Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Следовательно, Рис. 9.11 и поэтому с учетом результатов примера 6.15 | / 1 ° Зх Зх сов хЫх=2~ сов хЫх=2 — — = —. ф 2 ° 42 8 Пусть плоская фигура ограничена отрезками прямых х = в и х = 5, которые, в частности, могут вырождаться в точки, и интегрируемыми на отрезке !а, 5] функциями /1(х) и /лз(х), причем О ( Л(х) ( ~1(х) при х Е !а, 9].
Тогда площадь такой фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций айВА и аЬВС (рис. 9.12) и может быть найдена по формуле Я=|(Л( ) — Я~))и . (9.20) Рвс. 9.13 390 9. ПРИЛОЖЕНИИ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Рассмотрим плоскую фигуру, огравичеввую отрезками прямых х = а, х = 6 и графиками интегрируемых ва отрезке [а,6] функций ~1(х), Ях), причем Л(х) ( ~з(х) 'Фх б [а, 6] и эти функции на этом отрезке могут коиечное число раз менять знак (рис. 9.13). В силу теоремы 6.1 интегрируемые на отрезке функции ограничены иа ием. Поэтому найдется такое число М > О, что Рне. 9.13 у1 (х) = у1 (х) + М > 0 и уз(х) = /з(х) + М ~> 0 Чх б [а1 6]. Тогда заштрихованные иа рис.
9.13 площади Я и У будут рав- вы и, используя (9.20), для площади рассматриваемой плоской фигуры получаем Я= Я' = ~ (уз)*) -д1)*))и*= ~Уг) ) -~1)*)) ш*. )921) Пример 9.6. Вычислим площадь Я, ограниченную эллипсом Г, заданным в прямоугольной декор)новой системе координаш Оху каноническим уравнением (х/а)з+ (у/6)з = =1 (рис. 9.14).
В силу симметрии эллипса и аддитивности Иначе говоря, для нахождения площади плоской фигуры, огра иичеивой на отрезке [а,6] сверху и снизу графиками функций Ях) и /1(х) соответствепво, вужвовычислитьопределеипый интеграл по данному отрезку от разности ~~(х) — ~1(х) этих функций. Площадь плоских фигур более сложной формы ва основании адди)нивности площади можно представить алгебраической суммой вычисляемых при помощи (9.19) площадей криволииейпых трапеций.
391 9.3. Плоюцвяь илоской фигуры площади достаточно выч и- слить площадь Я/4 фигуры, расположенной в первом квадранте координатной плоскости. Эта фигура — криволинейная тра пеция, имеющал основанием отрезок 10, а] и огра ниченная графиком непрерывной функции Дх) = = В~/1- ~~», и у м*~ из уравнения эллипса, если разрешить его относительно р. Используя (9.19) и замену переменного х = а Рис. Э.14 сов1 (Нх = — автгй), находим О о — =~ Ь|~1 — — йх= — аЬ~ виР1й=- — (1 — -в1п21~ =-иаЬ. 4 ,/ Ч аг ,/ 2 ~ 2 ! /г 4 уг Отсюда Я =яаЬ. Пример 9.8. Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями уг = х+ 1 и х — 9= 1 (рис.
9.15). Решая систему указанных уравнений, находим точки М1(0;-1) и Мг(3;2) пересечения этих линий. На 1 Мг рис. 9.15 видно, что нижняя граница фигуры на разных 1 частях отрезка (-1,3] задана двумя различными функциями. Поэтому искомую пло- -1 п1адь представим суммой плоп1адей 51 параболического М~ сегмента наотрезке [-1,0] и Рис. Э.16 392 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Яз на отрезке [0,3].
Параболический сегмент, ограниченный дугой параболы уз=х+1 и отрезком (-1,1] оси Оу, симметричен относительно оси Ох, и поэтому о о 51 — -2 ~/х+1дх=2 (х+1)'/~Н(х+1) = — (х+1) / ~ -1 -1 Используя (9.20), получаем 2 9 2 14 3 = -8 — — +3 — — — — —— 3 2 3 3 2 В итоге искомал площадь Я = Я1 + оз = 4/3+ 14/3 — 3/2 = = 6 — 3/2 = 9/2. Площадь этой фигуры можно найти проще, если принять у за независимое переменное, а х за функцию х(у). Тогда на всем отрезке (-1,2] изменения у верхней границей фигуры будет прямая х = у+ 1, а нижней границей — парабола х = = уз — 1.
