Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Функция ~(() =[е] не убывает на всей числовой прямой И и несмотря на то, что разрывна при целых значениях 1, интегрируема как монотонная на л1обом отрезке из Гх согласно теореме 6.10. Функция 7(х) =2х непрерывна на й и в силу теоремы 6.6 интегрируема на отрезке [а, 5] = [О, 2,5]. Наконец, функция у(х) =го+ 7(х)Их=0+2 хааа х а о не убывает на отрезке [О, 2,5], причем [у(а), у(6)] = [О, 6,25]. Следовательно, по теореме 6.19 функция 1(у(х))7(х) = 2[хг]х интегрируема по Риману на отрезке [О, 2,5] и, согласно формуле (6.57), Цц ь е(ь) У(г) | хг]х 1х = [4]е(4 = 4 < а л(а) 3 ! в,гв $ в,г$ $ — /Щсй=~~) й-(- ( бй= г 4 6 Ця(х) в г я() $ х = ~ Й+ 6(6,25 — 6) = 16,5. аю1 При вычислении интеграла от функции [1] использованы результаты примера 6.5. Графики функций у(х) и 1(1) показа ны на рис.
6.7, значение вычисленного интеграла соответствует заштрихованной площади. Теорема 8.20. Если функции и(х) и е(х) интегрируемы на отрезке [о, Ь] и 260 б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ | Ь ТЛ(х)о(х) ах = ЦхЩх)~ — ~ и(х)М(х) Йх. ф (6.58) В частном случае, когда функции и(х) и и(х) на отрезке [а, е] непрерывны, имеем о(х) ах = <б'(х) и и(х) ах = НУ(х) при х Е [а, е], т.е. равенство (6.58) сводится к равенству (6 52).
Дополнение 6.1. Доказательство теорем о классах интегрируемых функций Приведем доказательства теорем, сформулированных в 6.6. Начнем с теоремы об интегрируемости на отрезке ограниченной функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва. Доказательство теоремы 6.8. Сначала рассмотрим случай, когда функция ~(х) имеет на отрезке [а, е] единственную точку разрыва на одном из его концов, например в точке а. При произвольном б> 0 выберем точку х1 так, чтобы е х1 — а <— 2 Ф (6.59) где м — колебание функции ~(х) на [а, 6].
На, отрезке [х1, е] функция непрерывна и в силу теоремы 6.7 интегрируема. Поэтому, согласно следствию 6.2, найдется такое разбиение Т1 = (х1, хз, ..., х„), х„= е, отрезка [х1, е], что где ац — колебание функции ~(х) на частичном отрезк~ [х; ~, х;]. Отсюда с учетом (6.59) и неравенства ы1 < ы для то функции У(х)о(х) и и(х)У(х) интегрируемы на этом отрезке, причем Д.б.1. Докеэетееьстыо теорен о клессех ыытегоы1еуеыых фуыкцый 261 разбиения Т=(хо — — а, х1, ..., х„) отрезка [а, Ц получаем Я Я 1о1Ьх; =1о1(х1 — а)+ ~ 1о1Ьх1 <1о — + — =л во1 $=г откуда в силу теоремы 6.6 и (6.24) следует иитегрируемость функции ~(х) иа отрезке [а, о].
Доказательство в случае точки разрыва функции на правом конце отрезка [а, о] аналогично. Перейдем к общему случаю, полагал, что помимо возможиых точек разрыва иа обоих концах отрезка [а, о] функция у(х) имеет еще 111 точек разрыва С1<Сг « ... С в интервале (а, о). Выберем та+1 точку 111, юг, ..., и е1 так, чтобы были выполнены неравенства а<111<6<Ъ<~г<" <11 <6 <цм+1<Ь.
