Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Отметим, что в (9.57)-(9.61) в роли параметра 1 выступает абсцисса х. Масса любого объекта характеризует свойство инерции при его поступательном движении. При вращении материальной точки массой т вокруг некоторой прямой 1 инерционные свойства этой точки количественно выражает момектп ккерции 4 = тгз оеиносиепеяьно осе 1, где г — расстояние от точки до прямой 1. Момент инерции системы в материальных точек (каждзл массой кь1, 1 = 1,и) относительно любой оси вращения 1 обладает свойством аддитивности, т.е. является суммой моментов инерции всех точек системы относительно той жеоси 1: 424 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА т.е. момент инерции системы относительно оси Оз равен сумме моменяьое инерции,7„о, и,7„о, оюпносипзсльно каждой координатной плосяосяьи (уОз и хОх), содержащей эту ось. Вычисление моментов инерции объектов с непрерывным распределением массы требует применения интегрального исчисления. Если известна зависимость от некоторого параметра Ф б [а, Ь] дифференциала Йп(Ф) массы объекта и расстояния г($) до оси вращения его произвольного участка, соответствующего приращению Ь$, то в силу общей схемы применения интеграла (см. 9.1) можно написать Ь У г2(1) (Йп(Ь) (9.65) Так, для заданной в виде (9.1) гладкой пространственной кривой Г, распределение массы по длине которой описывает функция р,(1) ($ б [а, е]), момент инерции относительно оси вращения Оз, согласно (9.56) и (9.65), равен Ь Уо = р.(Ь) (х~(Ф)+у~(Ф)) й.
(9.66) У„о, = р(х) Я(х) х~Ых. а (9.67) Отсюда несложно получить формулы для моментов инерции этой кривой относительно координатных плоскостей, а также перейти к частному случаю плоской кривой. В роли параметра в (9.65) может выступать одна из координат (например, х). Для тела с задаваемыми при помощи функций р(х) и Я(х) зависимостями от х б [а, е] плотности тела и площади его поперечного сечения, перпендикулярного координатной оси Ох, имеем йп(х) = р(х)о(х)Их и момент инерции относительно координатной плоскости уОз 9.б.
Вм писаеиие масс и момеитои инерции 425 7,О = ХО, = Рл(х) Ц(х) [х Йх. и (9.68) Чтобы найти момент инерции .7о„этой трапеции относительно координатной оси Ох, совпадающий с моментом инерции относительно плоскости хОх, предварительно вычислим момент инерции Ыо„(х) относительно этой оси прямоугольной полоски, имеющей высоту [Дх)[ и основанием отрезок [х, х+Ьх].
Так как масса прямоугольного участка этой полоски высотой Ьу>0, удаленного на расстояние у от оси Ох, ран~а рл(х)Лхасу, а момент инерции этого участка приближенно равен рл(х)92ЬхЬу, то !У( )! г ы „(х) = и „(, ) = р ( )~х 92иу =-р ( ) [~( )[зь . 3 о Тогда в силу аддитивности момента инерции получаем 7ое — — Й1о„(х) = — Ря(х) Щх)[ ~х. (9.69) В итоге момент инерции плоской фигуры относительно оси Ох равен если функция рл(х), х 6 [а, е], задает поверхностную плотность криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок [а, Ь] и ограниченной графиком функции ~(х), то моменты инерции этой трапеции относительно координатной плоскости у02 и координатной оси Оу совпадают и равны 426 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Пример 9.19. Рассмотрим прямой круговой конус высотой Н, основанием которого является круг радиуса В.
При заданной постоянной плотности р запишем приближенное выражение для массы  — г гв([г, г+ Ьф ж р — Н ° 2ягйг (9.71) цилиндрического слоя с внутренним радиусом г, толщиной Ьг и высотой Н(В- г)/В (рис. 9.36). Тогда, учитывал (9.65), для массы конуса и его момента инерции Н относительно оси Ох получаем 8(х) и т=2хр — ~ ( — г)гйг=рх —, НГ В/ 3' Ьг о и О и г,7 — 2хр ~ (В г)г г~г — РяВ4 — 3 Ряс. 9.99 ВУ 10' о Чтобы вычислить момент инерции конуса относительно его основания, предварительно запишем выражение для площади Я(х) = х( В) (9.72) параллельного основанию конуса сечения, расположенного на расстоянии х от его основания (см. рис.
9.36). Затем, согласно (9.67), найдем Н Н 1 О = рБ(х)х Их=яр — г (Н вЂ” х) х ггх=ря —. 2 В 222Н У Н21 30 Несложно проверить, что подстановка (9.72) в (9.57) приведет к уже полученному выше соотношению для массы конуса. 4~ Моменты америки при значении функции плотности, тождественно равной единице, называют ееомеггзрвческимв. Оии характеризуют, в частности, сопротивление изгибу упру- гих конструкций. 9.7. Статические момеиты и координаты центра масс 427 9.7. Статические моменты и координаты центра масс Пусть в прямоугольной системе координат Окуз с ортонормироеанным базисом (а, у, й) положение каждой материальной точки (хп; уп; хп) массой и!п задано при помощи радиус-вектора е;,. Линейную комбинацию еектпорое !!! и!пгп (9.73) пм! назовем вектором сяаанзичесяоео моменяаа системы У ма териальных точек относительно начала координат..Ценя!ром масс зтой системы называют такую точку С, относительно которой вектор статического момента системы равен нулевому вектору О, т.е.
