Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для функции /(х) = хз разность верхней и нижней сумм Дарбу при равномерном разбиении Т„ отрезка [-2, 3] па и частей составляет (см. пример 6.3) Я(Т„) — ЯТ„) = 175/п. Для произвольного е > О разбиение этого отрезка на п > [175/с] равных частей приводит к нера венству (6.23), т.е. в силу критерия Римана функция /(х) = х иптегрируема иа отрезке [-2, 3]. Используя результаты примера 6.3 и учитывая, что прв Ь -+ О, согласно замечанию 6.1, п -+ оо, находим /65 175 125~ 65 У, = вирЯ(Т) > епрЯТ„) = 1ип ~ — — — + — ) =— тв в в-ооо~ 4 2п 4пз) 4 /65 175 125~ 65 Г=1пЫ(Т) (1п1'Я(Т„) = 11ш ~ — + — + — ) =— т тв в в-+оо~ 4 2в 4пз) 4 откуда 1' = 1, = 65/4. Таким образом, интегрируемость рас сматриваемой функции на отрезке [-2,3] установлена и пр" на Классы интегрнруемых функций 227 помощи критерия Дарбу.
Более того, из (6.21) следует, что интеграл от функции Дх) =ха по отрезку [ — 2,3] равен з 1=~ х Ых= —. 4 8.5. Классы интегрируемых функций Теоремы 6.5 и 6.6 позволяют установить некоторые классы инпхгрируемых функций. Теорема 8.7. Если функция Дх) непрерывна на отрезке [а, 6], то она интегрируема на этом отрезке. е Функция Дх), непрерывная на отрезке [а,6], равномерно непрерывна на нем [1-5.9]. Поэтому для любого б > О найдется такое б(г), что отрезок [а, 6] можно разбить на частичные отрезки длиной меньше б(б), на каждом из которых колебание функции Дх) будет меньше г/(6 — а), т.е.
ири максимальном иаге Ь < б(б) некоторого разбиения Т будет выполнено неравенство О < ац < б/(6 — а). Умножая это неравенство на длину Ьх; > О частичного отрезка и суммируя по 1, получаем что в силу следствия 6.2 доказывает утверждение теоремы. ~ Доказательство интегрируемости других классов функций даны в Д.8.1. Здесь же ограничимся лишь формулировкой соответствующих теорем. Теорема 8.8. Если ограниченная на отрезке [а, 6] функия у(х) имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то оиа иа иитегрируема на этом отрезке.
228 б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Функцию Дх) называют кусоиио иекрермвиой на отрезке [а, б], если она непрерывна во всех точках этого отрезка, за исключением, быть может, конечного числа точек, в кото. рых функция имеет разрывы первого рода. Иэ теоремы 8.8 следует, что кусочно непрерывная на отрезке функция инте. грируема на этом отрезке. Теорема 6.8. Если функции Дх) и у(х) наотрезке [а,б] различаются лишь в конечном числе точек, то интегрируемость одной из этих функций равносильна интегрируемости другой, причем Ь Ь у(х) Нх = Дх) Их. Замечание 6.2. Из теоремы 8.9 следует, что если интегрируемую на отрезке [а, б] функцию изменить в конечном числе точек, то она сохранит свойство интегрируемости, а значение ее интеграла по отрезку не изменится. На интегрируемость функции не влияет то обстоятельство, что она не определена в конечном числе точек (например, в концах отрезка).
В этом случае ее можно доопределить в этих точках произвольным образом, и заданные значения функции не отразятся на величине интеграла. Теорема 8.10. Если функция Дх) монотонна на отрезке [а, б], то она интегрируема на этом отрезке. 6.8. Свойства интегрируемых функций Установим некоторые важные свойства функций, иипьеграруемых на отрезке [а, б].
Теорема 8.11. Еслн функции Дх) и у(х) интегрируемы на отрезке [а, б], то их произведение Дх)у(х) также интегрируемо на этом отрезке. б.б. Свойства интегрируем ык Функций 229 4 В силу теоремы 6.1 интегрируемые па отрезке функции ограничены иа этом отрезке, т.е. ~~(х)~ < К, ]у(х)[< Ь Ух Е Е [а, 'в].
Согласно следствию 6.1, для произвольного б ) 0 иайдутся такие разбиения Ту и Тв отрезна [а, в], что ь аЛах < — и ~ 1ов~йхв < —, (6.25) бю! та=1 где ы и ь4 — колебапияфуикций Дх) и у(х) пачастичпых ОтРЕЗКак (Х 1, Х ] ДЛИНОИ ЬХ И [Х"а 1, Худ] ДЛИНОИ ЬХт соответственно. Рассмотрим разбиение Т= ТуОТв отрезка (а,в] иа частичные отрезки (х, 1,х;], 1=1,я, где н([+[с. В силу теоремы 6.2 для разбиения Т верны неравенства ш1Ьх; < — и ~~~ ь119Ьх; < —, Ьв1 где ь1,' и ь1," — колебания функций ~'(х) и у(х) на частичном отрезке (х; 1, х;] длиной Ьх;, 1 = 1, и. Оценим колебание ш; функции Дх)у(х) иа частичном отрезке (х; 1, х;].
По определению колебания функции имеем ь11 = м; — т; = впр фх)у(х)) — ы (,г(х)у(х)). вб[в1-о вй об[ос-о вй Иначе говоря, колебание ь1; этой функции можно определить как гпочную верхнюю грань резиостей ДС)у(С) — Д1[)у(О), где ч и и принимают значения на отрезке [х; 1,х;] независимо друг от друга, т.е.
