Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 35
Текст из файла (страница 35)
294 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ б. Функция е о непрерывна, а значит, интегрируема на всей числовой прямой Й, но ее первообразная не выражается в злементарных функцилх. Применяя (7.5) при с = О, находим +оо Е +оо е ' Их= е Ых+ е * Их. (Т.23) — оо — оо о ох 4 . з1 в) ~ ~/хза1п -Их; ~/х+соа~х „/ х 3 +авх Ж'+ /х+1 +оо +оо /' х'" агссбх ( (2хз — 7) агсав(1/х) 41 У аз+5 — 2 1 а Функции /(х) =е о и у(х) =е * являются 6.м.при х-++со, ио Дх)/у(х) = е '+' + О при х -++со, т.е. верно (7.19) при А=О.
Так как несобственный интеграл от функции у(х) = е * по бесконечному промежутку [О, +со) сходится (см. пример 7.7.а), то в силу замечании 7.2 сходитса н второй интеграл в правой части (7.23). Аналогично функции У(х) = е ' и е* являются б.м. прн х -~ -оо, а их отношение Дх)/е* = е стремится к нулю пры х -~ -оо, т.е. снова верно (7.19) при А = О. Поскольку несобственный интеграл от функциы е* по бесконечному п омежутку (-оо, О~ сходится (см. пример 7.7.а), то, согласно Р замечанию 7.2, сходытсл и первый интеграл в правой части (7.23). Итак, оба интеграла в правой части (7.23) сходятсл.
Следовательно, сходитса и несобственный интеграл в левой части (7.23). Рассмотренный интеграл играет важную роль в теории вероятностей. Его значеные равно ~/х (см. прымер 8.11). Пример 7.8. Исследуем на сходымость несобственные ин- тегралы 295 7.3. Призивми сходммости интеграаов а. Функция /(х) = (3+в1пх)/(~/х4+ ~/х+1) непрерывна, а значит, интегрируема на любом отрезке [1,6].
Числитель дроби це превосходит значения 4 для любого х > 1. Поэтому /(х) ( в —- у(х) Чх > 1. 4 ,в/~4.1 /х 1 Функция ~х4+~/х+1 является бесконечно большой (б.б.) при х -++со н эквивалентна первому слагаемому. Поэтому у(х) 4/~~Гх4=4/х4~з при х -++оо. Интеграл по бесконечному промежутку [1, +оо) от функции 4/х4/з сходится, так как показатель степени в = 4/3 > 1 (см. пример 7.3).
Значит, в силу теоремы 7.2 сходится несобственный интеграл от функции у(х), а, согласно теореме 7.1, из сходимости несобственного интеграла от функции у(х) следует сходимость интеграла по промежутку [1, +оо) от исходной функции /(х). б. Функция /(х) = 1/(~/х+совзх) непрерывна и поэтому интегрируема на любом отрезке [1,61 с [1,+оо). Так как 0( ( совз х ( 1 при любом х > 1, то 1 1 1 /(х) = ~/х+ совз х /х + 1 2~/х ) — ) — = у(х) ух Е [1, +оо). В этом случае показатель степени в = 1/2. Поэтому несобственный интеграл от функции д(х) = 1/(2~/х) по промежутку [1, +оо) расходится (см. пример 7.3), а тогда, согласно теореме 7.1, интеграл от функции /(х) тоже расходится. в. Функция /(х) = ~Гхзв1пз(1/х) непрерывна, а значит, и интегрируема на любом отрезке [1,6) С [1,+оо).
Функции в1п(1/х) и 1/х являются эквивалентными б.м. при х-++оо. Поэтому подынтегральная функция Дх) является при х -+ -~ +оо б.м., эквивалентной функции ха~4/хз = 1/хв~4. Таким образом, если, применяя теорему 7.2, выбрать в качестве функции сравнения у(х) = 1/хв~4, то в силу сходимости несобственного интеграла от такой функции по бесконечному промежутку 296 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1,+оо) (см. пример 7.3) интеграл от функции /(х) по этому промежутку тоже будет сходящимся. г.