Тогда на каждом иэ отрезков [о, Ч1], [91, 11], [41, Ъ], ", [6в, Ъв+1], [Чт+1, Ц функция Дх) будет иметь ие более одной точки разрыва, причем каждая такая точка будет совпадать с одним из концов отрезка. Значит, как доказаио выше, функция иитегрируема иа каждом из этих отрезков, а пмтому, согласно замечанию 6.3, оиа интегрируема на всем отрезке [а, Ь]. Доказательство теоремы 6.В. Перейдем к доказательству теоремы о том, что если две функции ~(х) и у(х) различаются лишь в конечном числе точек, то иитегрируемость одной из иих равносильна иитегрируемости другой.
Функция и(х) = у(х) — ~(х) иа отрезке [а, о] отлична от пуля лишь в конечном числе и точек. Поэтому оиа ограничена, так как прииимает лишь коиечиое число значений, и непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек. Действительно, если хо Е (а,й) и ы(хо) =О, то функция и(х) иепРеРывиа в точке хо, потомУ что обРащаетсЯ в иУль в Иитервале (хо — о, хо+о), где б — наименьшее расстояние от 262 Я. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ точки хо до точек а, к а о и точек в которых фуикция отлична 3 от пуля. Согласно теореме 6.8, функция и(х) иитегрируема [, о] чки ~ иа частичных отрезках разбиения можно выбирать так, что и((;) = О. В этом случае разбиению будет отвечать пулевая инзпггральная су . р мма.
Пе еходя к пределу, елу когда максимальный шаг разбиения стремится к нулю, заключаем, что Ь | и(х) ах = О. Пусть функция ~(х) иитегрируема иа отрезке [а, Ь]. В силу свойства линейносзпи определенного инзпеграла функция у(х) = и(х)+/(х) также иитегрируема на этом отрезке, причем Ь Ь Ь Ь | д(х) ах = и(х) ах+ /(х) ах = Дх) ах, а а а а что завершает доказательство теоремы. Доказательство теоремы 6.10. Наконец, докажем теорему об иитегрируемости мовотоииой функции. Пусть моиотоиизл иа отрезке [а, о] функция ~(х) для определенности ие убывает.
При произвольном г > О выберем разбиение Т этого отрезка иа частичные отрезки [х; 1, х;], 1=1,п, с максимальным шагом п<а/фо) — Да)). Так как па 1-м частичном отрезке возрастающая функция имеет колебание аН = ~(х;) — ~(х; 1), то получаем ЯЗО;1зЗХ;(Й~~ аЗз=й~~ фХ;) — ~(Х; 1)) =Ь(Д6) — Да)) <г з=1 зза1 з=1 Таким образом, согласно следствию 6.2, ие убыв ш аю ая ва отрезке [а, о] фуикцвя интегрируема иа ием.
Доказательств~ для случал ие взх1растающей функции аналогично. 263 Д.6.2. Доказательство теорем 6.!9 и 6.20 Дополнение 6.2. Доказательство теорем 6.19 и 6.20 Доказательство теоремы 6Л9. Рассмотрим векоторое разбиение Т=(хе — — а, х!, ..., х;, ..., х„=Ь) отрезка (а, й], ва ё частичных отрезков (х, ), х;] длиной Ьх;. Положим 1;=у(х;) и т!=Уф) в иекоторых точках (< б [х; ), х;]. В силу монотонности функции у(х) имеем у(а) 1О ~ ~!! ~~ ~~ !о у(о) и»»-! ~~ !! ~~ !! ° Итак, точки !е, 1!, ..., $„(среди которых могут быть одинаковые) образуют разбиение Т' отрезка (у(а), У(о)]. Интегральную сумму для функции Ду(х))7(х), соответствующую разбиению Т, запишем в виде о о ~~),У(у(6))7(6)~х» = ~~~ У(г1)7(6)Ьх! = »м! о о ~(г!)(У(х;) — у(х; !))+Я~(т)г;= »м! »»»1 о и = ,'),Ят;)Й!!+ Я,1(г!)г;, (6.60) где Ь!! =Ц вЂ” $; ! и г; = 7®)Ьх; — 7(х) Нх = 7(~;) Ьх, — у(х;) + у(х; !).
