Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Если у=О, то ~(х,у)=О,азначит, и Р(у)~ =О, т.е. вэтом случае интеграл сходится. Если же у > О, то Р(у) = е ех, и при фиксированном значении у имеем е ~х-+О при 6-)+со. Следовательно, для любого е б (О, 1) неравенство Р(у) = е е" < е будет выполнено для всех положительных значений 6, удовлетворяющих неравенству Ь > 0 (е, у) = — 1пе/у. Но сколь большим ни взять Ь(е, у), функция е х~ -+ 1 при у -+ О, так что для достаточно малых значений у значение функции Р(у) будет больше любого выбранного числа е < 1. Таким образом, при у > 0 рассматриваемый интеграл сходится, но неравномерно. Если же у > с > О, то найдется не зависящее от у такое число Ь, что при 6 > Ь.
неравенство (8.10) будет выполнено сразу для всехзначений у. При еб (0,1) достаточно в качестве 0 принять сз(е, с) = -!и е/с > О. Тогда при Ь > 0 получим 350 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Если при каждом фиксированном у Е У несобственный интеграл (8.11) сходится, т.е. существует конечный предел Ь-6 1пп Дх, у) <1х, 6-++о „~ а то инпьеграл (8.11) называют сходлщнмсл на множестве У. Определение 8.2.
Если для произвольного с > О найдется такое не зависящее от у число з(с) > О, что для любого б, удовлетворяющего условию О < б < ьь(е), будет выполнено неравенство Ь Дх, у)ох <с Ь вЂ” Ь (8.12) Аналогично можно ввести понятие зависящего от параметра несобственного интеграла от функции, определенной на множе- стве Р = ((х;у): х Е (а, 6], у б У С $Ц и неограниченной при х -+ о+ О (а < 6).
Отметим, что иногда именно точка х = а (нли х = 6) оказывается особой для интеграла (8.11) прн тех или иных значениях у. Но определение 8.2 формально сохраняет силу и тогда, когда интеграл (8,11) прн всех значениях у оказывается определенным. Пример 8.6. Рассмотрим интеграл 1 о одновременно для всех значений у б У, то несобсюпеенныб инпьеграл (8.11) от неограниченной функции, зевислщнб опь пюраметпра у, называют рюеномерно сходлщимс* на множестве У. 8.$. Признаки равномерной слодиности интегралов 351 где уб (0,3].
Для каждого значения уб(0,3] этот интеграл существует как определенный. Однако для укаэанного проме- жутка у сходимость интеграла не будет равномерной из-за его поведения в точке х = О. Действительно, неравенство | удх — = агс$8 — < е хэ+ уз у о в случае 0 < е < я/2 не может быть верным одновременно для всех значений у > О, потому что, сколь малым ни взять и, функция агой(0/у) -> х/2 при у-++О, так что для достаточно малых значений у > 0 левая часть этого неравенства будет больше, чем любое выбранное число е б (О, х/2). 8.6.Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов ь" /(х, у)ах <е. (8.13) 4 Необходимость.
Если интеграл (8.9) равномерно сходится на множестве У, то, согласно определению 8.1, для произвольного е > 0 найдется такое Ь = Ь(е) > а, что для любого Как было показано (см. замечание 7.4), заменой переменного интегрирования несобственный интеграл от неограниченной функции можно привести к несобственному интегралу с бесконечным пределом. Поэтому далее ограничимся изучением свойств равномерно сходли1ихся несобстпвенных интегралов вида (8.9) по бесконечному промежутпку.
Теорема 6.4. Для равномерной сходимости интеграла (8.9) на множестве У С й необходимо и достаточно, чтобы при произвольном е > О нашлось такое Ь(е) > а, что для любых 6', 6н > Ь(е) и любого у б У будет выполнено неравенство 352 г. интеГРАлы, эАВисЯШие От пАРАметРА у 6 У в любых Ь', Ьв > О(г) будут выполнены неравенства /(х, у)дх <- и Дх, у)дх <-. Ь' Ь" Тогда, учитывал аддитивность определенного интеграла и неравенство треугольника, получаем Ь" +00 +со ~(х, у)дх = Дх, у)йх — Дх, и)дх < Ь' Ь' Ь ° < Дх, у)дх + Дх, у)дх < -+-жг. Ь' Ь" Достаточность. Если (8.13) выполнено для любого у 6 У и любых Ь', Ь" > сь(г), то в силу критерия Коши сходи- мости несобственного интеграла (см.
