Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В Замечание 8.2. Из хода доказательства этой теоремы следует, что при уе Е х по аналогии с замечанием 8.1 Лв)=п 1Ы-|(ь Л,и))~*-//(*,вой*, т.е. для несобственного интеграла от непрерывной в прямоугольнике Р„фуикции, равиомерио сходящегося иа миожестве У, переход к пределу по параметру возможен под знаком интеграла. ф Приведем без доказательства утверждение об условиях диффереицируемости несобственного иитеграла по параметру. Утверждение 8.3.
Если функция 1(х, р) и ее частиая производная ~„'(х, у) непрерывны иа миожестве Р, (8.8) и иитеграл 1(у) (8.9) сходится, а интеграл 358 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА (8.21) | у(х)Нх= е *Нх= — — а о о сходится равномерно при у б У, то фу ( о ф нкция 1(у) непрерывно дифференцируема в промежутке У, причем +00 1(у) = ~,(х, у)Их. (8.20) в 8.9. Вычислим несобствеииыи интеграл Пример +ОО Г в~пах 0(а) = / — пх, абй, х о называемый инюпегралом Дирихле.
р . П и о=О имеем 0(а)= = О, а при а у1 О, согласно примеру 7.13, 0(а) сходится. 0 едствеино применить для вычисления 0(а) диф- Однако иепосредст а нельзя так как интеграл фереицироваиие по параметру а и вида (8.19) +оо | 1 (х а)их= / ~ — ~ <Ь= ~ совал х о о о ие только ие сходится равиомерно иа Е как это требует условие утверждения 8.3, а вообще р д асхо итси при любых значениях параметра а. Поэтому рассмотрим интеграл +ОО Г в1пах 1(а) = ~ — е сЬ,,О ) О, о который отличается от интеграла Дирихле так называемым лвмоисителем схо дилвосюви е де.
ясно, что если функцию ве(ах)/х при х= ' ( )/ и х = 0 доопределить значением а, то )е ~'~ш ) < "~' ч б в, ~00). х Так как интеграл г,в. Нв»»рврынвоо»в н лифферемцыруемос»ь ао паране»ру 3 359 сходится, то и силу признака Веберштрассв (см. теорему 8. ) 8.5) 1(а) и интеграв ~('— '" .-~) ю=~ -~ а о о равномерно сходятся на Е по параметру а при любом ~3, т.е. интеграл 1(а) удовлетворяет условиям теоремы 8.5 и утверждения 8.3. Поэтому, согласно (8.20), получим 1'(а) = е " совахох. о По»Гынтегрольноб функиии е я*совах вэтом интеграле соот- ветствует одна иэ пгрвообразных (см.
пример 1.14) Л -фсовах+ ав»пах Р(х) =е ~* а +р которая имеет конечный предел Р(+со) = О при х -+ +оо. Поэтому, испольэуя (7.7), находим + л -)Зсовах+ав1пах~+ > Д 1'(а) = Г(х) =е * . ~ = ~+„~~ ° — 1, - '* Отсюда, интегрируя по а и учитывая тебличныб интеграл 13 (см. 1.4), получаем неопргдгленныб интеграл Г фй» а !(а) = / = агой-+С. / а2+П2 Л При а=О и агс28(аф) =О, и в(8.21) 1(а) =О.
Поэтому С=О, и можно эаписать 1(а) = агс28- = 1 — е Рвох, 8 > О. (8.22) Д .1 х о 360 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Этот интеграл при фиксированном а равномерно сходится в промежутке [О, +оо) по параметру ~3. В самом деле, согласно теореме 6.24, для любого,8 > 0 имеем ь М Ь" | выл ах Ь„ЛЬ д гв1пах ь /вгпах — е х=е /— ,/ х х х Ь' Ь' с где с б [6', 6"] С [О, +со). Так как иитеграл Дирихле сходится, то в силу критерия у итсрил Коши сходимости несобственного интеграла (см. теорему 7.6) для произвольиого е > 0 найдется такое сь(е) > О, что при любых 6', 6о > гл(е) будет выполиеио нера- веиство Ь" — Их <-. ь~ Поскольку е е < Дь < 1 то из предыдущего равенства получаем Ьо х/2, а>0; О, а=О; -и/2, а<0.