Используя неравенство (6.41), находим, что е» е» )!)=/ ~ (»Й)»)~))м/ < 1 )»кд»)*))а»~а»' ги ! 264 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ где м; — колебание функции у(х) иа отрезке (х; !, х;]. Интегрируемая иа отрезке [а, ф] функция ~(!) иа основании теоремы 6.1 ограничена иа [а,,9], т.е. (Я)[ < М 'й б [а, Е]. Поэтому в силу (6.60) получаем, что ! и л и ) 1[у(Я уЯ)йх; —,~!,У(г)М < М,'~ щЬх;. (6.61) Вю! 1=! в=! Ь' = так($; — !! !) = мах(у(х;) — у(х; !)) < г. чт1, и !=!,и Таким образом, если Ь~О, то и У ~0.
Фуикция /($) иитегрируема иа отрезке [у(а), у(6)] С [а,,9]. Поэтому в силу определения 6.3 предела ино!егральноб суммы и (6.6) я(И пш ~~~;~~~! = / л~) ~~. (6.62) " 'зы! ( ) Так как функция у(х) иитегрируема иа отрезке (а, 6], то, согласно следствию 6.1, й!ш~~1 ицЬхе=О. л-+о, сы! (6.63) Переходя в (6.61) к пределу при Ь -+ 0 (а эиачит, и при Ь' -! 0) устанавливаем с учетом (6.62) и (6.63), что иитегральиал сумм~ для функции ~(у(х))у(х) па отрезке [а, 6] имеет предел, те Функция у(х), согласно теореме 6.15, непрерывна иа отрезке (а, 6], причем в силу равномерной вепрерывпости па этом отрезке для произвольного числа г > 0 найдется такое б = б(г) > О, что если х, х' 6 (а, 6] и (х — х'( < Ю(е), то (у(х) — у(х") ( < г (1-5.9].
Отсюда следует, что если иакси,нальныб шаг разбиения Т отрезка [а, 6] удовлетворяет неравенству Ь < б(е), то максимальиый шаг разбиения Т' отрезка [у(а), у(6)] удовлетворяет нера- веиству 266 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ где и( ге г,' = и(х) вьх — и(х;) д.'ьх;, г'," = о(х) (вх — о(х; 1) д.")вх;. г(-1 гв С учетом (6,41) находим, что ге' ге К(=!~( (*)- (*д)в )< ~) (е)- (*д)в*<4ь*, ге 1 ге-1 где (),' — колебание функции в(х) на отрезке [х; 1, х;].
Аналогично можно показать, что )гвв[ (()в)ах;, где а)в)в колебание функции о(х) патом же отрезке. Непрерывные на отрезке [а, 5] функции У(х) и У(х) ограничены на нем, т.е. [У(х) [ ( М и Щх) ~ ( М Ух 6 [а, 5]. Используя записанное тождество, получаем, что ! Ь (в(*)в(*)$ -1 (~(*д)в(*е)+(е(*; д,(; е))ье;$< 1=1 и и (~ М~~ ьвеьььх;+ М~ ьде"11)хеи (6.65) 1=1 вег1 Так как функции вв(х) и о(х) интегрируемы на отрезке [а, 5], то в силу (6.22) и и '11ш',Ь ыв' Овх; = О, Иш ~~Ь ьвв" 5)х; = О, (6.66) Ь-ве, Ь-+О, ввв1 в<<1 где Ь вЂ” максимальный п1аг разбиения отрезка [а, 5].
Посколь- ку интегралы (6.64) существуют, согласно (6.6), имеем Ь в К (*;) (;1)ь*;=~ (*) (*)в*, (в 7) ввв1 и Ь 1 ~ (((*;,) („1,)ьи= /(в( ) ( )в*. (ввв) Ь-во, ° вв1 Переходя в (6.65) к пределу при Ь -ь О и учитывая (6.66) -(6.68) приходим к (6.58). 267 д.6.3. Саваь нитеграаоя Ньютона а Римана Дополнение В.З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
