Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Связь интегралов Ньютона н Римана Предположим, что функция Дх) иитегрируема на отрезке [а, а] и имеет первообразную, т.е. для нее на этом отрезке существуют и интпеерал Римаиа 1п, и интпсграл Ньютона 1у. Естествен вопрос: совпадают ли значения этих интегралов? Ответ на него дает следующая теорема. Теорема 6.21. Если функция ~(х) интегрируема на отрезке [а, я] и имеет на этом отрезке первообразную г'(х), то интегралы Римана и Ньютона от этой функции по данному отрезку совпадают. м Так как функция Дх) имеет на отрезке [а, й] первообрззную г'(х), интеграл Ньютона можно вычислить по формуле Ньютона — Лейбница. Покажем, что эту формулу можно испольэовать и для интеграла Римана. Возьмем произвольное разбиение Т отрезка [а, Ь] на ча стичные отрезки [х, я, х;], г = 1, и.
Согласно определению первообразной, функция г'(х) на каждом частичном отрезке удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа [П]. Поэтому для любого 1=1,и найдется такая точка ~; 6 [х; ~,х;], что будет верно равенство Р(х,) — Г(х; ~) = И®)Ьх; = Д~,)Ьх;, где Ьх; = х; — х; ~, 1 = 1, и. Следовательно, а а Щ;)Ьх; = ~~ ~~(Р'(х;) — Р(х; ~)) = г'(а) — г'(а). (6.69) Левая часть равенства (6.69) представляет собой интегральную сумму функции Дх), соответствующую разбиению Т отрезка [а, а] и специальным образом подобранным точкам ~;.
В силу интегрируемости функции Дх) существует предел указанной суммы при стремлении к нулю максимального шв"а разбиения Ь, причем этот предел равен интегралу Римана 268 б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ функции у(х) на отрезке [а, Ь]. Так как интегральная сумма на самом деле имеет фиксированное значение Г(Ь) — г'(а), то для интеграла Римана приходим к формуле т.е. в условиях теоремы интеграл Римана можно вычислять по формуле Ньютона — Лейбница. Это равносильно совпадению интегралов Римана и Ньютона. ~ Замечание 8.8. Докаэаннзл теорема фактически утверждает, что интегрируемость функции на отрезке и существование на этом отрезке первообраэной достаточяы для формулы Ньютона — Лейбница, которая в рамках интеграла Римана была доказана лишь для непрерывной на отрезке функции.
Итак, интегралы Ньютона и Римана совпадают, если оба существуют. Можно, однако, привести примеры, когда существует один из этих интегралов, но не существует другой. Пример 8.18. а. Нетрудно убедиться непосредственной проверкой, что функция х юп —, хфО, г'(х) = О, х=О является на отрезке [О, 1] первообразной функции 2хя!и —, — -соя —,, х у6 О; Лх) 2*' х 2х' ' О, х= О. Следовательно,для функции У(х) по отрезку [О, 1] существУ ет интеграл Ньютона, равный, согласно формуле (5.3) Ньюто на — Лейбница, 1Н=я1п(х/2) =1. Но интеграл Риманаотэтой функции на том же отрезке не существует, так как функция У(х) не ограничена на отрезке [О, 1].
Д.6А. Обобщение теорем о среднем энечении 269 б. Фуикция ~(х) = 2в!п(1пх) ограничена и иепрерывыа иа отрезке [0,1] всюду, кроме точки х=О. Согласио теореме 6.8, оиа иитегрируема на [О, Ц и ее интеграл Римана равен 1 2в1п(1пх) Их = [хв1п(1п х) — хсов(!пх)~ = -1, 1о о где под значением первообрвзиой в точке х = 0 понимается ее предел при х ь+О.
Однако функция ~(х) ие имеет первообразпой иа отрезке [О, 1]. В самом деле, эта функция имеет первообразиую г'(х) = = хв1п(1пх) — хсов(1пх) ва любом промежутке (о, 1]. Значит, если Дх) имеет первообразную, то ею является функция г'(х), доопределеииая в точке х = 0 значением 0 своего предела при х ~+О. Но доопределенввя таким образом функция оказывается недифференцируемой в точке О, так как предел ,г (Ьх) — Г(0) 1пп = 1ип (в1п(!пах) — сов(!пах)) = по-ьа Ьх по-ю = 1!1п ~Г2в!п1!пЬх — -11 и'-ю ~ 4г ие существует.
Отметим, что точка х = 0 для функции ~(х) является точкой разрыва второго рода, так что интеграл Нъютонадля функции Дх) па отрезке [0,1] ие существует и в обобщенном смысле (см. 5.2). Дополнение 6.4. Обобщение теорем о среднем значении Теорема 6.22. Если функция у(х) непрерывна иа отрезке [в Ц, а функция ~(х) неотрицательиа, ие возрастает и иепреРывио диффереицируема, то существует такая точка с б [а, о], что ь с (6.70) 270 б. ОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ < В силу непрерывности на отрезке [а,Ь] функция Дх)у(х) интегрируема на этом отрезке. Согласно следствию 6.4, одну из первообразных функции у(х) на отрезке [а, Ь] можно записать в виде интеграла с переменным верхним пределом: С(х) = о(Ь) Й Ух 6 [а, Ь].
