Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 28
Текст из файла (страница 28)
< Предположим сначала, что а<с<6 н функция Дх) интегрируема на отрезке [а, Ц. На основании свойства 2' определенного интеграла заключаем, что Дх) интегрируема на отрезках [а,с] и [с,в], так как [а,с] С [а,о] и [с,Ь] С [а,в]. Поэтому в дальнейших рассуждениях можно испольэовать некоторый специальный вид разбиений этих отрезков.
Рассмотрим разбиение Т„отрезка [а, в] на в частичных отрезков, причем точку с будем считать одной из точек деления зтоРис. в.з го отрезка (рис. 6.3). Пусть при этом Та и Т,„— разбиения отрезков [а, с] и [с, о] на й и ве частичных отрезков соответственно (й+ ш = а). Тогда интегральнуюсумму функции Дх) для разбиения Т„=ТьОТ Обозначим точки разбиения Т' через у;, 1 = 1,т, и пусть зн начения Й и 1 индекса у соответствуют точкам а и 6: ва = ст, у~ = 11, Й < 1.
Точки уь уа+1, ..., 1л образуют разбиение отрезка [а,,в], для которого 234 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ отрезка [а,в] можно записать в виде ,,'Ь, У(6) !М =,~, У(6) ~Ьх!+ ~,У(6') !1!х<'1 (6.33) где первое слагаемое справа соответствует рзэбиеиию Ть от. резка [а,с], а второе — раэбиеиию Тсс отрезка [с,в]. При стремлении максимального шага Ь разбиения Т„ к нулю, оче.
видно, стремятся к нулю и максимальные шаги Ь' и йа раэ биений ТЬ и Т,„соответствеиио. Согласно определению 6.4 интегрируемой на отрезке функции, существуют конечные пре. делы каждой иэ интегральных сумм в (6.33), равные соответ. ствующему определенному интегралу, что доказывает справед. ливость (6.32). Пусть теперь а < Ь < с. Тогда иа основании доказанного имеем с Ь с Дх)<Ь = ~(х) Нх + Дх)сЬ. с Ь Разрешая это равенство относительно интеграла по отрезку [а,е] и используя свойство 1' определеииого интеграла, получаем Ь с с с Ь Дх) !1х = 1(х) с1х —,Ь'(х) дх = Дх) !Ь+ ~(х) йх. Аналогично зто свойство можно доказать для любого другого вэаимиого расположения точек а, В и с.
~ Доказанное свойство называют аддитпиеностпьто определенного интпеграла. Звыечаиие 8.3. Можно доказать, что если фуикция интегрируема па двух из трех отрезков с концами а, ь, то оиа интегрируема и на третьем. Пусть, например, а < с < ~ Е.7.
Основные сеонстаа определенного ннтеграаа 235 Г огда, если функция интегрируема на отрезках [а,с] и [, ], и [сЬ] то она интегрируема и на отрезке [а, ]. ь]. Из сказанного вытекает, что если отрезок [а, Е] разделен яа п частичных отрезков так, что на каждом из зтих частичных от езков функция /(х) интегрируема, то зта функция интегрируема и на всем отрезке [а, о]. Пример 8.5. Вычислим определенный интеграл от функции Дх) =1п[х] по отрезку [1, а+1], об Х. В данном случае [х] означает целую часть числа х. Следовательно, функция ~а(х) не убывает, но имеет точки разрыва первого рода при 6.8 целых значениях ха = 1+1, Й = 1,о.
В силу теоремы зта функция интегрируема на любом отрезке из ее области определения. Поскольку !п[х] = !и и = сопеФ Чх б [й, й+ 1), то, используя аддитивность определенного интеграла, получаем ь+! ь а+! ь Ь+! ь ьь)г=~~ььь=1„ьж~ю =1.ьв=ь( !. ь=! ! «ж! ь «=! ! Графики функций !пх и !п[х] представлены на рис. 6.4 (за штрихованная площадь отвечает значению интеграла).
1р Рнс. 6.4 4е. Если функции у!(х) и Ях) интегрируемы на отрезке [ез е], то их линейнал комбинация Л!~!(х)+Ля~я(х) (Л!, Лз б Й) также интегрируема на этом отрезке, причем Ь Ь Ь (А,~,~ ).>ьа~ ~)ы 1,~~~ь) ь+л1~~дь)ю. ~634) 236 е. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ~ Для некоторого раэбнення Т отрезка [а, 5] прн пронзволь ном выбореточек ~; (ь'=1,п) на каждом частичном отрезке [х; 1, х;] этого разбиения запишем очевидное равенство в в в ~~Ь,(Л1Л ®) + ЛзЯ()) Ьх; = Ль,~,~ь®)Ьх;+ Лз~~Ь,Л(6)Ьх;.
