Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 37
Текст из файла (страница 37)
пример 7.3), а второй — сходится. Следовательно, интеграл в левой части (7.38) расходится. Но О ( (— (~ — Ь~х б [1, +оо), в!п~ х ~ в!и х~ х х и позтому, согласно теореме 7.1, несобственный интеграл от функции !в!пх~/х по промежутку [1, +со) расходится. Отсюда в силу определения 7.6 заключаем, что интеграл (7.36) сходится условно. ф Для несобственного интеграла от неограниченной функции справедливо утверждение, аналогичное теореме 7.5. Его доказательство нетрудно провести самостоятельно. Утверждение 7.Х. Пусть функции ~(х) и Щх) ~ интегрируемы на любом отрезке [а, и] С [а, о) н не ограничены прн ь х-ь Ь вЂ” О.
Если несобственный интеграл / Щх)~Их сходится, ь то сходится и интеграл ! 7(х) Их. О Аналогично можно дать определение сходящегося условно и абсолютно несобсньвеииого нишеграла от неограниченной Функции. Определение 7.7. Если несобственный интеграл от неограниченной при х~о — О функции по промежутку [а,о) 310 7.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Пример 7.14. Рассмотрим несобственный интеграл соя(1/х) 3/х е (7.39) Подынтегральиая функция /(х) эпакопеременна в промежутке (О,Ц, ие ограничена при х-++О и интегрируема иа любом отрезке [~, Ц С (О, Ц, причем при х е (О, Ц [У( )[ — . ~ —.— —,/з-у( ). [сог(1/х) [ 1 1 Интеграл от функции 1/х'~з по промежутку (О, Ц сходится, так как в = 1/3 ( 1 (см.
пример 7.10). Следовательно, в силу теоремы 7 3 сходится интеграл от функции [соя(1/х)[/фх по этому промежутку. Значит, согласно утверждению 7.2, интеграл (7.39) сходится абсолютно. Т.Т. Другие признаки сходимости несобственных интегралов Наряду с рассмотренными признаками сходимости и расходимостпи несобственного инп1гграла для каждого из его типов (по бесконечному промежутку н от неограниченной функции) можно сформулировать и доказать критерий сходимости, включающий как необходимое, так и достаточное условия. сходится, а интеграл от функции Щх)[ по этому же промежутку расходится, то первый из ннх называют сходлщимсл условно.
Если сходится второй из этих интегралов, то первый из них называют сходлщимсл абсолютно. При этом функцию /(х) называют абсолютно интегрируемой в промежутке [а, 6). В этих случаях говорят соответственно об условной или абсолютпноб сходимос|пи несобственного интеграла от неограниченной функции. Х7. Друтяе орягыакн сходяностя юп енералов зи Теорема 7.8. Для сходимости интеграла от функции у(х) по промежутку [а, +оо) необходимо и достаточно, чтобы для любого числа г > О нашлось такое число Ь(г) > а, что при любых 6', оо > Ь(г) выполнялось бы неравенство ьо у (х) дх < г. (7.40) ~ Сходимость рассматриваемого интеграла, согласно определению 7.1 сходящегося несобственного интеграла, равносильна существованию конечного предела при х -ь+оо функции (7.1) Для зтого, согласно «ритгрию Коши существования конечного предела функции, необходимо и достаточно, чтобы для любого г> О нашлось такое Ь(г) > а, что при любых 6', о" > Ь(г) выполнялось бы неравенство ~ф(ь") -ф®~ < .
Но тогда, используя аддитивность определенного интеграла, имеем что доказывает утверждение теоремы. ° Теорему 7.6 называют ььртиььериель Коши сходильосньи несобственного иншегра,яа по бесконечному промежутку. Этот критерий удобно использовать для доказательства расходимости таких интегралов. 312 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Пример Т.15. Рассмотрим функцию 7(х) =81пях/х" при 0(А<1 и х >а>1. Выберем Ь)а и ггпу И так, чтобы выполнялось неравенство вх > Ь.
Полагая 6'=ох и 6а=2гиг, получаем Ь" 2яя Дх)гЬ = — „11х> ь~ пм 2юиг 2лл / 2 ) — 81В ХГЬХ = (2гьгг)",/ 2(2гьх)",/ (1 — со82х) 11х = ам ФИГ 1 ~ 28я 1-2 (х — -81п 2х) ~ 2(2гьх)" 2 ~„ 2(2гг)"' т.е. в случае 0 < Л (1 правах часть этого неравенства неограниченно возрастает при в -+ оо.
Следовательно, существует число е > (х/2)гь1 "/(2Х)", такое, что для любого Ь > а найдутся числа 6'=гьх > Ь и 6"=2гьх > Ь, для которых левая часть (7.40) будет больше 8. Поэтому в силу теоремы 7.6 интеграл по промежутку 1а, +со) от функции г(х) расходится. ф Доказательство критерия Коши сходимости несобственного интеграла от неограниченной функции аналогично. Поэтому ограничимся лишь формулировкой соответствующего утверждения. згтверждеиие Т.З.
