Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Площадь поверхности в. Найдем площадь поверхности вращения кардиоидм р(у) = = а(1+ сову) вокруг поллриоб оси Ор (рис. 9.32). Дифференциал длины дуги кардиоиды У = 2а сов — йр. 2 Рис. 9.32 Поскольку кардиоида симметрична относительно оси Ор, ее верхняя и нижняя части при вращении вокруг зтой оси образуют одну и ту же поверхность. Верхней части кардиоиды соответствует изменение параметра 1 на отрезке (О, к). Тогда, используя (9.51), получаем Я = 2к а(1+ сощ) е1п р ° 2а сов — йр = ~Р 2 о 4у .
<р 32 з луГ' 32 =2ка ° 8 сое4 — егп — фр= — — ка сое -~ = — ка . 2 2 5 2!е 5 о г. Вращение вокруг оси Ох гпракогрисы, заданной уравнениями х(Ф) = а1п С8-+ асеева, у(1) = аяп Ф, 1 Е (О, к), 2 образует поверхность, называемую псевдосферог1.
Эта поверхность не ограничена, поскольку х -+ -оо при Ф -+ 0 + 0 и х-++оо при 1-+ к — О. Выясним, конечна ли площадь псевдосферы. Трактриса симметрична относительно оси Оу (рис. 9.33), причем зта ось является касагпельноб к ветвям кривой в точке (О;а), соответствующей значению параметра 1 = к/2. Вычислим сначала площадь ограниченной поверхности вращения при 416 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Рис. 9.33 условии О < т < 1 < я/'2, используя (9.48): т/2 Я" (т) = 2л асйп1 т ю/2 м/г соя 1 4 =2гга ~ япФ вЂ”.+совЯФй=2ка ~ соейа1=2ка (1-в1пт). 2 2 я1п~г Так как Я'(т) -~ 2кая при т -~ +О, площадь псевдосферы конечна и равна 4яа~, т.е. совпадает с площадью сферы радиуса а. ф Перейдем теперь к способу вычисления площади цилиндрической поверхности. Пусть опять гладкая плоская кривая Г лежит в координагпноб плоскосгпи хОу прямоугольной системы координат Охуя и задана в виде (9.43).
Примем ее за направляющую цилиндрической поверхносгпи с образующими, параллельными оси Оя (рис. 9.34). По зтой поверхности проведем гладкую кривую Г1, пересекающую каждую образующую лишь в одной точке. Чтобы задать зту кривую, к (9.43) достаточно добавить еще третье уравнение я = л($), где л(1)— неотрицательная и непрерывно дифференцируемая при Ф Е (а, Ь1 функция.
Рассмотрим часть цилиндрической поверхности, ограниченной кривыми АВ, С,0 и образующими АС, ВВ (см. рис. 9.34). Введем для кривой Г натуральный параметр в, отсчитываемый от точки А. Тогда кривая Г1 может быть описана 417 9.5. Площадь поверхности Рве 9.34 параметрическими уравнениями х =((з), у = О(з), г=Цз), з Е (О,зг], где зг — длинадуги АВ, афункции Яз), п(з) и ~(з) непрерывно дифференцируемы на отрезке [О, зг~. Вписав в дугу АВ ломаную АА~...А, ~А;...А„~А„(А„= В), а в дугу СВ— соответствующую ломаную СС~...С~ ~Сз" Са-~Си (С» = 11) из трапеций А; ~А;С;С; ~ с высотами 1;= ~А; ~А;~ составим призматическую поверхность, вписанную в рассматриваемую часть цилиндрической поверхности. За площадь Яа цилиндрической поверхности принимают предел площади призматической поверхности, вписанной в эту поверхность, в Ял=,~ !а~ г;=Дзе) =~А;Сз~~ 1=1,п, аю! при Ь-+ О, где Ь вЂ” максимальная из длин Ьз< дуг А; ~А;.
Повторяя рассуждения, проведенные ранее для поверхности вращения, придем к вычислению предела при Ь -+ О выражения Я„=- ) Цз; ~)Ьз; ~+-~~ Цз;)Ьз;, 1 1 ' зю1 аы1 418 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА которое состоит из интегральных сумм функции ~(в) на отрезке [О,вг]. В силу непрерывности Цв) на [О,вг] существует интеграл от этой функции по данному отрезку, а значит, существуют равные между собой и равные этому интегралу пределы каждой из указанных интегральных сумм при ,О -+О т.е. Э в 1 -' В ~~о; )ьВ~.- Вт 1.((~~А~;=~д~)ю.
2 й-+о~-~ ' ' 2 а-+о . вю1 1ж1 о Таким образом, рассматриваемая цилиндрическая поверхность имеет площадь Яц — — Цв) Ыз. о (9.52) Возвращаясь к параметру Ь, получаем Ь Ь Я„= г(Ф) сЬ(1) = л(Ь) й. (9.53) Если кривая Г задана уравнением у = 1(х), х Е [а,5], то вместо (9.53) будем иметь Пример 9.18. Вычислим площадь участка цилиндрическои поверхности с направляющей хам+уз = Вх и образующей, параллельной оси Оз, который ограничен сферой радиуса В с центром в начале координат. Цилиндрическая поверхность пересекает сферу по кривой Вивиани, задаваемои уравнениями х(1) = Кв1п Ь, у(Ф) = Вв1пйсовЬ, л(Ь) = Всовй, С Е [О, 2и), 419 аб.