5'. Если функция Дх) ннтегрнруема н неотрнцательна на отрезке [о,Ь], то Ь | Дх) ох > О. О (6.35) 1 Так как /(х) > О Чх 6 [а,5], то для любого разбиения Т отрезка [а,5] с максимальным шагом Ь н прн любом выборе точек ~; Е [х; 1,х,] имеем ~ф)Ьх; > О, где Ьх; = *; — хь 1 > О. В силу определения 6А ннтегрнруемо" функции существует конечный предел прн Ь-ь О ннтегральноя суммы (6.36). Переходя в (6.36) к пределу прн Ь -+ О, получаем (6.35).
3ь (6.36) В силу ннтегрнруемостн функцнй ~1(х) н Ях) на отрезке [а, е] стоящие в правой части этого равенства интегральные суммы имеют на основании определения 6.4 конечные пределы прн стремлении максимального шага Ь разбнення Т к нулю. Но тогда существует конечный предел прн Ь -+ О н для интегральной суммы в левой часты этого равенства, что в силу того же опредеяення 6.4 доказывает ннтегрнруемость функции Л1Д(х)+ ЛзЬ(х) на отрезке [а,5]. Переходя в обеих частях равенства к пределу прн Ь ь О, получаем (6.34). 1ь Это свойство называют лииебиостпью определеииого иипьеграла. б.7. Ос««0««««««е свойств««««««реле««е««««ого ««««теграва 237 6'. Если функции Дх) и д(х) интегрируемы на отрезке [а, Ь] и «(х) > д(х) Чх 6 [а, Ь], то 3 ь (6.37) 1 В силу свойства 4' линейности определенного интеграла функция /(х) — д(х) > О Чх Е [а, Ь] интегрируема на отрезке [в, Ь] и, согласно свойству 5' определенного интеграла, (Дх) — д(х)) ««х > О.
«« Отсюда, используя снова свойство 4, получаем (6.37). ~ 7'. Пусть функции Дх) и д(х) интегрируемы на отрезке [а, Ь], а также пь< Дх) < М и д(х) >О Ухе [а,Ь]. Тогда «та д(х) Нх ~< Дх)д(х) Ых < М д(х) «Ь. (6.38) 4 По условию «и < Дх) < М Чх ~ [а,Ь]. Умножая все части зтого неравенства на д(х) > О, получаем «пд(х) < Дх)д(х) < Мд(х). 0тсюда в силу свойства 6' и линейности определенного инте"Рала следует справедливость (6.38). Ь Если д(х) < О Ух 6 [а, Ь], то, очевидно, справедливо неравенство М д(х) ««х < /(х)д(х) ««х < т д(х) ««х.
6. ОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ х) ьи 1 Ух Е [а, Ь] (6.38) пеРехоДит в В частном случае при у(х ьи х неравенство Ь оь(Ь вЂ” а) ( Дх) Пх ( М(Ь вЂ” а), О (6.39) так как при зтом Ь Ь | д(х) ь1х = ох = Ь вЂ” а. О а | Дх) ох > О. а (6.40) ео емой об оценке опреде. Свойство 7' иногда называют теор ленного интеграла. х интегрируема и неотрицательна на отрезке [а, Ь] (а < Ь) и существует точка х 6 а, Ь нкции, непрерывнои в точ ке,1-9.2, и ~ Согласно свойствам функци, ' (или полуеств ет окрестность точки х условию теоремы, существу рес с о ним из концов окрестность зтои точк , окрестности (нлн полуокр~сгжкти) отрезок [~,,6], на е еленного интеграла и сво гда в силу аддитивности опред имеем ь д | ~(х) Нх = Дх) Нх+ ~(х) Нх+ 7(х) Их > Дх) Ых.
