Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ф т-+о,/ уз 2 т-ьо 2 о Теорему 8.1 можно обобщить применительно к интегралу (8.2) с зависящими от параметра пределами интегрирования. 340 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Если функции ~р(у) и Ф(у) непрерывны иа отрезке [с, оо) и их значения не выходят эа пределы отрезка [и, е], а подыитегральизл функция ~(х, у) непрерывна в прямоугольнике (8.3), то интеграл (8.2) как функция переменного у непрерывен иа отрезке [с, оо). В самом деле, для любой точки уе б [с, о() в силу аддиовиеооосоои овредглекооого интеграаа можно представить (8.2) в виде Ф(о) ФЬо) о (я) ,7(у) = Дх, у) оох+ Дх, у) дх — ~(х, у) о(х. (8.4) о Ьо) ФЬо) мЬо) Первый иитеграл в (8.4) имеет фиксироваииые пределы иктегрироваиия.
Поэтому из теоремы 8.1 следует, что ои иепрерывен по параметру у иаотрезке [с, о() и при у-+ре стремится к значению 1(ре). Остальные два интеграла в (8.4), согласно следствию 6.3, можно оценить следующим образом: ! оо(И ю(я) ~у(*, и)о$<м!о(и)-о<вИ, /~у( и)о*$<м~оЫ-ч(зь)! оо(оо) юЬо) где М вЂ” наибольшее значение функции [Д(х, у)[ в прямоугольнике (8.3). Поэтому при у -+ вв зти интегралы в силу непрерывности функций Ф(у) и <р(у) стремятся к нулю. Это доказывает непрерывность интеграла (8.2) в точке у = уе.
Поскольку уе является произвольной точкой отрезка [с, о(), интеграл (8.2) непрерывен иа [с, о(). Например, полагая ~у[ ( 1 и используя непрерывность функций р, 1+у и 1/(1+хо+уз) в точке у=0, вычисляем их Г о(х ~1 х н = / — = агсФЕх[ я-оо „) 1(-хз-)-уэ ./ 1(-хз !о 4 8.3. Дифферепцмроааппе пвтеграеее по параметру 341 8.2. Дифференцирование интегралов по параметру Утверждение 8.1. Если функция 1(х, у) и ее часпвмая производная 1в(х, у) непрерывны в прямоугольнике (8.3) Р = ((х; у): х б [а, Ц, у б [с, Щ, то определенный иитлеграл 1(у) = 1(х, у) дх, О зависящий опв ввараметра у, дифференцируем как функция переменного у на отрезке [с, в1), причем 1'(у) = /д(х, у)дх Чу б (с, о).
е (8.5) Формулу (8.$) называют йеормулой Лейбеетща дифференцирования интеграла по параметру под знаком интеграла. Пример 8.2. Функцию 11(х) = хз приближенно представим на отрезке [1, 3) линейной функцией 1з(х) =ах+о так, чтобы была минимальной так называемая средняя квадратнчнал погрешность, а именно: В 8.1 получены условия непрерывности функций 1(у) и ,1(у), задаваемых при помощи (8.1) и (8.2) соответственно.
Приведем без доказательства утверждение, устанавливающее условия дифференцируемости функции 1(у). 342 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЭАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА В данном случае интеграл зависит от двух параметров 6 и 6, т.е. является функцией двух переменных. Подыптегральиал функция /(х, 6, 6) =(яз — йх — 6)з при любых х Е [1, 3) и любых значениях Й и Ь иецрерывиа и имеет непрерывные частные производные как по параметру 6, так и по параметру Ь, т.е. в силу утверждения 8.1 можно применить (8.5) для дифференцирования интеграла 1(6, 6) по каждому из этих параметров. Напомним, что веобходимым условием существования экстремума двффереицвруемой функции 1(к, 6) в некоторой точке (Й;6) является равенство нулю в этой точке частных производных по каждому из аргументов, т.е., учитывая (8.5), получаем 1ь(6, 6) = Д (х, 6, 6) Нх = 2(х — Ьз — 6) (-х) Нх = 1 1 л 2 з з1з 52 = ( — -х +-Ья +Ьх ] =-40+ — 6+86=0, 2 3 1ь 3 1ь(йъ 6) — /ь(яч К1 6) чя — 2(я Ья 6)( 1) оя— --я + Ьх + 26х~ = — — + 86+ 4Ь = О.
2 з з 1з 52 3 3 Из этой сисиьельы двух ликейных алгебраических ураенениб находим 6=4 и 6=-11/3. Итак, в точке (4;-11/3) может существовать экстремум функции 1(6, 6). Убедимся, что в этой точке функция достигает минимума. Поскольку функцви 1ь(6, 6) и 1ь(6, 6) линейные, вторые частные производные функции 1(6, 6) имеют постоянные значения, причем 1~",~ —— =52/3, Я=4 и 1Гь=8. Так как 1~~, > О и 1Й1Й Мь)г = (52/3) ° 4 — 8з = 18/3 > О, то, согласно доспьаяьочкому усло- 6.л.
