Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Согласно Лх) Яс)- (6.44), эта площадь равна площади прямоугольника с тем же А основанием и высотой, совпадо ющей со значением у(с) функРяс. 6.6 ции /(х) в точке с6 [а, Ь]. Пример 6.7. Найдем среднее значение функции у(х) = ва мРеам ~О, Щ юлиу ~, в Р Й фув~цю принимает это значение. Графиком данной функции на отрезке [О, В] является четверть окружности радиуса В с центром в начале прямоугольной системы координат хОу (рис.
6.6). Поэтому определенный интеграл о о равен площади четверти круга, те хВз/4. Тогда, согласно (6А4), Ряс. 6.6 Я | ~/я -* ю =-'к'-д)в-~/н-'.ия. 4 о ого ыытеграеа 243 б.8. Теоремы о ередыем зыачеыын дде оыредедеыыого ыытегр до-Л "- а 4 е 8.5. Используя свойство 7' определенного инЗамечаиие ..
сп а (см. 8.7), можно доказать более общее утвержде именно: если функция Дх) интегрируема на отр на этом отрезке нг,. х ., < Дх) < М то существует такое число ьь, что Ь Дх) дх = 1ь(6 — а), нг < а ( М. г(6 а 8.14. Еслифункция у(х) непрерывна, афункция (х) интегрируема и знакопостоянна на отрезке (а, ], то д(х) интегри уе этом отрезке найдется хотя бы одна т очка с для которой ! справедливо равенство Ь Ь | ~(х)у(х) Их = Дс) у(х) Их. а а 4 Примем а < 6 и у(х) > О Ух е (а, 6]. Так как функция Дх) непрерывна на отрезке [а,6], то, с о согласно второй теореме Вейерштрасса (1-9.4], она достигает на этом отрезке наимень- шего нг и наибольшего М значений р тх Е (а, 6].
В силу свойства 6' (см. 8.Т) можно написать Ь Ь Ь тв у(х) Ых ( 1(х)у(х) Нх ( М у(х) дх. (6.46) а а Согласно свойству 5о, интеграл от неотр ц и ательной функции иеотрицателен, т.е. 1= у(х)ах > О. а Отсюда среднее значение функции,~( ) ии,~(х) на отрезке (а, 6] равно — и сеа — 16 — х . х г 244 б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Если 1 = 0, то интеграл в средней части (6.46) также раве„ нулю и (6.45) верно для любой точки с 6 [а, 5]. Если же 1 ) О то, разделив (6.46) на 1, получим Ь пь ( - / ! (х)д(х) Пх < М.
1 / Обозначим средвюю часть этого неравенства через !ь. Так как и б [вь, М], то, согласно второй теореме Больцапо— Коши [1-9.4], найдется хотя бы одна точка с б [а, 5], в которой /(с) = 1ь. Отсюда с учетом определения числа !ь следует (6.45). Аналогично доказательство справедливости (6.45) в случае д(х) ~ (0 Ух Е [о, 5]. ~ Пример 6.8.
Оценим значение определенного интеграла от функции 2х/~/1+Зх по отрезку [О, Ц. Поскольку фуикция х иеотрицательна на [О, 1], то, применяя теорему 6.14 с /(х) = х и д(х) = 2/с/Г+Зх, получаем 2хНх 2 1 Д+ Зх,/Г+ Зс /1+ Зс' о о 1 где с 6 (О, 1), а интеграл ! хИх выражает площадь треугольо ника с вершинами (О;0), (1;0) и (1;1) и равен 1/2. Так как 1 < ~/Г+ Зс < 2, то в итоге имеем 1/2 < 1 < 1. Замечание ВЯ. Как и в случае теоремы 6.13, можно доказать более общее, чем в теореме 6.14, утверждение: если функции !(х) и д(х) интегрируемы иа отрезке [а, Ь] и на этом отрезке пь < 1(х) < М, а функция д(х) зиакопостоянна, то существует такое число И (пь < !ь < М), что Ь Ь | !(х)д(х)дх = !ь д(х)с1х.
1(ь Дальнейшее обобщение теорем о среднем значении Я ля определениого интеграла дано в ДЯ.4. 9.9. Ооределениош" ааехерао с перемеынош ярелаоооо 245 6.9. Определенный интеграл с переменным пределом Если функция Дх) иитегриругма на отрезке (а, 6], т.е. существует определенный иитеграл от этой функции по данному отрезку, то, согласно свойству 2' (см.
6.7), существует определенный интеграл от этой функции по любому отрезку (а, х] С (а, Ь]. Такой интеграл называют определенным инопегралом с переменным верхним пределом. Согласно тому же свойству, существует интеграл по любому отрезку [х, Ь] С (а, 6], называемый определенным инопегралом с переменным пиленим пределом. Ясно, что определенный интеграл с переменным пределом обладает всеми свойствами, установленными выше для интеграла по фиксированному отрезку (а, 6], но является функцией этого переменного предела. Теорема 6.15. Если функция Дх) интегрируема на отрезке (а, Ь], то на этом отрезке непрерывна функция Р(х) = Дй) й.