1(6 Г гйпах и О(а) = / — ЬЬ=-вяпа= 2 о — е *их < -+ — =е, | в!пах д, е е х 2 2 Ь' что означает выполвеиие критерия Коши равиомериои сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра Итак, в (8.22), согласно замечанию 8.2, допустим переход к пределу при Д-+0+0 под зиаком иитеграла: р-+о+о ,б ,/ л-ьо+е х о Значение предела в левой части этого выражения зависит от знака а: х/2 при а > О и -х/2 при а < О. В итоге получаем а7.
Интегрирование иесобстаоииаи иитетралов ио параметру 361 В случае неограниченной функции можно доказать утверждения, аналогичные теореме 8.6 и утверждению 8.3. Утвермсдеиие 8.4. Если функция Дх,у) непрерывна на множестве ((х; у): х Е (а, Ь), у 6 У С $Ц (8.23) и при фиксированном у 6 У не ограничена при х -+ а+О, но интеграл в (8.18) сходится равномерно на множестве У, то функция .Цу) (8.18) непрерывна на этом множестве. Утверждение 8.8. Если функция Дх, у) и ее частная производная ~„'(х, у) непрерывны на множестве (8.23) и интеграл ,7(у) в (8.18) сходится, а интеграл | ©х у)нх о сходится равномерно на множестве У, то функция 1(у) не- прерывно дифференцируема на этом множестве, причем 8.7.Интегрирование несобственных интегралов по параметру Теорема8.7. Еслифункция Дх, у) непрерывнанамножестве ((х;у): х ) а, у Е [с, Щ и несобственный интеграл (8.9) 1(у) = Дх, у)их 362 .
ИИТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩ ИЕ ОТ ПАРАМЕТРА равиомерио схо сходится иа отрезке (с, ф то +ос а | Ну Дх, у)Их= <Ь Дх, у)Иу. а с (8.24) я ь | ь нх Дх, у)Йу= ау Дх, у)ььх= с а а с +ос а' +са — Иу / Дх, у)ььх- / ~(х, у)<Ь ь +со Ыу / Дх, у) Их — / Ну ~ Дх, у) х. 4х. (8.25) с Ь с а имости иесобствеи- 8.1 иомериои сходимост ~~~~~~~ определеиию ° Рав п извольиого е > иого ьььгтегр~~~ для про Ь(е) > а, что для любого у б,с, ил выполнено иеравеиство ~(х, у)~Ь (— ь 10с определенного интеграл а см.б.Т) Тогда с учетом свойства о находим ! I Иу / у(х, у)Нх ( Дх, у)с1х~йу( ь — „=е. с Ь с " тву 2' аддитивиости .3 п и Ь> а, своиству ~ Согласио теореме 8.
р , , тву и ося иесобствеииого иитеграяа у сходящегося песо а, запишем иосиьи гире ределеииого иииьеграла, з вхи нр „ ЗОЗ Следовательно, рассматривал послед " р е ний интеграл в правои части (8.25) как функпию нижнего предела Ь, получаем Ы +оо 1пп 1йу ~(х, у) «ьх = О. (8.26) ь~+,у л ь Переходя в (8.25) к пределу при Ь-ь+оо и учитывая ( . ), читывая (8.26), приходим к (8.24). 1ь Пример 8.10.
Найдем значение интеграла е-ж е ьх «1х, а, Ь > О, х о путем интегрирования под знаком интеграла. Согласно при- знаку Вепср«а«прасса (см. теорему 8.5), интеграл +««о | 1 е ««~ «ьх = —, у > О, у о сходится равномерно на множестве (уо, + ), уо +со) > О. Пусть < а и уо <Ь. Проинтегрируем полученное равенство по у от а до Ь, причем в силу теоремы 8.7 слева интегрирование можно провести под знаком интеграла. Тогда получим ь +ОО «1 с-Ул «1 «1х е-лх «1у «ьх а о о а о +00 ь Гйу Ь «1х= ~ — =1и-, у а о а В итоге имеем +оо ь' Ь «Ь = 1в —.
