)=1/х" при Л>0 огра ничена, монотонна и непрерывно дифференцируема в промежутке [1,.+со), причем у(х) -+ 0 при х -~+со. Поэтому в 'силу признака Дирихле интеграл по промежутку [1, +со) от функции /1(х) ='/(х)у(х) =в1пх/х" сходится при любом Л > О.
б. При Л>0 для функции Ях) =/1(х)у(х), где /1(х) = = вш х/хл и у(х) = агссйх, выполнены условия признака Абеля: интеграл по промежутку [1, +оо) от функции /1(х), как показано в этом примере, сходится, а функция у(х) ограничена, монотонна и непрерывно диффереицируема. Поэтому интеграл от функции Ях) = в1пх агссйх/х1 по промежутку [1, +оо) при Л>0 сходится. 318 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ По аналогии с теоремами 7.8 и 7.9 можно сформулировать и доказать признаки Дирихле и Абеля для интегралов от неогра ниченных функций.
Т.в. Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость Если требуется вычислить несобственный интеграл или доказать его сходимость или ргсходимость, то прежде всего следует установить, почему он являетси несобственным (либо в силу неограниченкостн промежутка интегрирования, либо вследствие неограниченности нодынтеграяьной функции в окрестности некоторой точки конечного промежутка интегрирования). Далее необходимо выяснить, энакопостоянна ли подынтегральная функция во всем промежутке интегрирования. Еслв она знакопостоявва, то исследовать несобственный интеграл на сходимость можно при помощи признаков, изложенных в Т.З и Т.б. Если же подынтегрзльная функция ~(х) меняет знак в этом промежутке, то требуется исследование несобственного интеграла на абсолютную и условную сходимость.
При этом удобно начинать с исследования на абсолютную сходимость, т.е. с исследования [а сходимость интеграла от функции Щх) ~, и если он является расходящимся, то затем следует выяснить поведение несобственного интеграла от функции Дх). Такая последовательность исследования одинаково применима к несобственным интегралам как но бесконечному промежутку, так и от неограниченной функции.
Пусть несобственный интеграл от функции ~(х) по промежутку (а, +со) сходится и функция у(х) ограничена в этом промежутке. Обязательно ли сходится интеграл от функции ~(х)у(х) по этому промежутку? Если интеграл от функции Дх) сходится условно, то интеграл от функции Дх)у(х) может и расходиться. Например, интеграл от функции ~(х) = вш х/х сходится в силу признака Дирихяг, у(х) = в1п х — ограниченнал функция, а интеграл от 7.8. Приыеры пссеедоеаыве юпеграеое ва сходныосеь 319 функции 1(х)д(х) = в1п~ х/х расходится (см.
пример 7.13). Но для той же функции /(х) = в1пх/х и ограниченной функции у(х) = 2совх интеграл от их произведения /(х)у(х) = в1п 2х/х, согласно признаку Дирихле, сходится. Если же интеграл от функции /(х) сходится абсолютно и ~у(х)~ < М Чх > а, то интеграл от произведения функций 1(х)у(х) сходится тоже абсолютно.
Действительно, по условию ~/(х)у(х) ~ ( МЩх) ~ '7х > а. Так как интеграл от функции Щх) ~ сходится, то в силу теоремы 7.1 и свойства 3' линейности сходящегося несобственного интеграла (см. Т.2) также сходится и интеграл от функции ~/(х)у(х)~ по бесконечному промежутку (а,+оо). Следовательно, интеграл от произведения 1(х)у(х) функций по этому промежутку сходится абсолютно.
Пример Т.17. Исследуем на сходимость интеграл от функции 1/(хе+ хе), р, д Е Е, по промежутку [О, +оо). Этот интеграл может быть несобственным интегралом смешанного типа, так как промежуток интегрирования бесконечен, а подынтегральная функция может оказаться неограниченной при х-++О. Представим исследуемый интеграл 1 ввиде +ОО О +ОО Г Их Г ~Ь Г ах 1= ~' = / — + / — =11+1з, а>0.