ь11 = Бпр (Щ)у(с) — Д7~)й(11)). 1,ее[в; о в;) о для любых точек (, 1[ Е (х; 1, х;] верно тождество ~Ы)УЫ) -ЛО)У(О) = УЫ)(И) -У(О))+И [)(УЫ) -ЛО)) 230 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ из которого следует, что о <! У(с)д(с) — ЛО)д(0)1 < !И)1 1И) — д(О) $+ +!д(0)![УЫ)-У(ОИ<К4+~ ;'. Поэтому для колебания функции Дх)д(х) на отрезке [х; 1, х;] верно неравенство 0<и <М+К(4'. (6.26) Умножая (6.26) на Ох; > 0 и суммируя по ь', получаем в в в 0< чЬ м;Ьх;(Ь~~Ь ы,'Ьх;+К~ м,"Ьх; < Ь вЂ” +К вЂ” =х, ~ж1 вю1 что в силу следствия 6.2 доказывает утверждение теоремы. ~ 1 1 [ ] д(х") — д(х') ] ]д(х") — д(х') [ ! — — — «~=]! д(х') д(г")! ! д(х')д(х") ! ~ ~тьз Согласно следствию 6.2, для произвольного е > 0 найдется такое разбиение Т отрезка [а, Ь], что для интегрируемой иа этом отрезке функции д(х) будет выполнено неравенство (6.28) Методом математической индукции нетрудно доказать, что произведение конечного числа интегрируемых на отрезке функций интегрируемо на этом отрезке.
В частности, интегрируема любая натуральнзл степень (Дх)) интегрируемой функции Дх). Теорема 0.12. Пусть функция д(х) интегрируема на отрезке [а, Ь] и Ы ]д(х)] = оь > О. Тогда на [а, Ь] интехи[я, Ь! грируема и функция 1/д(х). ~ По условию теоремы ]д(х)! >та и 1/!д(х)](1/пь УхЕ [а, Ь]. Поэтому для любых точек х', х" б [а, Ь] 6.7.
Основные свойства определенного ннтетрава 231 где и; — колебание функции д(х) на частичном отрезке [х; 1, х;] длиной Ьх;, ь'=1,а. На каждом частичном отрезке, согласно (6.27), функция 1/д(х) имеет колебание ы,'(4о1/айвз. Следовательно, учитывая (6.28), получаем 1 1 т.е. в силу следствия 6.2 функция 1/д(х) интегрируема на отрезке [а, 6]. в Из теорем 6.11 и 6.12 вытекает следствие.
Следствие 8.3. Пусть функции /(х) и д(х) интегрируемы на отрезке [а, Ь] и 1пГ ~д(х)[ > О. Тогда на [а, Ь] ее[а, ь) интегрируемо и частное /(х)/д(х). 6.7. Основные свойства определенного интеграла 1'. Если функция /(х) интегриругма на отрезке [а, 6], то ь в | /(х) Нх тл — /(х) Нх. Ф ь (6.29) До сих пор мы говорили об интегрировании функции по отрезку, т.е.
цодрззумевзли, что нижний предел интпегрироеавая а меньше верхнего предела ивтыгрироеанпл Ь. Определенный интеграл Римана можно распространить на случай а > Ь, причем различными способами. Сформулированное свойство есть общепринятый способ распространения понятия интеграла Римана на случай, когда нижний предел интегрирования больше верхнего. Разбиением Т, соответствующим паре точек о и Ь, назовем множество точек хо = а, хь, ..., х„ь, х„= Ь, расположенных в.
ОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ 232 в направлении от а к Ь, т.е. при а>6 имеем а=хо >х1» ... х„1>х„=6. Обозначив Ьх; = х; — х; 1 и выбрав точки ~; между точками х; 1 и х;, составим интегральную сумму в соответствии с формулой (6.2). Предел интегральных сумм при Ь= так~Ьх;~ -+ О назовем определенным интегралом, соответеы1, в ствующим нижнему пределу интегрировании а и верхнему пределу интегрировании 6.
Очевидно, что зто определение интеграла при а < 6 совпадает с прежним. Однако новое определение, в отличие от прежнего, допускает и случай а > Ь. При зтом легко убедитьсл, что из нового определении вытекает свойство 1'. Новое определение лвлиетсл корректным и в „вырожденном" случае в = 6. Если а = 6, все точки разбиении должны совпадать, а интегралу следует приписать нулевое значепве: | Ф ,1 (х) пх = О.
а (6.30) 2'. Если фупкцил Дх) интегрируема на отрезке 1а, 6], то опа интегрируема на любом меньшем отрезке (а,,б] С [а, 6]. в ЩТ) = ~~1 м,Ьх; < х, (6.31) где = ' — пН ~> Π— колебокие Функции у(х) на частичном отрезке (х; 1, х;]. Добавив к разбиению Т точки а и 111 получим новое разбиение Т', для которого, согласно теорем~ 6.2, будем иметь й(Т') < й(Т) < е. ~ Согласно следствию 6.2, для произвольного е > О существует такое разбиение Т отрезка [а, Ь] с частичными отрезками (хв 1, х ], 1=1, а, что В.7. Освоввые свовства овредеаеввото ввтеграаа 233 иуду.
< ~~~ ы. Ьу = Й(Т') < е, так как каждое слагаемое указанных сумм неотрицательно. Согласно следствию 6.2, функция У(х) интегрируема на отрезке [а, Д. > 3'. Если функция 1(х) интегрируема на наибольшем из отрезков [а,о], [е,с] и [с,в], то она интегрируема на двух других отрезках н справедливо равенство ь с ь Г ~(х) сЬ = ~(х) Их+ Дз) Нх, (6.32) каково бы ни было взаимное расположение точек а, о и с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