(6.71) Ю Функция С(х) как первообргзная, согласно теореме 6.15, непрерывна на отрезке [а, Ь] и поэтому в силу второй теоремы Вейерштрасса [1-9.4] достигает на этом отрезке наибольшего М и наименьшего нь значений, т.е. нь(С(х) < М яхт[а, Ь]. (6.72) Учитывая, что йГ(х) = у(х)Нх и С(а) =О, и интегрируя левую часть (6.70) по частям, находим ь Ь | ь и*>м и =/я*ам=я.)ос*>/в я О Ь ь — ~'(х)С(х) йх = ~(Ь)С(Ь) — /'(х)С(х) йх. (6.73) а я Так как функция Дх) не возрастает на отрезке [а, Ь], то У'(х) < 0 ~х 6 [а, Ь]. Поэтому с учетом (6.72), замечания 6.6 и неравенства ~(Ь) ) О, вытекающего из неотрицательности функции ~(х) на [а, Ь], можем записать ь Ь ДЬ)С(Ь) — ~'(х)С(х) Нх ( М~(Ь) — М 1'(х) йх = Ю я = М~(Ь) — М[ДЬ) — Да)) = МДа), Ь Ь У(Ь)С(Ь) — У'(х)С(х) с(х ) паДЬ) — пъ ~'(х) Нх = я Ю = ньДЬ) — нь[ДЬ) — Да)) = тп~(а).
Д.бА. Обобщение теорем о среднеи зыечемме 271 Объединяя эти неравенства с (6.73), получаем пь/(а) < ,Г(х)у(х) Их < МГ(а). е тв < — / Дх)у(х) ~Ь < М. 1 Г - У(о) 1 е (6.74) Непрерывная на отрезке (а, Ь] функция 0(х) принимает любое значение, лежащее между ее минимальным оь и максимальным М значениями [1-9.4]. Поэтому, сравнивая (6.74) с (6.72), заключаем, что существует такая точка с Е 1а, Ь], в которой с учетом (6.71), 6(с) = у(х) Их = — / Г(х)у(х) ох. 1 Г У(а) / Отсюда следует утверждение теоремы. ~ Таким же путем можно доказать следующую теорему. Теорема 6.23.
Если функция д(х) непрерывна наотрезке 1а, Ь], а функция Дх) иеотрицатеяьна, не убывает и непрерывно дифференцируема, то существует такая точка с Е [а, Ь], что Ь ь Дх)у(х) (Ь =,Г(Ь) д(х) Их. йс (6.75) Формулы (6.70) и (6.75) называют фордеулами Бовме по имени французского математика П.О. Бонне (1819-1892).
Если Да) = О, то из неотрицательности и невоэрастания на (а, Ь] функции Дх) следует, что Дх) =О Чх Е(а, Ь]. В этом случае утверждение теоремы верно при любом выборе точки с 6 (а, Ь]. Если же Да) ) О, то б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ и нкция у(х) непрерывна на отрезке Теорема 6.24. Если функция у [ Ь1 ф нкция у(х) монотонна и непрерывно ди ема„то сущ уществует такал точка с 6 [, Ь | Ь ~(х)д(х) дх = Яа) д(х) дх+ 1(Ь) у(х) дх.
(6.76) с а О е нео ", ей и непрерывно диффе- отрезке нео р е неот ицательной, неубывающеи и н но тверждению теоремы 6.23, ренциру ируемой. Позтому, согласно утвержд сущ ществует такая точка с 6 [а, )> что Ь ь Ь(х)у(х) сЬ = Ь(Ь) у(х) дх, с а или после п д подстановки выражения д .„у ля ф нкции Ь(х) Ь | Ь (у~ 1-ус «~~ ~ю = (ль~-у[ «|у~*«г.
с ости и аддитивности определенного Отсюда с учетом линейности и а интеграла Ь Ь ь х ~ а ~ ~ а ~ х ~ х ~(х)д(х) <Йх = ~(а) у(х) дх — Да) у(х) с8х+ с Ф е Ь + ~(Ь) у(х) дх = 1(а) у(х) дх+ ДЬ) д(х) Йх с с О впадает с утверждением теоремы. [ Ь) то что совп оз встает на отрезке а, Если же функция ~(х) не возрас е неотря — х — (Ь) будет на зтом отрезке нео ифференцируемоя.