теорему 7.6) интеграл (8.9) сходится при всех у Е У, причем для произвольного г > О найдется такое Ь(г) > О, что (8.10) будет выполнено для любых у Е У и любого Ь > Ь(г), аэто соответствует определению 8.1 равномерной сходимости зависящего от параметра несобственного интеграла (8.9) на множестве У. р Утверждение зтой теоремы называют критерием Коши равномеркоб сходимостпи несобсьпвенного интеграла, зависящего от параметра. Пример 8.7.
Исследуем на сходимость интеграл +оо ~(г) 14 (х,)г (8.14) о при значениях параметра у 6 [О, +оо). Вычислим ь" Г дх ~ь" 1+ (х — у)з = агс18(х — у) ~ = агсйфЬн — у) — агсйфЬ вЂ” у). 1ь ь 8.$. Прививки рввиоиовиой оволииооти иитогрввов 353 агсс8(Ьв — у) — агсс8(Ь'- у) ( х (8.15) для любых Ь', Ь" > Ь(е, у), где Ь(е, у) =у+18(х/2-е). Однако сколь бы велико ни было значение Ь(х) > О, всегда при некоторых Ь', Ь" > Ь(х) можно найти такое значение у 6 [О, +со), что неравенство (8.15) будет нарушено.
Это противоречит критерию Коши равномерной сходимости (см. теорему 8.4), так что интеграл (8.14) сходится при у б [О, +со), но неравномерно. 4Ь В некоторых случаях равномерную сходнмость несобственного интеграла удается установить при помощи следующего достаточного признака. Теорема 8.5 (кризкак Вебершгкрасса). Если при каждом у 6 У фуикиив ~(х, у) ингаегрируема иа любом о грезке [а, Ь] С [а, +оо) и Щх, у) ~ ( у(х) Чх 6 [а, +со), (8.16) а несобственный интеграл у(х) их Ф (8.17) от фуккнки у(х), называемой мазкорирующей, сходится, то несобственный интеграл (8.9) сходится абсолютно и равномер- но на множестве У. ~ По условию теоремы интеграл (8.17) сходится, и, поскольку выполнено неравенство (8.16), интеграл (8.9) сходится абсолютно при любом у 6 У (см. теоремы 7.1 и 7.5).
Из сходнмости В силу критерия Коши сходнмости несобственного интеграла (см. теорему 7.6) интеграл (8.14) сходится, поскольку для произвольного е > О и фиксированного значения у 6 [О, +со) будет выполнено неравенство 354 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА интеграла (8.17) следует, что для произвольного х > О иайдетса такое Ь(л) > О, что при любом 6 > Ь(х) будет выполнено иеравенство | +00 у(х) пх < х.
Ь Но тогда при любом у б У в силу свойства 4' сходящегося несобственного интеграла (см. 7.2) для любого 6 > Ь(е) +00 +оо +оо ! Дх, у)~Ь ( Щх, у)](Ь( д(х)йх<х> Ь Ь Ь что соответствует определению 8.1 несобственного интеграла, равномерно сходящегося на множестве У. ~ Пример 8.8. Исследуем на сходимость иитеграл от функции /(х, у) = 1/хЯ по промежутку (О, 1] при значениях параметра у > О. Проведя замену переменного х = 1/$, получим О +со При у > 1 интеграл в правой части равенства расходится (см. пример 7.3), а при О < у < 1 — сходится. Так как при О< у(уе < 1 имеем 1/ь' " (1/$~ 1е ~й б [1, +оо), а интеграл от функции 1/Ьз Яь по промежутку 11, +со) сходится, то, согласно признаку Вейерштрасса, исследуемый интеграл сходится равномерно в промежутке (О, ув] (О < уе < 1).