х а о 364 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА В.В. Эйлеровы интегралы Иктегрвлм В(а, 13) = х 1(1 — х)8 'ех н Г(а) = х 1е *ох, эавислщие от параметров а > 0 и 6 > О, называют эблероеыми инп1егролами первого и в|парово рода соответственно. Первый из них при а) 1 н 13) 1 является опредвлеккым иктегралом от непрерывной функции, при а б (О, 1) или,8 б (О, 1) — кесобствеккым иктегрвлом.
Исследуем его иа сходимость, записав в виде 1!г Так как х~ 1(1 — х)8 1 ° хв 1 при х -~ О+О и х 1(1 — х)8 1 (1 — х)8 ~ при х~1 — О, анесобственные интегралы | * -'Ь и (1- )8-'Ь, е с согласно примеру 7.10, сходятся прн а, ~3 б (О, 1), то в силу теоремы 7.4 сходятся оба несобственных интеграла в правой части последнего равенства. Следовательно, интеграл В(а, 13) сходится при а, 13 б (О, 1). Поскольку при а > ае > 0 и Д > >,Ое>0 1х--~(1 х)8-~1~:с-1(1 х)ФО-~ Ьб(0, 1), а интеграл от махсорирующеб фрикции сходится, то, согласно утверждению 8.2, интеграл В(а,,д) сходится равномерно при а>ав >0 и 13>Де>0. 8.8.
Эйаеровм явтегрвам Таким образом, интеграл В(а,,8) определяет функцию, непрерывную по параметру а и по параметру,б (в силу утверждения 8.4) при а > 0 н,б > О. Эту функцию называют берви-фующмеб. Интеграл Г(а) при а > 1 является несобственным интегралом от непрерывной функции по бесконечному промежутку. Поскольку функция ех является бесконечно большой более высокого порядка, чем степеннал с любым положительным показателем л, то, начинал с некоторого значения хе > О, 1 х е < —.
а-1 хз Так как интеграл от мажорнрующей функции 1/хз по промежутку [хе, +оо) сходится, то несобственный интеграл от функции х ~е е по промежутку [хе, +оо) равномерно сходится на множестве а > 1. Следовательно, и интеграл Г, взятый по промежутку [О, +со), сходится равномерно на множестве а>1. Рассмотрим поведение интеграла Г(а) при 0 < а < 1, представив его в виде хе ~е *~Ь+ х ~е ~4х.
(8.27) Первый интеграл в правой части (8.27) в силу утверждения 8.2 равномерно сходится при а > ае > О, поскольку х" ~е * < < хе' ~ при х Е (О, 1], а интеграл от мажорнрующей фупкцин х ~ ', согласно примеру 7.10, сходится при .ае > О. Рассмотрим второй интеграл в правой части (8.27). Поскольку при а>ае х +~'/ез < 1 Ух ов [1, +оо) [1Ц, то сира ведлпво неравенство хе е х< — УхЕ[1,+оо), 366 в. интеГРАлы, зАВисЯЩие От пАРАметРА т.е.
функция 1/х1+»' является для функции х 1е» мажорирующей при х 6 [1, +оо]. Так как интеграл от функции 1/х»»+1 по бесконечному промежутку прн ае > О сходится (см. пример 7.3), то второй интеграл в правой части (8.27), согласно признаку Веиерииврасса, сходится равномерно относительно параметра а при а > ае. Следовательно, интеграл Г(а) определяет функцию параметра а, непрерывную (в силу утверждения 8.4) при а > О. Эту функцию называют гамме-6Ууккцке4.
Если принять а = 1+ в, в > О, то интегрированием по честям получаем рекуррентное соотношение Г(в+1)= х е йх=-х'е *~ +з х' 1е ~йх=вГ(з). !е Таким образом, если в> п, п6Х, то Г(в) = (в — 1)(в — 2)... (з — н)Г(в — и). (8.28) При любом в>1 можно выбрать и таким, чтобы 0<в — к= = а ( 1, и тогда Г(в) при помощи (8.28) можно выразить через значения Г(а) при аб(0, Ц. Так как Г(1) = 1, то из (8.28) следует (с учетом того, что 0) =1) (8.29) т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