Функция /(х) = х"'агссбх/(х" + 1) непрерывна и поэтому ивтегрируема па любом отрезке [1,Ц. Если п=1п, то )пп /(х) =х/2. Поэтому весобствевиый интеграл от функ*-2+Оо цив /(х) по промежутку [1, +оо) расходится. Если же пфт, то при х-++оо /(х) эквввглеитиафувкции х/(2х" ). Несобственный интеграл от функции 1/х" по бесконечному промежутку [1,+со) сходится при и — т = г > 1 (см. пример 7.3) и расходвтся при и — т < 1. Следовательно, в силу теоремы 7.1 иесобствеввый иитеграл от функции /(х) по этому промежутку будет сходиться лишь при и — т > 1. я.
Фу яяяя 2(~)=(2*2 — 2) 1 (1(~))КР+5* — 2 яр рывва, а значит, и иитегрируема ва любом отрезке [2,6], Так как агся1п(1/х) 1/х при х-++со, то существует конечный, отличвый от нуля предел подыитегргльвой функции: (2хз — 7)агсяп(1/х) . 2хз(1/х) йш /()= йш )1ш я)я Рр* — 2 Следовательно, несобственный интеграл от функции /(х) по промежутку [2, +со) расходится. 7.4. Интегралы от неограниченных функций Пусть функция /(х) определена в полуивтервале [а, 6) и ве ограиичева при х-+6 (это значит, что функция ве является ограниченной ви в какой окрестности точкв 6, где точка 6 может быть как конечной, так и бесконечной).
Предположим, что эта функция интегрируема па любом отрезке [а, и] С [а, 6). Тогда в полуввтервгле [а, 6) определена функция Ф(п) = У(х) дх (7.24) О как определенный интеграл с переменным еерхним пределом. 7А, Иютеграаы от неогравмчеввыа функивй 297 Определение 7.3. Предел функции Ф(ч) прн ч -+ 6 — О кззывают несобспьвеннььм интегралом ош неограниченной фйнкции Дх) попромежутку [а, 6) (или несобственным интегралом впзорого рода) и обозначают так же, как и определенный интеграл на отрезке [а,6): При этом, если предел в (7.25) существует н конечен, несобственный интеграл называют сходлиьимсл (в этом случае говорят о сходильоспьи несобственного интеграла от неограничеяной функции), а если этот предел бесконечен или не существует, то — расходлилимсл.
В случае Дх) > О Ух Е [а,6) сходящийся несобственный интеграл в (7.25) геометрически соответствует площади бесконеч- 7 но высокой криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [а,6) Ях) оси абсцисс, прямыми х= а, х=6 н графиком функции /(х), причем прямзл х= 6 является верти- а Ь х кальной асимптотой этого графика (рис. 7.5). Пусть теперь функция Дх) определена в полуинтервале (а, 6), не ограничена в окрестности точки а, но интегрируема на любом отрезке [С,61 С (а, 6]. Тогда в полуинтервале (а,61 определена функция ь ФЯ) = 7(х) Их как определенный интеграл с переменным нижним пределом. 298 7.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Определение 7.4. Предел функции Ф(Я) при с -+ о+ О называют несобственным интегралом от иеограиичениой функь ции Дх) по промежутку (а, Ь] и такжеобозиачают ] Дх)дх, а т.е. | Ях) дх = Ищ Ф(Я) = Ив / Дх) дх. (7.26) 4-фа+О е-+а+О,/ Говорят, что несобственный интеграл (7.26) сходится, если предел в (7.26) существует и конечен, и расходится, если У этот предел бесконечен или ие У~х) существует. Геометрически значение сходящегося несобственного интеграла (7 26) при условии У(х) ) О Чх б (а, Ь] равво площади бесконечво высокой криволинейиой Рие. т.и трапеции (рис.