Дифференцирование интегралов по параметру 343 вию существования экстремума функции у двухпеременных [Ч],функция л(х, Ь) достигает в точке (4; -11/3) минимального значения. 1 6 1 Таким образом, функция Ях) = 4х— — 11/3 приближенно опнсывает на отрезке 4 [1, 3] функцию /1(х) = хз с минимальной средней квадратичной погрешностью. .гя(х) 2 Графики этих функций представлены на ' Ях) рис. 8.1. ф 2 4н Утверждение 8.1 можно обобщить применительно к интегралу (8.2) с зависящимн от параметра пределами интегрирования.
Теорема 8.2. Если функция Дх, у) и ее частная производная /„'(х, у) непрерывны в прямоугольнике (8.3) Р = ((х; у): х б [а, Ь], у 6 [с, «]), афункции (р(у) и гр(у) дифференцнруемы наотрезке [с, г(] и их значения не выходят за пределы отрезка [а, Ь], то интеграл (8.2) как функция переменного у дифференцируем на отрезке [с, е(], причем Ф(в) ГЫ= |Ф,ю)~ +Г(ФЫ,гМЫ-УМЫ,г)ФЫ аа в(в) М Представим интеграл )'(у) (8.2) в виде (8.4). Первое слагаемое в правой части (8.4) в силу утверждения 8.1 имеет производную, равную Ф(ги) | /~(х во) ах.
м(ве) Функция Дх,у) непрерывна в прямоугольнике Р. Поэтому, преобразуя второе слагаемое в (8.4) в соответствии с теоре- 344 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЭАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА мой 6.13 о среднем зиачеиии, получаем Ф(и) / /(*а)В*=!ИлИРЫ-Ф(в)), Ф(в) где с — точка, заключенная между ~(уо) и у)(у). Согласно определению, производизл этого слагаемого по у в точке у = =уо равна Ф(о) 1 Ит — / Дх, у) ~(х = о-+~о у — уо Ф(в) = )пп У(6 у) = У(ФЬо), уо)Ф'(уо). Аналогично для производвой третьего слагаемого в (8.4) имеем -1(Р(уо) уо) ФЬо). Объединяя полученные результаты, убеждаемся в том, что провзводизл У(уо) в произвольной точке у =уо 6 (с,а) существует и справедливо утверждение теоремы. ~ Пример 6.3. Докажем, что если функция ((х) непрерывиа иа числовой прямой )ь, то функция О 1(у) = Дх+ у) Их в при а ) О имеет иа И непрерывную производную, и найдем выражение для Р(у).
Использовать (8.5) в данном случае веправомерио, поскольку функция Дх) по условию лишь непрерывна, ио не диффереицируема на И. Сделаем замену переменного х+у=х (Их=~(х) и, согласно теореме 6.17, запишем э+а 1(у) = ((х) Их. аз. Нитстрвооваиив а ансон тру зависит лишь пределы интегрирования, Теперь от параметра у завися а и — а диффереицируемы иа причем функции у+а и у-а д фф ал ' г ьО те Ей,поэтому нетолько х, пои всей числовой оси, т.е.
вы ол иепрерывиы иа всей и е еицируема теоремы 8.2. Следовательно, функция 1(у) диффереи иа ль. Используя (8.6), получаем 1'(у) = 1(у+ а) — Ду — а). 1'( ) непрерывна иа И в силу Таким образом, производная (у, непрерывности иа 1ь фуикции 1(х). 8.3. Интегрирование по параметру Если фуикция 1(х, у) иепрерывиа в р п ямоугольиике (8.3) Р = ((х;у): х Е (а, о), у Е (с, а)), 6.7 и 8.1 функция 1(у) (8.1) интпегрируема то в силу теорем . и ом от еэке.
Таким иа отрезке ьтс, ат) к У~ ак иепрерывиая па этом отрезке. образом, существует определенный интпеграл ь 1(х, у)йх Ну с а и можно говорить о интпе б еврироеании ио параметпру опре- (8.1) зависящего отп этого параметпра. деленного интпеграла ь ., зави й инте- П аииых условиях существует р и оп еделеииый ри указ грал ь с 1(х, у) ау ах. с ывают поеьтьорнььми. Внутренние Такие инпьегральь называют пое скобки в иих обычно опускают и пишут ь ь в | ау 1(х, у) ах, ах 1(х, у) йу.