Однако при ув = 1 признак Вейерштрасса применить нельзя вследствие расходимости интеграла от фувкции 1/Ьз ~е = 1/$ по промежутку 11, +оо). Заметим, что признак Вейерштрасса является лишь достаточным. Исследуем на равиомервую сходимость несобственный интеграл по промежутку (О, 1] с помощью критерия Коши. Для 8.а Признаки равыомориой охояммооте аатограаое 355 этого вычислим Ьо и С - ~Ьо -(6) -~+(6) -' 1-(ЬУЬ-)— С~- 1-у!ь 1-у (1-у)(6)- Для произвольного с > 0 сколь бы велико ни было значение сь > О, всегда найдется такое значение у Е (0,1), что при некоторых 6', Ь" > Ь 1 — (Ь'/Ь")ь Я >о (1-у)(6')' " Это противоречит критерию Коши равномерной сходимости несобственного интеграла в промежутке (0,1) (см.
теорему 8.4), так что при 0 < у < 1 исследуемый интеграл сходится, но неравномерно. ф Аналогично признаку Вейерштрасса можно доказать доста точный признак равномерной сходимости зависящего от пара метра несобственного интеграла от неограниченной функции. 1(у) = ~(х, у) Ых о (8.18) сходится абсолютно н равномерно на множестве 1'. Под абсолютной сходимостью несобственного интеграла, зависящего от параметра, понимается сходимость интеграла ь ,] ~~(х,у)]Их при каждом уеду. о Утверждение 8.2. Если при каждом у Е У Функция ~(х, у) определена в полуинтервале (а,6], не ограничена при х -+ а+ О, но интегрируема на любом отрезке 1С, 6] С (а, 6] и ~~(х, у) ~ < у(х) Чх Е (а, 6], причем интеграл от мажорирующей функции у(х) по промежутку (а, 6] сходится, то несобственный интеграл ь 356 а интеГРАлы, ЗАВисЯЩие От пАРАметРА 8.6.
Непрерывность и дифференцируемость несобственных интегралов но нараметру Теорема 8.6. Если функция ~(х, у) непрерывна на множестве (8.8) Р =((х,"у):х>а, «ЕУСЩ и эависяиЬиб от параметра несобственныб интеграл (8.9) +00 1(у) = ~(х, у) ах а является равномерно схаЬиьимся иа множестве У, то функция 1(у) непрерывна в промежутке У.
~ Пусть уе — произвольная точка промежутка У. Тогда с учетом свойств 2' и Зв аддитивности и линейности сходлиьегосл несобственного интеграла (см. Т.2), сиойства 10' определенного интеграла (см. 6.7) и неравенства треугольника запишем при произвольном )) > а +оо ИИ-)Ь4=/~ Й*,и)-Л*,в))</= О ь +оо +<о — (У(х, «) — У(х, уе)) Нх+ У(х, у) Их — У(х, уе) )1х ( в ь ь ь +фр +рр < фУ)*, и) - Л, в)) <*$ + $ ~ У), и) <$ + $ ~ Л*, в) <*$ В силу теоремы 8.1 для произвольного г>0 и любого узб У найдется такое 3=б(г) > О, что для любого у Е (с,)ь) при условии )у — уе~ ( б(е) будет выполнено неравенство ь ь ) к)р) — ))р)) = /~д*, р) < — /)), р) </ < '-.
3 ац Непрерывность и яифферащируемосюь по вараметру 357 Согласио определению 8.1 равномерно сходящегося зависящего от параметра несобственного интеграле, для любых р, уе Е 1 и произвольного е >О иайдется такое Ь=Ь(е) > а, что для любого 6 > Ь(е) будут справедливы неравенства Дх, р) Их < — и Дх, р>) <Ь < —. ь ь В итоге из записаииых неравенств следует, что для любых р, уе Е У при условии [у — уе! < 6(е) ~цу) -у(9)~ < -+-+-= 3 3 3 т.е. функция 1(у) непрерывна в любой точке ре Е У, а следо- вательио, и в промежутке У [П].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
