Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Признаки сх»явности инте рви>в 7.3. Признаки сходимости интегралов по бесконечному промежутку Перед ин>негрированнем функции по бесконечному промежутку целесообразно предварительно убедиться, во-первых, в том, что она интегрируема на любом отрезке, включенном в зтот промежуток, и, во.вторых, что соответствующий несобспьвеннмб ин>неграл от данной функции является сходящимся. Рассмотрим некоторые признаки, которые позволяют установить сходимос>нь или расходимость несобственного ин>неграла по бесконечному нромехсупису.
Прежде всего напомним, что если функция ~(х) интегрируема на любом отрезке [а, Ь) С [а, +ос), то в соответствии с определением 7.1 сходимость несобственного интеграла от зтой функции по промежутку [а, +со) равносильна существованию конечного предела 1пп Ф(Ь) = Бш ~(х)Их. ь->+ ь->+,> и Функция Ф(Ь), имеющая конечный предел при Ь-++со, ограничена в некоторой окрестности точки +со, т.е. на интервале (Ь, +со) для некоторого достаточно большого числа Ь [1-7.4).
Кроме того, в силу теоремы 6.15 функция Ф(Ь) нецрерывна в промежутке [а, +со), а значит, и нз, любом отрезке [а>Ь] С [а, +оо). В примере 7.1.г показано, что несобсн>венныб ин>неграх от функции совх по промежутку [О,+оо) является расходящимся, несмотря на то что функция Ф(Ь) = сов х Их = я[п Ь непрерывна и ограничена при Ь-ь +со. Следовательно, непрерывность и ограниченность функции Ф(Ь) являются лишь не- 288 Н НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ обходимыми условиями.сходимости несобственного интеграла от соответствующей функции ~(х). Так, из геометрического смысла несобственного интеграла по бесконечному промежутку от знакопостоянной функции /(х) следует, что если существует конечный, отличный от нуля предел 1пп Дх) =АфО Теорема 7.1.
Пусть функции ~(х) н у(х) интегрируемы на любом отрезке [а,Ц С [а,+оо), причем О(~ Дх) < < у(х) Чх ) а. Тогда, если сходится несобственный интеграл ) д(х)ах, то сходится и интеграл [ ~(х)Нх, а если расхоа й дится несобственный интеграл [ /(х)Их, то расходится и [ у(х) нх. О ~ Пусть сходится несобственный интеграл от функции у(х). В силу определения 7.1 это означает, что существует конечный предел 1пп ~у(х) ах = с < +оо. 6->+оо,/ в (7.17) и функция ~(х) интегрируема на любом отрезке [а, а] С С [а, +со), то несобственный интеграл от этой функции по промежутку [а, +со) расходится. Достаточные признаки сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку установим сначала только для неотрицательных функций.
Аналогичные признаки будут справедливы и для неположительных функций, так как, согласно свойству 3' линейности (см. 7.2), несобственные интегралы от функций ~(х) и ~1(х) = -~(х) по бесконечному промежутку ведут себя одинаково, т.е. либо оба сходятся, либо оба расходятся. 289 7.3. Прививки сходимости иитеграйов Поскольку по условию теоремы д(х) > 0 Чх Е [а, +оо), то, ь очевидно, ! д(х)пх < с 17Ь > а. В соответствии с условием теоремы и свойством 8' определенного интеграла (см. 8.7) 0< Цх)Их< д(х)Их<с.
!!пь Ф(Ь) = !!ш / Дх) дх < с, й (7.18) +со что означает сходимость несобственного интеграла ] Дх) Их. й Второе утверждение теоремы докажем от противного. Предположим, что интеграл от функции д(х) сходится. Но тогда, как только что было доказано, сходится и интеграл от функции Дх), что противоречит условию теоремы.
Ь Замечание 7.1. При использовании теоремы 7.1 функцию, для которой известно, сходится ли несобственный интеграл, обычно называют фуикьЬиеб сравнеюм. В силу аддитивности сходящегося несобственного интеграла (см. 7.2, У Ф 71х) свойство 2') ясно, что теорема 7.1 справедлива, если неравенство О < 7(х) < д(х) выполОо' во х нено не для всех х > а, а лишь начиная с некоторого значения ао > а (рис. 7.4), поскольку оба Рис.
7.4 ь Так как Дх) >О УхЕ(а,+со), то функция Ф(Ь)= /~(х)Нх й монотонно возрастает и ограничена сверху значением с. Следовательно, такая функция имеет предел (1-7.3]> причем 290 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ интеграла от интегрируемых функций у(х) и у(х) являются постоянными числами и их значения не влияют на существование пределов в (7.17) и (7.18). Отметим, что утверждение теоремы 7.1 верно и в случае, когда зти функции в интервале (а, ао) меняют знак. Пример 7.6.
Исследуем несобственный интеграл от функции ~(х) =1/(х~+2х+2) по бесконечному промежутку [О, +оо). Эта функция интегрнруема на любом отрезке [0,6]. Ясно, что 0 < Дх) < 1/х~ при всех х > О. Однако непосредственно испольэовать функцию 1/х~ в качестве функции сравнения нельзя, так как она пе определена при * = О. Поскольку несобственный интеграл |' 1 сходится (см.