!!! ~т~п(гп гс) = О~ пи! где гс — радиус-вектор центра масс. Отсюда, учитывая (9.73), !'С = ~ О!пГп = вп! о! = ) и!п1 (9.74) вм! К, К„ К, ХС ес — ус сс — хс =— (9.75) т щ' и! ' выраженные через статические моменты системы К, = ~~~ о! хп (9.76) !!! Ке = ~~~ и!пхп> Ф К„=~!, пуп, ви! пп! пи! относительно плоскостей уОх, яОх и хОу соответственно.
где и! — масса всей системы. С учетом разлохсения радиус-вектора гп ес хай+ увы +хпм в базисе а, у и Й вместо (9.74) получаем координаты центра масс 428 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление статических моментов, а по ним и координат центра масс объектов с непрерывным распределением массы связано с использованием интегрального исчисления. Если известна зависимость от некоторого параметра Ь б (а, о] дифференциала Йк($) массы объекта и расстояний до координатных плоскостей его произвольного участка, соответствующего приращению Ы, то, согласпо общей схеме применения интеграла ( . 9.1), ь Ь ь Ь К, = х(Ь) Йп Я, К„= у(Ф) Йп(Ь), К, = г(Ь) Йзъ(Ф).
(9.77) О О в К. = *(Ь) р.( ) а Й. (9.78) Аналогична запись статических моментов К„и К, для этои кривой. Отсюда иетрудио получить формулы для статических моментов К и К„гладкой плоской кривой, лежащеи в плоскости хОу. Параметром в (9.77) может быть одна из координат (например, абсцисса г).
Для плоской фигуры, лежащей в плоскости хОу, К, и К„обычно называют статическими моментами Из (9.77) следует, что для объекта с симметричным относительно какой-либо координатной плоскости распределением массы статический момент относительно этой плоскости равен нулю, т.е., согласно (9.75), центр масс объекта лежит в этой плоскости. Обратно, равен нулю статический момент относительно любой плоскости, проходящей через центр масс объекта. Пусть для заданиой в виде (9.1) гладкой просиьраксшвекной кривой Г распределение массы по длине описывает импьегрируеиая на отрезке (а, В] функция р,(Ь). Статический момент этой кривой относительно плоскости уОя, согласно (9.56) и (9.77), будет равен 9.7.
Статические момеиты и координаты цеитра масс 429 относительно осей Оу и Ох соответственно. Если интегрнруемая наотрезке (а, 6] функция ря(х) задает зависимость от х б [а, 6] поверхностной плотности криволинейной тра)ьеции, имеющей основанием этот отрезок и ограниченной графиком неотрицательной функции Дх) > 0 Чх б (а, 6], то с учетом (9.59) и (9.77) получаем Ке = хр.е(х) Дх) Нх.
а (9.79) Чтобы найти статический момент К„этой криволинейной трапеции относительно оси Ох, предварительно рассмотрим прямоугольную полоску, имеющую основанием отрезок (х, х+Ьх] и высоту Дх). Так как масса прямоугольного участка этой полоски высотой Ьу > О, отстоящего от оси Ох на расстоянии 9, равна ря(х)ЬхЬу, а статический момент этого участка приближенно равен ря(х)уЬхЬу, то 1(е) ЬК„(х) а йКк(х) = ря(х)йх уеду = -ря(х)~~(х)Ьх. 2 о Тогда в силу аддитивности статического момента находим ь ь К„= еК„(х) = — ря(х)~~(х) пх.
2,/ (9.80) К,=2 ~*ря)~))Д~))ф+(~~()) И*, )981) и Пусть такая же функция ре(х) описывает распределение массы по поверхности, образованной вращением вокруг координатной оси Ох гладкой плоской кривой, заданной дифференцируемой на отрезке (а) 6] функцией 9 = Дх). Тогда в силу (9.60) и (9.77) получаем 430 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА а Кл — — 0 (в силу симметрии поверхности вращения относительно оси Ох), так что центр масс такой поверхности лежит на оси Ох. Статический момент относительно плоскости уОз тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок (а, 6] и ограниченной графиком непрерывной на (а, 6] функции Дх), согласно (9.58) и (9.77), равен К~ = и хр(х)~ (х))Ь, О (9.82) где р(х) — зависимость от х б (а, 6] плотности тела. При значении функции плотности, тождественно равной единице, слпатпический момеи1п называют геометпричеспим, но точку, относительно которой вектор такого момента равен нулевому вектору, по-прежнему именуют центром масс (иногда центром тяжести).
Так, для гладкой плоской кривой Г, заданной дифференцируемой на отрезке (а, 6] функцией 9= = Дх) и имеющей, согласно (9.12), длину лг, ордината, центра масс равна ва=~= — ~Д ))/1+)/ф)) Ы. )983) лг ег,) (9.84) У криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок (а, 6] и ограниченной графиком неотрицательной функции 7(х), ординату центра масс можно найти из (9.80), полагая р(х) я 1 и учитывая выражение (9.19) для площади Я, по формуле я.7.
Статические моменты и координаты центра масс 431 Если все части равенства (9.83) умножить на 2ллг, а (9.84) — на 2яз, то получим соответственно ю'=2 /ДЦ~/1+(УЩ) 0*=2 Ва г, а ь 'е"=хЯ=я ~ (х)пх=2хусй а (9.85) (9.86) Следовательно, площадь Я' поверхности вращения плоской кривой вокруг не пересекающей ее оси равна длине лг дуги этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной при вращении кривой ее центром масс, а объем К' тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг не пересекающей ее оси, равен площади з' зтой фигуры, умноженной на длину окружности, описанной при вращении фигуры ее центром масс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
