Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Доказать, что для и+ 1 раз непрерывно диффе. ренцируемых на отрезке [а, Ь] функций и(х) и п(х) верно равенство Ь | (Ь „„( +ь(~ 1 ( (((„(((„( -~)', ( ц м|„( +ь(„~ ь=е 6.16. Установить, для какой из функций, в!в~х или в!из х, интеграл Ньютона на отрезке [О, х] имеет большее значение. 6.18. Выяснить, какой из интегралов Ньютона на отрезке [1, 2] имеет большее значение: от функции 1Гх или от функции 1/с/Г+х2. 6.1Т.
Доказать неравенство е — 1 Г в*ах е — 1 4 — </ < —. 9,/ (х+1)(2-х) 2 о 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ рассмотренный в гл. б определенный интеграл Ньютона /(х) дх ж Р(й) — Р(а) существует лишь длл таких функций /(х), которые имеют на отрезке [а, о] переообраэную г'(х).
Но можно ввести понлтие определенного интеграла от функции /(х) по отрезку [а, о], не используя понлтил первообразной этой функции. 6.1. Интегральная сумма н ее предел Пусть функции /(х) определена на отрезке [а, о]. Определение 6.1. Конечное множество точек а=хо<х~ <".<х; 1<х;< ...<х„=й называют разбиением отрезна [а, о] и обозначают (хо~ х11 ° ° ° ~ хз-1~ хз~ ° ° *~ хл). Длину отрезка [х; 1, х;] С [а, й], который назовем часпвичным огпреэком разбиения Т, обозначим Ьх, = х; — х; 1 (1=1, и). Число Ь= шахах; (6.1) называют максимальным шагом разбиенил (или диаме- изром раэбиенил) Т. Заметим, что Ь ) (й — а)/и.
212 б. ОПРЕДЕЛЕКНЫй ИНТЕГРАЛ На каждом частичном отрезке произвольным образом з фиксируем точку С1 б [х; 1, х;). Определение 6.2. Выражение (6.2) называют амтееральмоб суммой для функции Дх) на от резке [а, Ь) при заданном его разбиении Т и выборе точек (ь Для неотрицательной на отрезке [а, В1 функции ~(х) гео. метрически каждое слагаемое интегральной суммы (6.2) равно площади прямоугольника с основанием э х; и высотой Я;), а вся сумма равна площади ступенчатой фигуры, объединяющей такие прямоугольники на всем отрезке (рис. 6.1).
Рис. 6.1 Определение 6.3. Число У б й называют пределом интегральных с1ьнмвида(6.2) дляфункции Дх) наотреэке [а,Ц при стремлении кнулюмаксимальногошага Ь разбиения этого отрезка и обозначают если для любого б > 0 найдется такое число 6=6(б) > 6 что для любого разбиения Т с максимальным шагом Ь ( б(б) 214 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Тогда такие суммы в пределе при и -+ 0 дают о — а. В случа же выбора на частичных отрезках произвольного разбиения Т только иррациональных зыачений С; Е И 1Я любая интеграль ыая сумма равна нулю, так что в пределе такие суммы равны нулю.
Эта ситуация противоречит определению 6.3 предел интегральных сумм, значение которого не должно зависеть от выбора точек С< ыа частичных отрезках разбиения. Поэтому для функции Дирихле предел интегральных сумм действитель но не существует. 6.2. Интеграл Римана Опредепенне 6.4. Функцию Дх) называют ннтпегрируемой (иннэегрируемой но Рнману) на отрезке [а, о], если существует конечный предел Х б Й ее интегральных сумм на этом отрезке.