с с а 346 в. интеГРАЛы, ЭА ВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Теорема 8.3. Если функция ~(х, у) непрерывна в прямоугольнике Р = ((х; у): х 6 [а, й), у 6 [с, й)), то л ь Ь а' | ф ~(х, у)йхаа Нх ~(х, у)йу. а с с а (8.7) ~ Рассмотрим прн Ь 6[с, сь) функции ь ь ь Ь у ~ ~ ) д * с ( ф ) и * | ( у ) д у г'(Ь) = Иу~ Дх у х и а с с а и еренцнруема на отрезке е,с в силу те- Функция Е'($) диффере ал с переменнын верхним о емы 6.16 как определенный интегра ь с перем оремы й нкцни пре е.а де.аом от непрерывной фу Ь 1(у) — ~(х, у) йх, а , согласно утверждению 8.1, нк ия С(ь) дифференцнруема, согласно у р к ет а $ интеграл от функции как зависящий от параметра Ф)аа У( у)Ф с о гольннке Р н имеющей на нем нецре- ди фференцирования в соотве ветствии с (6.48 и Ь Ь Р"(Ь) = Дх, Ь )ех С(Ф) = ~(х, Ь)их Й6 [с, ьЬ), а а Р'(Ь) — С,1, = С = сопвФ ' $ = С'($) н, следовательно, г' с, .
=с г'(с)=С(с)=0, тон С=О, т.е. 'ЙЕ [с, е). Так как при 1=с с = с = 8.4. Равнонариаа схолиноозь иаооостваыных интегралов 347 Р($) =С(1) 1ЙЕ [с, И], в частности Р(!1) =С(ь1) при 1=И, что доказывает справедливость (8.7). Ь Пример 8.4. Вычислим интеграл от функции [хь-ха)/1пх, О < а < Ь, на отрезке [О, 1]. Нетрудно заметить, что ь г — = / хлау.
1пх „/ а Функция /(х, у) =хе непрерывна в прямоугольнике ((х;у): * Е [О, 1], у Е [а, Ь]), если при х = О и х =1 ее доопределить значениями О и 1 соответственно. Позтому, согласно (8.7), получаем ь ь хь — х У = !1х = ах х"Йу = Иу х"Ых = !пх О О а а О =~( — )~ а!=1 — =!~(д+ц~ =! 8.4. Равномерная сходимость несобственных интегралов 1[у) = Дх, у) ах, а (8.9) При распространении теории интегралов, гавислиьих от парамепьра, на случай несобственных интегралов особув роль играет понятие равномерной сходимости интегралов.
Пусть функция Дх, у) определена на множестве Р, = Цх;у): х ) а, у Е У С 1Ц (8.8) и при каждом значении у Е У существует несобственный интеграл 348 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА который называют несобспьвенныи инпбегралом по бесконечному промежутку, зависящим опз паральепбра у Е У. Есин при каждом фиксированном значении у б У несобственный интеграл (8.9) сходится, т.е. существует конечный предел 6 Игп г" (Ь, у) = 11щ Дх, у) Ых, Ь-а+со Ь-++со,Г я то несобспьвенныб иньпеграл (8.9) называют сходящимся на множестве У.
Определение 8.1. Если для любого г > 0 найдется такое не зависящее от у число Ьо > а, что при Ь>Ьо неравенство +ОО Ь +00 Дх,у)дх — /(х,у)ах = У(х,у)ах <е (8.10) О О 6 будет выполнено одновременно для всех значений у б У, то несобсьпвенныб иньпеграл (8.9), завислщиб опЬ параметпра у, называют равномерно сходлщимсл на множестве У (иногда его называют равномерно сходящимся по параметру у б У, относительно параметра у Е У или при уб У).
Пример 8.6. Исследуем на сходимость интеграл от функции Дх,у)=уе я, уеьь, попромежутку 10,+оо). Длязтого вычислим при Ь>0 г(у) = ~(х,у)Нх= уе ядх= ь ~+оо =-е '"~~ = — 1'пп е "+е Ь ~-++со Если у отрицательно, то е *я -+ +оо при х -+ +оо,т.е. при у < 0 несобственный интеграл от функции Дх, у) расходится. 8А. Равноиерыав сходиыоста несобственных интеграхов 349 е-ех ( е-Вс ( е-ссъ е!ве ое = 1 т.е., согласно определению 8.1, несобственный интеграл г(у) сходится равномерно на любом промежутке [с, +со), с > О. Итак, исследуемый интеграл расходится при у < 0 и сходится при у > О, причем равномерно на любом промежутке [с, +оо); с>0. ф Пусть функция Дх, у) определена на множестве Р = ((х; у): х б [а, 6), у Е У С Щ, не ограничена при х~Ь вЂ” 0 (Ь>а) и при каждом фиксиро- ванном уб У существует несобственный интеграл 1(у) = Дх, у) Нх, (8.11) который называют несобственным ин1веералом от неогра ниченной функции, завислифим оев вараметра у б У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