а (6.47) хо+ах х бР=Р(х) -Р(х.) = ЩМ- Д~)Ю= а а хо хо+ах хо хо+ах уЯа+ уфа- у(г) а = у(~) й. хо ч Так как функция Дх) интегрируема на отрезке (а, 6], то она в силу теоремы 6.1 ограничена на нем, т.е. Щх)] ( М ох Е (а, 6]. Придадим произвольному хо б (а, 6] приращение Ьх, не выводящее точку хо+ Ьх за пределы отрезка (а, 6]. Тогда в силу аддитивности определенного интеграла приращение функции Р(х), соответствующее приращению Ьх, можно представить в виде 246 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учитывая замечание 6.4, находим оо+Ьо оо+Ьо О<!аХ]= У(1)й < ЩС)]й <М~Ьх]. Устремляя Ьх к нулю, получаем Пт Ьг' = О, что и доказыва. ао-оо ет непрерывность функции г'(х) в точке хо.
При совпадении точки хе с одним из концов отрезка (а, е] функция г'(х) будет непрерывна либо справа в точке а, либо слева в точке о (1-9.3]. Так как хо является произвольной точкой отрезка (а, 'е], то функция г'(х) непрерывна на этом отрезке. ~ Теорема 6.16. Если функция ~(х) непрерывна в точке хо 6 (а, е], то функция 7(х) (6.47) дифференцируема в этой точке, причем г (хо) = У(хо). (6.48) ~ Пусть хо — точка непрерывности функции Дх), я— произвольное положительное число. Тогда в силу определения непрерывности функции в точке (1-9.1] найдется такое Ю= = б(е) ) О, что при условии ~х — хе~ < Ю(х) будет выполнено неравенство Щх) — Дхо)] < х/2.
Так как | У(хо) й = ~(хо)(х — хо), ео то можно записать г (х) — г (хо) х — хо о оо х 1Яй- Щй- ~(хо)й О о оо Щ й У(хе) й (ДС) Пхе)) й оо оо оо 6.9. Определеппый ппееграе с переменным пределом 247 Отсюда, учитывая (6.43), находим $ — л*%) ~ ~ $~(ло — а*по е$ с ее < у ф1) — У(го)]Й~ < .-]х — хо] <г для всех х 6 [а, Ь], для которых ]* — го[ < б(г). Следовательно, в силу определения производной функции в точке [П] получаем Р (го) = ~ип = У(го) е->ее г — хО что доказывает утверждение теоремы.
> Следствие 6.4. Если функция Дх) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она на нем имеет пгрвообрагкую, причем одной из первообразных лвляетсл интеграл с переменным верхним пределом. 4 Согласно теореме 6.7, непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем. Поэтому утверждение следствия непосредственно вытекает из теоремы 6.16 и определения 1.1 первообраэной, поскольку хо в (6.48) является произвольной точкой отрезка [а, Ь]. 1е Таким образом, непрерывность функции на отрезке является достаточным условием существования на нем у этой функцни первообраэной, а значит, и иеоаргдгдгккого интеграла. На основании следствия 6.4 можно заключить, что для непрерывной на отрезке [п,Ь] функции ~(х) гаям =М И Г Их,/ а те.
на этом отрезке производная от интеграла с переменным верхним пределом равна оодыктигградькоб функции, вычисленной при значении верхнего предела. 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 248 хз а) РЙ; б) гйп~зй Й; в) агс$1ПФЙ. х2 а. Подыитегральная функция г'(х) = е* непрерывна иа всей числовой оси. Поэтому, используя следствие 6.4, получаем — ~ е Й=е' Чх ЕЕ. И ГР Ых,/ а б. На основании свойства 1' определенного интеграла (см. 8.Т) можио написать — у я1п Згй=- — / я!п 31Й=-я1п Зх Чхбй. г " г з г ~Ь их„/ в. Представим заданную функцию в виде сложной функции аргумента х: и(х) = хз, г(и) = агся~пГЙ, х, и Е [О, 1].
о Так как функция агсв!п$ непрерывна иа [0,1], функция г(и) дифференцируема на этом отрезке. Функция и(х) также является диффереицируемой, поэтому и сложиал функция г'(и(х)) диффереицируема иа отрезке [О, 1] [П] и Н И ~ Ни — г'(и(х)) = — г'(и) ~ пх йс ~а=а~ Нх Здесь х ~к[)~ =(~ /* ьи~) о з = агсапи~ = агсапх ! ххххх х=хх Пример 6.9.
Найдем иа отрезке [0,1] производиые от функций б.9. Ооредеаенмаш интеграл с яеремемимм пределам 249 и ои/Их = Зхз. В итоге находим 3 — ~ агся1п Ф й = Зх акя1п х, х Е [О, 1]. з з Их о Следствие 8.5. Пусть функция ~(х) непрерывна на отрезке [и, В]. Тогда (6.49) где г(х) — любая из первообраэных функции Дх) на этом отрезке. ~ В силу теоремы 1.1 и следствия 6.4 любую первообразную .г'(х) функции Дх) на отрезке [а, е] можно представить в виде г(х) =С+ /($)й. а При х = а получаем Г(а) = С и затем Г(х) = Г(а) + Д$) й.
а Полагая здесь, что х ае 6, приходим к (6.49). ь Разность в правой части равенства (6.49) изображают сим~ь волом г(х)1 и (6.49) записывают в виде а Равенство (6.49), как и в случае интеграла Ньютона, называют формулой Нъеоюпона — Лейбница. 250 б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Пример 8.10. Вычислим определенные интегралы з 1 а) е*<Ь; б) (х — сбпх) дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