7.6). Если функция Дх) не ограь иичева при х -+ с для иекото- УМ рой точки с б (а, Ь), то иесобственный интеграл в этом случае представляют суммой двух несобственных интегралов (одии а О е из иих может оказатъся и ооределеиным имтеералан — рис. 7.7): ь а ь Дх)дхаа Дх)дх+ Дх)дх. (7.27) а а а При этом по определению считают, что несобственный интеграл в левой части (7.27) сходится, если независимо один от другого сходятся оба интеграла в правой части (7.27). Если функция Дх) ие ограиичеиа при х-+Ь вЂ” О, ио имеет первообразиую г'(х) и интегрируема иа любом отрезке (а,О] Рве.
ТЛ ТА. Иетеграаы от ыеогрвикчееинх фувкцнй 299 внутри промежутка [а,Ь), то, используя (7.25) и формулу Ньютона — Лейбница, можно записать | Дх)бх= 1пп ~~(х)йх= 1пп Р(п) — Р(а). О-+Ь-О~ ОчЬ-О Отсюда ясно, что, если существует первообразиая, несобственный интеграл в левой части этого равенства сходится тогда и только тогда, когда существует конечный предел 1пп Р(д) = = Г(6 — О), и в этом случае (7.28) Аналогично, если иеограиичеииал при х-+ а+О функция ~(х) имеет первообраэиую г'(х) и витегрируема иа любом отрезке [с,6] С (а, 6], причем существует ковечиый предел )пп Р(с) = г'(а+О), то для иесобствениого интеграла от (-+а+О функции ~(х) иа промежутке (а, 6] имеем (7.29) Наконец, если функция /(х) ие ограничена в окрестности точки с, ио имеет первообразные г(х) в промежутке [а, с) и С(х) в промежутке (с,Ь] и иитегрируема па любых отрезках [а,ц] С [а,с) и [(,Ь] С (с,6], причем существуют конечные пределы 1пп Г(х) = Г(с-О) и !пп С(х) = С(с+О), О-+с-О (->с+О то для несобственного интеграла па отрезке [а, 6] имеем ь | /(х) Нх = Г(с — О) — Р(а) + С(Ь) — С(с+ О).
(7.30) О 300 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Соотношения (7.28)-(7.30) иногда называют обобщенными формулами Ньютона — Лейбница для несобственных интегра лов от неограниченной функции. Пример 7.9. Вычислим несобственные интегралы о 2 1 ~/4 — *~ 2 = г (2 — 0) — Г(0) = —. о б.
Функция 1/(х1пх) не ограничена прн х-++О и интегрируема на любом отрезке (с,1/2] С (О, 1/2]. Позтому в силу определения 7.4, используя (7.26), имеем 1/2 1/2 | Ь . ГИ(1 ) ~1~2 — = 1пп / — = 1пп 1в~1вх~~~ х 1п х Е-++о 1п х 4-++о 4 о 4 =1п!п2- 11т 1п~1вв=-од. 4-++о Следовательно, рассматриваемый несобственный интеграл расходится.
Пример 7.10. Исследуем на сходимость несобственный интеграл ь 11х (х — а)' О (7.31) о или установим их расходимость. а. Функция 1/~/4 — х~ не ограничена при х-+2-0, но интегрируема на любом отрезке (О, о] С [О, 2) и имеет первообразную г(х) = агсе!п(х/2), причем г'(2 — 0) = я/2 и г'(0) =О. Следовательно, несобственный интеграл сходится. Позтому, используя (7.28), получаем 7.4. Иытегреяы от ыеогреыычеыыит фуыкцый 301 в завнснмостн от показателя степени з 6 й. Отметим, что при з < О подынтаеграяьнал функция Дх) = 1/(х-а)е ограничена и непрерывна на всей числовой прямой й и поэтому существует определенный интеграл от этой функции по любому отрезку [а,Ь16 й. В случае з>0 функция Дх) неограничена при х-+а+О и интегрируема налюбом отрезке [С,Ь]С (а,Ц. Если з=1, то, используя (7.26), получаем Нх .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