Снова применяя (9.20), находим 3 у = / Яу у ц — ~у — !у уу = (уу + — — — ) ~ 8 1 ( — 1) 9 2 3 2 =4+2 — — — ( — 2) — -+ — = — 4~ Пусть непрерывная плоскал кривая Г задана уравнением р = р(уР) у уР 6 1узу,б]у в полярных координатах (рис. 9.16).
Назовем кркволимебкььм сектором плоскую фигуру, ограниченную этой кривой и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы уэ и )3. Вычислим площадь криволинейного сектора. Квадрируемость криволинейного сектора Р и значение 393 9.3. Пющаль аюской фигурм его площади установим, построив подходящие последовательности квадрируемых фигур Я„) и (В„), содержащихся в Р и содержащих Р. Рис. 9.16 Для произвольного разбиения Т = ('Ро = о~ уь, ° "~ уз-~~ ун " ~ ув-~~ Р = Й отрезка [а,,б] на каждом частичном отрезке [<р; ~, у;], 1= = 1,в, построим круговые секторы, радиусы которых равны наименьшему г, и наибольшему В; значениям непрерывной функции р(у) на отрезке [у< ~, у;].
Площадь каждого из этих секторов равна соответственно г9Ьу;/2 и ВэЬу</2, где Ьу; = <р; — <р; ~. Эти секторы составляют две плоские фигуры, первая включена целиком в криволинейный сектор, а вторая целиком накрывает его. Эти фигуры имеют площади соответственно (9.22) (на рис. 9.16 первая из названных плоских фигур заштрихована). 394 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА (9.23) Поэтому криволинейный сектор квадрируем, а (9.23) определя- ет его площадь. Пример 9.Т. Найдем площадь витка архиляедовоб спирали, заданного уравнением р= а[о ()рб [О, 2я]) в полярных координатах (на рис.
9.17 искомзл площадь заштрихована). В соответствии с (9.23) Я=-~ (а)р) И[р= — )р ~ =-к а. 11 з а~ з)з" 4зг 2 / 6 )о 3 о Рве в 1т Виток целиком включен в круг радиуса 2яа и площадью 4язаз, в 3 раза большей площади витка (этот результат был известен еще Архимеду). ф Если ограничивающая криволинейный сектор плоская кривая Г задана параметрически в виде х = х(1), у = у(1), 1 б [а, Ь], причем функции х(1) и у($) непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, Ь], то вместо (9.23) можно написать Я=-~)хф)рф — х)~)р)~))Ф.
а (9.24) Непрерывная на отрезке [а,,б] функция у()р) = рз()р)~2 интегрируема на нем по Риману. Поэтому нижняя и верхняя суммы Дарбу для этой функции, совпадающие с выражениями (9.22), на всевозможных разбиениях отрезка [а,,б] достигают в силу критерия Дарбу равных между собой точных верхней Я' и нижней Я, граней соответственно, причем 395 9.3.
Пео»»»аль а»оско»1 фигуры В самом деле, полярны»1 угол равен: »р(») = агсф(у(1)/х($))+ + С, где С принимает значения О, и или -и. Поэтому с учетом равенства р~(») =х~(»)+уз(») получаем х(Ф)у'(1) — х'(1)у(») х(»)у'(1)-х'(1)у(1) (1+(у(»)/х(1)) )хэ(») Р (») Подстановка этого выражения в (9.23) приводит к (9.24). Отметим, что (9.24) можно испольэовать для вычисления площади, ограниченной замкнутым кон»нуром Г, если параметр 1 изменяется монотонно.
Пример 9.8. Для вычислении площади Я, ограниченной эллипсом, вместо канонического уравнения эллипса используем, в отличие от примера 9.5, параметрическое представление х(») =асов», у(С) =Ьв»пг, Й Е [О, 2к) (параметр $ соответствует углу, показанному на рис. 9.14). Тогда, используя (9.24), находим 1 /' аЬ Г Я = - ~ (а соей Ьсовг — (-а вт 1)Ьвт е)»»» = — ~ й = хаЬ.
2» 2,/ При а = Ь получаем площадь ка~ круга радиуса а. При помощи последнего интеграла нетрудно установить, что площадь заштрихованного на рис. 9.14 криволинейного сектора ОАМ, ограниченного дугой эллипса, будет Я» — — аЬ1/2= (а/Ь)Б», где Я»'=Ьь$/2— площадь кругового сектора ОА'М'. Пример 9.9. Вычислим площадь криволинейного сектора ОАМ, ограниченного дугой равнобочной гиперболы с канонически»» уравнением хэ — у~ = 1 (рис. 9.18).