Для сходимости несобственного интеграла от неограниченной при х -+ Ь вЂ” О функции Дх) по промежутку [а,6) необходимо и достаточно, чтобы для любого 8>0 нашлось такое 6>0, что при любых г1,71'б (О,б) выполнялось бы неравенство Ь-е' Дх)11х <х. ь-ч 7.7. другие признаки схолнмостм юпегралов 818 В случае функции, неотрицательной в промежутке [а, +со), можно доказать еще один критерий сходимости несобственного интеграла. Теорема Т.Т. Для сходимостн несобственного интеграла по промежутку [а, +оо) от неотрицательной функции Дх) необходимо и достаточно, чтобы функция Ф(х) (7.1) была ограниченной при х > а, т.е.
чтобы существовало число М > О, для которого справедливо неравенство Ф(х) = Д$)й ~~ М Чх > а. О (7.41) ~ Необходимость. Пусть несобственный интеграл от функции 1(х) по промежутку [а, +со) сходится, т.е. функция 1(х) интегрируема на любом отрезке [а, е] С [а, +со) н существует конечный предел функции Ф(х) при х-++оо, а тогда Ф(х) ограничена при х-~+со [1-7.4].
Согласно теореме 6.15, функция Ф(х) непрерывна, а значит, и ограничена на любом отрезке [а, о] С [а, +оо). Следовательно, функция Ф(х) ограничена при х > а. Достаточность. Пусть функция Ф(х) ограничена при х > а, т.е. выполнено неравенство (Т.41).
Так как по условию теоремы 1(х) > О Чх > а, то функция Ф(х) не убывает при х > а. В самом деле, если а ~~ х < х', то в силу аддитивности определенного интеграла и его свойства 5' (см. О.Т) Ф(х') — Ф(х) = тй — тй= 1Яй> О. Итак, функция Ф(х) не убывает и ограничена сверху при х > а. Позтому она имеет конечный предел при х-~+со [1-8.4], а тогда в силу определения 7.1 несобственный интеграл от функции Дх) по бесконечному промежутку сходится.
Ь 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 314 В некоторых случаях условную скодимость несобственного интеграла позволяет установить следующий признак. Теорема 7.6 (признак Дврихле). Если функция /(х) интегрируема на любом отрезке [а, е] С [а, +оо) и функция Ф(х) (7.41) ограничена, т.е. для некоторого числа М > О а функция д(г) при г > а непрерывно дифференцируема и монотонна, причем д(х) -+ О при г -++со, то сходится несобственный интеграл Дх)д(х) Их. в (7.42) М Докажем утверждение теоремы в более слабом варианте: будем считать, что функция Дх) непрерывна в промежутке [а, +оо), а следовательно, в силу теоремы 6.7 и интегрируема на любом отрезке [а, ЦС [а, +оо).
Произведение ~(г)д(г) также интегрируемо на таком отрезке в силу его непрерывности при х > а. Согласно следствию 6.4, функция Ф(х) является одной из первообразиых функции 7"(г), т.е. 7'(х) <Ь = Н(Ф(х)). Интегрируя по частям, получаем х х ~ ~фуфло-~д(~)уф) = = Ф(х)д(х) — Ф(а)д(а) — ФЯд'Я Й. (7.43) а Так как по условию теоремы [Ф(х)[ ( М при х > а и д(х) -~ О при х -~+оо, то Ф(х)д(х) — функция, бесконечно 7Л.
Другое врвзнахв сходммости иатегрвхов 315 малая при х-++оо, т.е. Ит Ф(х)у(х) = О. Если функция у(х) не возрастает, то у'(х) < О Чх> а и ~)е(ер(о)о<и~)д(о)е=-и/дще= Ю О О = М(у(а) — у(х)) ( Му(а), так как у(х) ) О. Если же функция у(х) не убывает, то д'(х) ) О Ух ) а и е и х ~ $ е (О уф $ е < и // д(О / е = и ~ д (О е = = М(у(х) — у(а)) < М~у(а)~, поскольку в этом случае у(а) ( у(х) ( О. Следовательно, согласно теореме 7.7, несобственный интеграл от функции ~Ф(х)у'(х) ~ по промежутку [а, +со) сходится, а значит, в силу теоремы 7.5 сходится и интеграл от функции Ф(х)у'(х) по этому промежутку. Поэтому в соответствии с определением 7.1 существует конечный предел !пп Ф(1)у'(1) с1х.
О Таким образом, все слагаемые в правой части (7.43) имеют конечный предел при х -++оо. Поэтому и левая часть (7.43) имеет конечный предел при х ~+со, что, согласно определению 7.1, доказывает сходимость несобственного интеграла (7.42). 1ь 316 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Сходимость несобственного интеграла вида (7.42) можно установить и при помощи следующего признака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