,1(х) Ых (6.5) и называют ннкьегралом Римана от функции ~(х) по отрезку [а, в], поскольку именно немецкий математик Б. Риман (1826-1866) впервые сформулировал в общей форме определение предела интегральных сумм. Отметим, что обозначение (6.5) совпадает с обозыачеыием интеграла Ньютона, рассмотренного в гл. б. Одыако ыоыятие интеграла Римана является Здесь важно напомнить, что каждая интегральная сумма фуыкции Дх) на отрезке [а, Ь] соответствует некоторому разбиению Т этого отрезка и ыекоторому набору выбранных точек с; на частичных отрезках [х; 1, х,],1=1,п, этого разбиения. Предел У интегральыых сумм берут при стремлеыыи максимального шага й разбиения отрезка к ыулю, и этот предел, согласно определению 6.3, не зависит от выбора точек $ ыа частичных отрезках. Этот предел обозначают 215 6.2. Интеграл Римана более удобным, так как его можно распространить ыа мыогомерыый случай.
о дальнейшем вместо термина „интеграл римаыа" будем использовать термин „определенный ин1пегра,в", а в случаях, ые связаыыых с поыятыем неопределенного аириграла, будем говорить просто об иытеграле. Итак, согласно (6.3) и (6.5), можно записать ь ь о Дх) дх = 1пп ~Ь Я;) Ьх;.
а вт1 (6.6) Строгое определение паивали плоской фвгуры и ее свойства приведены а в*в Как и в случае интеграла Ньютоыа, интеграл Римана от функции /(х) по отрезку [а, 6) является числом, которое ые зависит от обозыачеыия переменного пнпьегрпроваиид.
Зыз чеыие интеграла Римана определяется лишь подыипьегральвой функцией Дх) и отрезком иытегрироваыия. Концы отрезка иытегрироваыия, как и в случае интеграла Ньютоыа, мы будем называть пределами инпьегрированил (левый коыец отрезка — ниэьсним пределом инчпегрироеания, а правый юнец — верхним пределом инпеегрированил). Для неотрицательной па отрезке [а, 6) функции ~(х) геометрически интеграл (6.6), согласно определению 6.3 предела интегральных сумм, является пределом (при стремлении максимальыого шага разбиения Ь к нулю) площадей ступенчатых фигур.
Каждая из этих фигур объедиыяет ыа отрезке [а, 61 прямоугольыики сосыоваыием сьх;=хь — х; 1 и высотой ~(4;) (см. рис. 6.1). Этот предел естествеыио считать площадью' ириеолинейной пьрапеции аЬВА, имеющей осыоваыием отрезок [а, 6) и ограыичеыыой графиком функции у = Дх) и прямыми х=а и хссЬ, если зыачеыия Да) и ДЬ) фуыкции отличны от нуля.
Необходимое условие иытегрируемости функции Дх) ыа отрезке устанавливает следующая теорема. 216 б. ОПРЕДЕЛЕКНЫИ ИНТЕГРАЛ Теорема 6.1. Если функция Дх) интегрируема на отре~ ке [а, Ь], то она ограничена на этом отрезке. ~ Предположим противное: функция Дх), интегрируемая иа отрезке [а, Ь], не ограничена на этом отрезке. Согласно опре. делению 6.4 ннтегрируемости функции на отрезке, существует конечный предел интегральных сумм для этой функции на дав ном отрезке. Выберем произвольное число е > О. Тогда в силу определения 6.3 предела интегральных сумм найдется та кое число б= 6(с) > О, что для любого разбиения отрезка [а, Ь] с максимальным шагом Ь< 6(с) и любого выбораточек (; на частичных отрезках будет выполнено (6.4), т.е.
1ж| Отсюда следует, что множество интегральных сумм с максимальным шагом Й < Б(с) ограничено. Выберем одну из таких интегральных сумм. Поскольку по предположению функция ,1(х) не ограничена на отрезке [а, Ь], то найдется частичный отрезок [х; ~, х;], на котором функция Дх) является неограниченной. Путем соответствующего выбора точки ф 6 б [х; 1, х;] слагаемое Д(;)б,х; в интегральной сумме можно сделать сколь угодно большим по абсолютноЙ величине, а вместе с этим слагаемым сколь угодно большой по абсолютной величине будет и интегральная сумма.