цательнои, невозрас встающей и непрерывно ди ере 8<щЬъосы х эелачв ж ению теоремы 6.22, существует таПоэтому, согласно утвержд кэл точка с Е «а, Ь], что ь | ш(х)д(х) ах = ш(а) ~ у(х) сйх. а икции е(х) по- Отсюда после по одстановки выражения для фу лу чаем с ь Ф*) — уР))у~*) ~ = Сла)- ле) |и(*и* а а того же свойства аддитивности Таким образом, с учетом того же с определенного интеграла ь | ь Дх)у(х) ох = /(а) д(х) их+ /(Ь) у(х) <Ь— О а О л с ь — ЯЬ) д(х) ох = /(а) д(х) йх+ ЦЬ) у(х) Нх, с а что также совпадает с ут р д ве ж ением теоремы. Э Вопросы и задачи ых с мм найти интегралы от 8.1.
С помощью интегральных у следующих функции на указ аэаииых отрезках: 2 г 1х~,[1,2]; а) х', [-1,2]; б),/х, [О, 1]; в) авх, [О, и/2]; г) 1/х, 1,2; д) 1/х [1 2]. е) е [0,1]; ж) х" (пЕЕ~(-Ц),[а, ю па отрезке [-1, 1] функ- 8.2. Построить неинтегрируемую иа рез ем иа этом отрезке. цию, квадрат которой интегриру в. ОпРеделенный интеГРАл 274 6.3. Интеграл по отрезку [О, 1] от непрерывной функции Дх) положителен. Доказать, что существует такой отрезок [а, Ь] С [О, 1], что у(х) > 0 на этом отрезке. 6.4.
Доказать, что для убывающей на отрезке [О, 1] функции у(х) Л ~(х)«1х ( Дх)нх«А б (О, 1). о о 6.6. Найти пределы при и-+оо следующих сумм: а) ~~~ —.; 6) ~~~ —.; в) ~! — в!и —; г) ,'1 вж1 «=1 «в 1Х ~ю/в д) ) —... в > 0; е) ~(1+ — ~в1п —; ж) «ю1 вю1 в=1 з) 'у п ( .)( + +.) э, х>О.
6.6. С помощью формулы Ньютона — Лейбница вычислить следующие интегралы: с в а) х'!и"хдх, л>0, об Х; б) [х]в(п™«Ь. о 6.7. Доказать, что если функция у(х) интегрируема на отрезке [О, 1], то | х У (в!п х) «1х = — в (в!и х) ввх. 2,/ о о 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7.1. Интегралы по бесконечному промежутку Пусть фукяиил ~(х) определена на бесконечном полуинтервале (а, +со) и интегрирусма на любом конечном отрезке [а, Ь). Тогда в полуинтервале 1а, +со) определена функция ь Ф(Ь) = Дх) <Ь В (7.1) как определенный иктеграл с переменным верхним пределом. Определение 7.1.
Предел функции Ф(Ь) (7.1) при Ь-++оо называют несобсяьвенным иктпегралом от функции Дх) по бесконечному промежутпяу '1а, +со) (или несобствен+00 ным интегралом первого рода) и обозначают ) Дх) дх. Если а Указанный предел существует и конечен, то этот интеграл называют сходлиьимсл (в этом случае говорят о сходимосяьи несобственного интеграла по бесконечному промежутку). Если же предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл расходлилийсл.
Необходимым условием существования определенного интеграла является ограниченность подынтегральноб функции на отрезке между конечными пределами интегрирования. Однако при рассмотрении теоретических вопросов и решении прикладных задач нередко появляется необходимость использовать при интегрировании неограниченные функции и бесконечные промежутки. Возникающие при этом инпзегралы принято называть несобспьвенными. 276 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Итак, на основании определения 7.1 и формулы (7.1) имеем +00 Ь | Дх) дх = [[щ Ф(Ь) = [[щ / Дх) дх. (7.2) 6-++оо 6-++оо,Г а О Вслучае ~(х) >О ЧхЕ[а,+оо) У Лх) значение сходящегося несобственного интеграла геометрически соответствует площади бесконечно О в длинной криволинейной трапеции Рнс.
7.1 (рис. 7.1), заключенной между прямой х =а, осью Ох и графиком функции Дх). Пусть функция 7(х) определена в бесконечном полуинтервале (-оо Ь] и интегрируема на любом конечном отрезке [а, Ь]. -ооэ Тогда в полуинтервале ( — оо, Ь] определена функция Ф(а) = Дх) ь[х (7.3) как определеннын интеграл с переменным пиленим пределом Определение 7.2. Предел функции Ф(а) (7.3) при а-ь -оо называют несобственным интегралом от функции Дх) по ь бесконечному промежутку (-оо,Ь] и обозначают ] Д ) Итак, согласно определению 7.2 и формуле (7.3), имеем Ь Ь Дх)<Ь = [!щ Ф(а) = !пп Дх) ь[х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