Точка А(1;0) является верн»иной правой ветви Г гиперболы, аточ- Рке. ВАВ 396 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ка М(х;у) лежит па этой ветви в первом квадранте координатной плоскости (х ) 1, у > 1). Разрешая уравнение относительно у, получаем непрерывную функцию у=/(х) =~х-1, грв фик которой ограничивает криволинейный сектор дугой АМ. Используя (9.19) и интегрирование по частям, вычисляем сначала площадь криволинейной трапеции АВМ: Отсюда с учетом табличного иитеграла 16 и выражения для ордипаты р точки М получаем х ~ — — 1 г — ху 1 ЯАпм = — ~/х~ — 1 — -1в (х+ ~/х~ — 1) = — — -)п(х+ 9). 2 2 2 2 1 о =ЮОВм-ВАВЫ=-1в(х+У).
2 (9.25) Вычислим эту же площадь исходя из представления рассмв триваемой ветви Г гиперболы в виде х($) =сп$, у($) =вЫ, $ б (О, +ос). Ясно, что точке А в вершине гиперболы отвечает зиачепие параметра Ф = О, а текущей точке М(х; у) будет соответство- вать его зиачеиие, определяемое при помощи равеиств (9.26) х=св1, у=вИ. Так как первое слагаемое в правой части этого равенства равно площади Яоеы треугольника ОВМ, то, согласно аддитив- ности площади, искомая площадь з' криволинейного сектора ОАМ равна 397 9.3. Плошадь плоской фигуры Используя (9.24) и учитывал равенство сЬ~г — яЬзг = 1, нахо- дим 1 Г 1 Г г Я = — / (сЬг сЬ г- еЬ т еЬт) г!т = — / Иг = —. (9.27) 2,/ 2,/ 2 Сравнивая с учетом (9.26) выражения для площади Я в (9.25) и (9.27), можно убедиться в их тождественности: 1 1 1 Я=-!п(х+у) = -!п(сЬг+еЬг) = -!пе'=-.
(9.28) 2 2 2 2 Замечание 9.1. Геометрический смысл параметра $ как аргумента гиперболических функций (9.26) отвечает удвоенной площади криволинейного сектора, ограниченного дугой равнобочной гиперболы. Это послужило поводом для выбора названия этих функций. Для сравнения аргумент тригонометрических функций можно трактовать как удвоенную площадь соответствующего сектора круга единичного радиуса (в связи с этим тригонометрические функции иногда называют круговыми).
Подставляя в равенство г = !п(х+ у), вытекающее из (9.28), у= ~Гх2 — 1 (х = ~/уз+1), получаем г = !и (х+ ~/хз — 1) = АгсЬх (! = (и (у+ ~/уз+ 1) = АгяЬ|). Функции АгсЬх и АгяЬ9 называют соответственно оревяосияусом и вревсия1гсола (иногда к этим названиям добавляют слово „гиперболическвй"). Приставка „ареа" происходит от латинского агеа — площадь. Области определения и значений ареасинуса соответствуют всей числовой прямой И.
Ареакосинус определен лишь при х > 1. В силу четности функции сЬ| ареакосинус при фиксированном значении х > 1 наряду с положительным значением, отвечающим удвоенной площади 398 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА сектора ОАМ, принимает равное по абсолютной величине отрицательное значение, отвечающее удвоенной площади сектора ОАМ' (см. рис. 9.18).
Поэтому ареасинус и ареакосинус связаны между собой равенством Агейла = (вин х) Агсй |/вз+ 1 = !и (в+ ~/вз+ 1) Чг Е й. (929) Они принадлежат к обратвяььи еялерболячесяим фуяягВяллв, включающим также ареотиояееяс Агйх и ореаяотпаяееяс Агсй в, которые определяются соотношениями Агйв= Агсй — = -)и —, г (1; (9.30) 1+в з в 2 1 — х' 1 1 в+1 Агсйг= Агй — = -!и —, х~ ) 1. (9.31) 2 в — 1' Через обратные гиперболические функции можно выразить табличный интеграл 16. 1)! Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически в виде х = х(г), у = у(г), Ф Е !сг,~У], причем функция х(г) непрерывно дифференцируема на отрезке (гг,,д], то для вычисления площади этой криволинейной трапеции можно использовать (9.19).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