Но последнее невозможно, поскольку интегральная сумма была выбрана из ограниченного множества интегральных сумм. Возникшее противоречие опровергает принятое предположение и доказывает утверждение теоремы. > Подчеркнем, что ограниченность функции на отрезке является лишь необходимым, но не достаточным условием ее интегрируемости на этом отрезке. Так, функция Днрихле (см. пример 6.2) ограничена на любом отрезке [а, Ь] С Е, но не инте грируема, поскольку не существует предел соответствуюшях интегральных сумм.
б,З. Суммы и иитегратм Дарбу 6.3. Суммы и интегралы ДаРбу Пусть т(х) — функция, ограниченная на отрезке [а, Ь], а Т= (хо, хт, ..., х; т, х;,..., х„) — некоторое фиксированное разбиение отпрезка [а, Ь] на частпичные отирезки [х; т, х;], т'= -1,и. Точные верхнюю и нижнюю грани функции /(х) на отрезке [а, Ь] обозначим М= вир [(х) и та= ]и[',[(х), еб[в, т] ее[а, 6] а точыые верхыюю и ыижнюю грани этой функции ыа каждом частичном отрезке— М; = вир Дх) и тат = [в[ Дх). *Я[в;-ь е;] хе[в; т, ю] Разности М вЂ” ттт =ьт и М; — тттт = м; ыззывают «олебанием функтфииыаотрезках [а, Ь] и [х; 1, х;] соответственно. Суммы ч ч Я(Т) = ~~~ М;Ьх; и Я(Т) = ,'] тн;Ьхт (6.7) т=т называют верхней и нилснеб суммами Дарбу для фуыкции т'(х), соответствующими фиксированному разбиению Т (Ж.Г.
Дарбу (1842 — 1917) — французский математик). Значения этих сумм могут ые совпадать ни с одной из интвегральных сумм Я(Т) для функции Дх) и данного разбиения отрезка [а, Ь], поскольку эта функция может и не приниматьзначений М; или тн; начастичныхотрезках [х; 1, х;] (рис. 6.2). Для ограниченной функции ~(х) суммы Дарбу определены при любом разбиеыии Т отрезка, поскольку в этом случае значения М и т; (т'=Т,н) в (6.7) конечны. При этом для любого разбиения отрезка [а, Ь] ттт;(~®) (М(, 5 6 [х, т,х1], т'=1)и. 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 218 Рис. в.в Умножал это неравеыство ыа Ьх; ) О и суммируя по 1, для любого фиксированного разбиения Т получаем и в л пцЬх; < ~ Я;)Ьх;< ) М<Ьх;, сю1 ° ю1 1ю1 или ЯТ) < Я(Т) < Я(Т), (6.8) Пример Е.З.
Найдем суммы Дарбу для функции /(х) = х ыа отрезке [-2, 3], соответствующие разбиеыию этого отрезка ыа а равных частей. В этом случае 51 х;=-2+ —, 1=1,в. и 5 Ьх;= —, а' В силу непрерывности и возрастания этой функции при любом разбиении отрезка она достигает ыаименьшего т; = хз ~ наибольшего М; =хз значенвй на левом и правом копна" где Я(Т) — июиегральиал сумма функции Дх) на отрезке [а, о] при его фиксированном разбиении Т и произвольном выборе точек ~; на частичных отрезках [х; 1,х;] (1=1,а). Ясно, что значения,2'(Т) и Я(Т) являются точной нижней ы точной верхней гранями множества интегральных сумм Я(Т) функции Дх), соответствующих даныому разбиению Т.
219 о.З. Суммы ы иитеграеы Дарбу о У(Т) = — ~( — 2+ — ) . п ~(Т) = -',) , '(-2+ 5 — ')', 1м1 Принимая во внимание, что' п(п+ 1) ч э н(п+ 1)(2п+ 1) с" э пэ(а+ 1)э В= 2 ~~ 6 4 ! ,=1 вм1 в итоге получаем 65 175 125 '.1(Т) = — — — + —, 4 2п 4пэ' 65 175 125 У(Т) = — + — + —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