Вмчнсеенне масс н моментов ннерцнн Рнс. 9.3$ напоминающей изогнутую восьмерку и имеющей кратную тиочку (В;0;О) (рис. 9.35), соответствующую значениям параметра $ = я/2 и 2 = Зя/2. В силу симметрии кривой относительно плоскостей хОу и у02 в первом октанте расположена четвертая часть (по площади) рассматриваемого участка цилиндрической поверхности, причем $ Е (О, яГ2] и аппликата точек кривой Вивиани неотрицательна. Используя (9.53), получаем е/2 Я Г вЂ” = ( Всовг 4,/ о е/2 еуг = Вг совг в1п 2Ф+сов221й = Вг совгй = Вг.
Отсюда искомая площадь участка поверхности Я = 4Вг. 9.В. Вычисление масс и моментов инерции Для любого объекта его масса является характеристикой, обладающей свойством аддиогивностпи. Масса системы дискретных материальных точек равна сумме масс всех точек 420 9. НРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА х=х($), у=у(г), «=«(1), $б [а,Ь], а интегрируемая на отрезке [а, Ь) функция р,(Ф) линейной плотности описывает распределение массы по длине этой кри- вой, причем р,($) = йгп — = 1пп Ьт . Ьт($) аа-+о Ьв ас-+о Ьв(г) (9.55) где Ьт — масса участка дуги кривой длиной Гъз, соответствующего изменению параметра Ф на отрезке [Ф, Ф+Ь1) С [а, Ь|.
Согласно (9.55) и теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции [1-7.5), Я=РЯЬ Я+7(М~ Я где 7(Ы) — функция, бесконечно малая при Ы -+ О. Тогда с учетом инвариантности формы записи дифференциала, определения дифференцируемой функции и выражения (9.4) для системы. Для объекта с непрерывным распределением массы задают зависимость плотности р(М) от положения текущей точки М в области, занимаемой этим объектом.
Ясно, что при постоянном значении плотности р тела его масса т равна произведению этой плотности и его объема У, т.е. т = рУ. Аналогично масса плоской фигуры с площадью Я и постоянным значением поверхностной плотности рл равна рлЯ, а масса линии с длиной з и постоянным значением линейной плотности р„ — р,в. Но при неоднородном распределении массы, характеризуемом функцией р(М) положения точки М, для вычисления массы любого объекта необходимо применять интегральное исчисление. Использование определенного интеграла позволяет решить эту задачу в ряде простых случаев. Пусть гладкая пространственная кривая Г задана в прямоугольной системе координат Оху«уравнениями 421 9.б. Вычиелеиие иеее и иоиемтов ммерции дифференциала длины дуги пространственной кривой запишем ат(1) = р,(е) ав(1) = р,(е) а масса всей дуги будет равна Ь 6 т = йи(Ф) = р,(е) Й.
(9.56) Отметим, что подынтегральная функция в (9.56) интегрируема на отрезке [а,6], согласно теореме 6.11, как произведение функций, интегрируемых на этом отрезке. В частном случае масса гладкой плоской кривой, заданной дифференцируемой на отрезке [а,6] функцией у = Дх) и имеющей линейную плотность р,(х), равна Если интегрируемые на отрезке [а, 6] функции р(х) и Я(х) задают зависимость от х б [а, 6] плотности тела и площади его поперечного сечения, перпендикулярного координатной оси Ох, то масса соответствующего отрезку [х, х+ Ьх] участка этого тела приближенно равна Ьт в р(х)Я(х) Ьх, а масса всего тела т = р(х)Я(х) йх. е (9.57) Для частных случаев тела, образованного вращением вокруг оси Ох или Оу криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок [а, 6], а ) О, и ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на [а, 6] функции ~(х), его масса по 422 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА аналогни с (9.34) и (9.36) равна соответственно оь~ = х р(х)~~(х) йх, тэ — — 2х р(х)хДх) Нх. (9.58) Пусть интегрируемая на отрезке [а, 6] функция ря(х) задает зависимость от х Е [а, 6] поверхностной плотности плоской фигуры в виде криволимевное трапеции, имеющей основа нием этот отрезок н ограниченной графиком неотрицательной функции Дх) >0 Чх Е [а, 6]. Тогда массаучастка криволинейной трапеции с основанием [х, х+ Ьх] Ьт т р8(х) ЙБ = рч(х) Ях) Ьх, а масса всей фигуры тв = рл(х)~(х)Ых.
а (9.59) Если такая же функция рл(х) описывает распределение массы по поверхности, образованной вращением вокруг координатной оси Ох нли Оу гладкой плоской кривой, заданной дифференцируемой на отрезке [а, 6] функцией р = ~(х), то по аналогии с (9.49) н (9.50) можно написать соответственно (9.60) т,=2~/рыЫ*ф+(~(*)) и, >О. (96ц а Все рассмотренные случаи вычисления массы различных объектов можно обобщить в рамках общей схемы применения определенного интеграла (см. 9.1). Если при изменении некото- 9.6. Вычисление месс и иоыевтов ииериии 423 рого параметра 1 Е (а, Ь) функция р(1) задает распределение массы (линейное, поверхностное или объемное, т.е.
плотность), то массу любого объекта,, соответствующую отрезку (а, Ь|, можно выразить в виде Ь Ь кь = Икь(1) = р(1) йт(1), (9.62) в ,1~ = ~~Ь т;г~. (9.63) Совместим ось вращения с коордикаткой осью Оз прямоугольной декартовой системы координат Окуз. Тогда для каждой материальной точки с координатами х;, 1Л, г; квадрат ее расстояния до оси вращения будет г~з = х7+ у7, и вместо (9.63) получаем 7ое = Уь,о~+А о* 1ь,ое = ~Ркь1х;, Я*о. =~~т У; (9.64) 1и1 где На(1) — дифференциал геометрической характеристики объекта: длины дуги, площади плоской фигуры, цилиндрической поверхности или поверхности вращения, объема тела, а Ит(1) — дифференциал массы объекта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