а д О Учитывая свойство 6', получаем Ь д | ~(х) йх > Дх) Нх > А(,8 — о) > О. а Ю 6.7. Осиовиые свойства оиредеаеииого иитеграеа 239 9'. Если функции /(х) и у(х) интегрируемы на отрезке [а, Ь], ~(х) > д(х) Чх 6 [а, Ь], причем существует точка х' 6 6 [а, Ь], в которой Дх') > у(х') и обе функции непрерывны, то ь ь Дх) Их > у(х) Нх. Отсюда с учетом линейности определекного интеграла получаем сформулированное утверждение. ~ 10'. Если функция Дх) интегрируема на отрезке [а, Ь], то функция Щх)~ также интегрируема на этом отрезке, причем ь ь Дх)Их < ~у(х)~Их, а < Ь. (6.41) 4 Согласно следствию 6.2, для произвольного 6 > 0 найдется такое разбиение Т отрезка [а, Ь], что (6.42) гДе ы; — колебание функции Дх) на частичном отрезке [хь-ь, х;] длиной Ьх;, ь'=1,о.
Учитывал неравенство [1-1.3] 1!И)! — йюП! <! У(Е) — Лч)! верное для любых точек (', и 6 [а, Ь], заключаем, что колебание [ функции Щх)~ на частичном отрезке [х; 1, х;] связано 4 Функция и(х) = ~(х) — у(х) удовлетворяет условиям свой- ства 8' и поэтому 240 6. ОНРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ с колебанием ~~; функции Дх) на этом же отрезке неравен ством м[(м<, 1=1,а. Следовательно, в в м;Ьх; < ~~1 ы;Ьх; < е. — ~1(х)~ < Дх) < у(х)), х б [а, Ь], то, согласно свойству 6' определенного интеграла, ь ь 6 — ~у'(х)~ Нх < у(х) Их < )~(х) ~ Их, что равносильно неравенству (6.41). ~ Отметим, что из интегрируемости функции ~~(х)~ на отрезке [а, Ь] не следует интегрируемость функции у(х) на этом отрезке. Пример 6.6.
Пусть Дх) = Х(х) — 1/2, где Х(х) — функция Дирихле (см. пример 6.2). Функция ~У(х)] = 1/2 интегрируема па любом отрезке [а, Ь] С Й, тогда как функция Дх) ие интегрируема на [а, Ь]. Действительно, в противном случае в силу линейности определенного интеграла функция Х(х) = = у(х) + 1/2 также была бы интегрируемой, но, как показано в примере 6.2, зто не так.
Замечание 6.4. Свойства 5'-10' справедливы лишь при условии а < Ь, но их можно распространить и на общий случаи Например, неравенство (6.41) при отсутствии условия е (Ь следует записать в виде 6 Ь ,1 (х) ох ( Щх) ~ пх . (6 43) Согласно следствию 6.2, функция ~/(х)~ интегрируема на отрезке [а, Ь]. Так как а.а теоремы о срадием зиачеиии дле оиредеееииого иитеграеа 241 ь а а Г(х)дх = Г"(х)~Ь ( Ц(х)~с1х= в ь ь в ь — ~у(х)~пх = у(х)~ах.
8.8. Теоремы о среднем значении для определенного интеграла Докажем две теоремы, имеющие важное теоретическое и прикладное значение. Теорема 6.13. Если функция Г"(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то на этом отрезке найдется хотя бы одна точка с, для которой справедливо равенство Г /(х) Нх = Г(с) (6 — а). а (6.44) ч Так как функция Г"(х) непрерывна на отрезке [а,6], то в силу теоремы 6.7 она интегрируема на нем. Кроме того, согласно второй теореме Вейерштрасса [1-9.4], непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшег< М значений. Поскольку пь ( Г'(х) ( М тх 6 [а, 6], то на основании неравенства (6.39) можно записать т < — /,Г(х) ах < М.
1 Г а Действительно, при а < 6 неравенства (6.41) и (6.43) совпадаьот в силу неотрицательности функции ~~(х)~. Если же а > 6, то, принимал во внимание свойство 1' и неотрицательность интеграла от неотрицательной функции ~~(х)~ (свойство 5'), имеем б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 242 Обозначим среднюю часть этого неравенства через в. Тогда Р 6 [т, М]. Согласно теореме Больцано — Коши [1-9.4], найдет ся хотя бы одна точка с 6 [а, 6], в которой Дс) = и.
Учитывая определение числа и, получаем (6.44). Ь Значение у(с) фумяции у(х) в (6.44) называют ее сред. «им хмачемием ма отрезке [а,о]. Обратимся к геометрической интерпретации (6.44). При ~(х) ) 0 Чх Е [а, о] опре. деленный интеграл в левой части (6А4) представляет площадь ариеолинебной трапеции аоВА (рис. 6.5), имеющей основанием отрезок [а,о] и ограниченную графиком функции Дх) и прямыми х=а, х=о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