=,/ хе+хе =./ яр+хе / хе+хе = о о е Ясно, что при р = д = в один из этих интегралов расходится: если в > 1, то расходится 11 (см. пример 7.10), а если в ( 1, то, согласнопримеру 7.3, расходится 1з (при в=1 расходятся оба интеграла). Следовательно, при р = д исследуемый интеграл 1 расходится. Рассмотримслучай р<д. Интеграл 11 сходится,лишьесли р< 1, а 1з сходится, лишь если д>1, т.е. при одновременном выполнении условий р< 1 и д > 1 оба интеграла сходятся, а значит, сходится исследуемый интеграл 1. В случае д < р, наоборот, 11 сходится, лишь если д < 1, и 1з сходится, лишь если р >1, т.е.
1 сходится только при одновременном выполнении условий д< 1 и р>1. 820 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В итоге получаем, что интеграл 7 сходится, если одновременно пип(р, ~) < 1 и шах(р, у) > 1, и расходится в остальных случаях, причем при р > 1, е > 1 расходится интеграл 1г, а при р < 1, е < 1 расходится интеграл 1з. На рис. 7.8 заштрихована область зна ченнй р и е, при которыхсходится интеграл 1. Рис.
ЧЯ Пример 7.10. Исследуем на сходимость несобственные интегралы по промежутку (О, +со) от следующих функций: а) —; б) —, и) 0; в) х~~х — 1~~. агссбх х хР ' 1~ хв а. Заданный промежуток можно представить как объединекие двух промежутков: (О, +оо) = (О, а] 0 [а, +оо), а > О. Если р < О, то несобственный интеграл по бесконечному промежутку [а,+оо) отфункции агсгбх/хг расходится.
Рассмотрим его поведение при р>0. Поскольку агсгнх-+х/2 при х-++со, то при р>0. агсГкх 7Г ~М хя *->+со 2хг агсФ~х 1 хг *-++о хг-г а интеграл от неограниченной при х-++О функции у(х) = =1/х' по промежутку (О, а) сходится лишьпри условии я<1 Интеграл по промежутку [а, +со) (а>0) от функции 1/хг сходится лишь при условии р> 1 (см. пример 7.3). Поэтому в силу теоремы 7.2 сходится при р > 1 интеграл по этому промежутку и от функции агсс8х/хг. Теперь рассмотрим поведение интеграла от неограниченной при х -~+О функции по промежутку (О,а), учитывая, что р>1.
Так как Т.л. Примеры иссмдовеиии иитегроаов ио сходимосчь 321 (см. пример 7.10), то, согласно теореме 7.4, при в = р — 1 < 1 (т.е. при р < 2) сходится интеграл по этому промежутку и от функции ассах/хв, анри р>2 он расходится. Итак, исследуемый интеграл по промежутку (О,+со) сходится лишь при условии 1< р<2. б. Прн и =0 несобственный интеграл ~*И* о расходится при любом значении ти Е Е (см. пример 7.17 при р = е = -ш).
Для случая и > 0 запишем хо~ 1 1 1+хо х 'о+хо хо+хе' обозначив р= — тв и е= в — ш, причем р < е. Согласно примеру 7.17, интеграл 1 сходится, если одновременно р = -иь < 1 и е = и — т > 1, т.е. и > > ~в+ 1 > О. На рис. 7.9 заштрихована область значений ти и и, при которых Рис. Т.Э интеграл 1 сходится. в. Функция Дх) = хо]х — 1~я в зависимости от значений а и ф может быть не ограничена впромежутке (О, +со) при стремлении аргумента х к значениям хе=О, х1 — -1 и при х-++со.
Исключим из этого промежутка точку х1 = 1 и, выбрав а и Ь так, что 0< а < 1 < Ь, запишем (О, +оо) ~ Щ = (О, а] 0 [а, 1) 0 (1, Ь]0[Ь, +ос). В силу теоремы 7.4 и примера 7.17 интеграл от функции 7" (х) сходится по промежутку (О, а] лишь при -сх < 1, а по промежуткам [а, 1) и (1, Ь] — лишь при -О < 1. По промежутку [Ь, +оо), согласно теореме 7.2 и примеру 7.3, интеграл 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ от этой функции сходится, если только -(а+,8) > 1. В итоге получаем, что несобственный интеграл от функции /(х) по промежутку (О,+оо) сходится лишь при одновременном выполнении условий а>-1, ~3> -1, а+,8<-1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