пример 7.3), то в силу теоремы 7.1 сходится и несобственный интеграл от функции у(х) по бесконечному промежутку [1, +со), который отличается от исследуемого интеграла на постоянное число, равное определенному интегралу ох хэ+2х+2 о +00 Следовательно, несобственный интеграл тоже о я~+эх+2 сходится. ф Докажем теперь предельный признак сравнения несобственных интегралов. Теорема 7.2.
Пусть функции ~(х) и у(х) интегрируемы налюбом отрезке [а, Ц С [а, +со) и неотрицательны при х) а. 291 Г.З. 17риэввки сяолммости иатограаоэ Если существует конечный положительный предел 1пп — =Л>0, ~(х) х-о+оо у(х) то несобственные интегралы (7.19) ~(х) Пх и д(х) Нх (7.20) (Л -х)у(х) < ~(х) < (Л+я)у(х) Чх > М. (7.21) Будем считать, что а > М, так как, согласно замечанию 7.1, утверждение теоремы достаточно доказать для случал а > М. Выберем е так, чтобы было выполнено условие Л вЂ” я > О.
Если сходится второй интеграл в (7.20), то в силу линейности сходящегося иесобственного интеграла (см. 7.2, свойство 3') +оо сходится и интеграл ( (Л+е)у(х)Пх, а тогда,, согласно теореме 7.1 и (7.21), будет сходиться и первый интеграл в (7.20). Если же сходится первый интеграл в (7.20), то в силу теоремы 7.1 и (7.21) сходится и интеграл )' (Л вЂ” я)д(х) Нх, а тогда, согласно линейности сходящегося несобственного интеграла, будет сходиться и второй интеграл в (7.20). Покажем теперь, что если расходится один из несобствениых интегралов в (7.20), то расходится и другой. Пусть расходится первый интеграл в (7.20). Тогда из (7.21) и теоремы 7.1 +оо следует расходимость интеграла ( (Л + е)у(х)ех, а значит, а в силу свойства 3' (см.
7.2) расходится и второй интеграл в (7.20). Аналогично, используя левую часть неравенства (7.21), либо оба сходятся, либо оба расходятся. 1 Из (7.19) в силу определения предела функции [1-7.1] для любого х > 0 найдется такое число М > О, что справедливо неравенство 292 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ теорему 7.1 н свойство 3' (см. 7.2), можно показать, что из расходимости второго интеграла в (7.20) следует расходимость первого интеграла. > Замечание 7.2. Если в (7.19) у(=0, то можно лишь утверждать, что иэ сходимости второго интеграла в (7.20) следует сходимость первого, а из расходимости первого— расходимость второго. 1)1 Применяя признаки, которые устанавливаются теорема ми 7.1 и 7.2, в качестве функции сравнения часто используют функцию 1/хб.
Пример 7.6. Исследуем на сходнмость несобственные интегралы +фф +Об | (Ь ( (и+ 1) 21х а) б) з и'TЯ вЂ” 3~ 1.3 У я(*У-3 -22 2 . Фу~~и~ у(~)=1(яУ2-2 рр и мр ру м б*м отрезке [1, ()] С [1, +со) и при х -+ +со является бесконечно малой (б.м.), эквивалентной функции д(х) = 1/х, поскольку для этих функций в (7.19) А = 1. Так как несобственный интеграл от функции 1/х по бесконечному промежутку [1,+оо) расходится (см. пример 7.3), то в силу теоремы 7.2 расходится и несобственный интеграл по этому промежутку от функции Дх).
б. Пр *-я+ фу ии я У(~)=(~<.1)(яф~и-З* — 2 яяя~ ется б.м., эквивалентной функции д(х) = 1/хе~э. Обе эти функции интегрируемы па любом отрезке [2, 6] С [2, +со). Так как несобственный интеграл по бесконечному промежутку [2, +со) от функции д(я) =1/х' при я=4/3) 1 сходится (см. пример 7.3), то, согласно теореме 7.2, сходится несобственный интеграл по этому промежутку и от функции Дх). 1[1 Ясно, что признаки, устанавливаемые теоремами 7.1 и 7.2, применимы и к несобственным интегралам вида (7.4). 7.3. Призиохи сходммости интегралов 7.7. Рассмотрим несобственные интегралы Пример б) е 'Их.
а) е'*ох; а. Используя (7.5) при с= О, запишем +оо о +со е Их = е'*их+ е' Пх. (7.22) -Оо о Напомним (см. 7.1), что интеграл в левой части (7.22) сходится, если сходятся оба интеграла в иравои части. ~~(х) = е'* интегрируема и имеет первообразную г'(х) = е' /а на любом отрезке [а,о] С (-оо,+оо). используя (7.7), получаем | Еао ~+оо е" Их= — ~ = — 11ш е' — —. а О ао->+ о а' о О дно что несобственнын интеграл ал по бесконечному тсюда ви его значение т [О +оо) сходится при о<О,причем егозна промежутку [, оо с но становить, равно -1/а, и расходится при а > О. Нетрудно уста что он расходится и при а = О. Аналогично, применяя (7.8), находим о е'*~о 1 1 — — — — — оп а оо а ао о-оо т.е.
несобственный б еенный интеграл по бесконечному промежутку (-оо, 01 сходится при а ) О причем его значение равно 1/а, и =О. расходится при а < О. Ясно, что он р д асхо ится и при о= Таким образом, при любом значении а Е д Е о ин из несобственных интегралов в правои части ( . ) р (7.22) асходится. Следовательно, расходится и интеграл в левой " части (7.22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
