Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 55
Текст из файла (страница 55)
9.21. Вычислить работу, совершаемую прн откачке воды через верхнее отверстие наполовину заполненной горизонтальной цилиндрической цистерны диаметром В и длиной Ь. 9.22. Найтн силу давления на вертикальную плотыну в форме трапеции с верхним а и нижним 6 основаниями и высотой Н при перепаде ГлН уровней воды между верхним н нижним бьефами и возвышением й верхней кромки плотины над уровнем воды в верхнем бъефе (Ь+ йН < Н). 10.
хП$СЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Нахождение числового значения интеграла является одной из наиболее распространенных вычислительных процедур при проведении научных исследованиЙ н инженерных расчетов. Если заданная подыктегральнал фуккцил имеет первообразную в виде сравнительно простого аналитического выражения, то зта процедура не вызывает осложнений и состоит в проведении вычислений, связанных с подстановкой числовых значений пределов интегрирования в формулу Ньютона — Лейбница. Однако в случае сложной первообразной ее использование для вычисления может быть не всегда рационально.
Если же интеграл кеберуиЬийся илн подынтегральная функция задана табличным способом (яапример, в виде результатов экспериментальных измерений), то аналитическое выражение интеграла вообще отсутствует. В таких случаях приходится проноднть численное инпзегрирование, под которым понимают процедуру нахождения приближенного значения интеграла методами вычислительной математики. 10.1. Существо подхода к численному интегрированию Пусть необходимо найтн числовое значение ! определенного интеграла Ь !(х) дх (10.1) от подынтегральной функции !(х) наотрезке (а, о]. Большинство распространенных способов численного интегрирования объединены достаточно простой общей идеей: функцию !(х) 456 ! О.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ва отрезке [а, Ц приближенио эамеияют элементарно интегрируемым иктерполяционкым мкогочлеком, вычисляют при помощи формулы Ньютона — Лейбница зиачеиие Х интеграла от этого миогочлеиа и полагают, что 1 в,7. Подыитегральиую функцию представим иа отрезке [а, 6] линейкой комбинацией и Дх) = ~~Ь /(х;)у;(х) + г(х) (10.2) многочленое ~р;(х) степени ие выше и, где х; Е [а, В] — узлы интерполяции, а г(х) — воэиикающал при интерполировании погрешность, причем в узлах интерполяции г(х;) =О, ь=О,п. Тогда подстановка (10.2) в (10.1) приведет к так называемой «вадрапьур«ой формуле ь х= //~*)3=1 Ад д~-я. ь=о (10.3) Подчеркнем, что значения козффициеитов А; = у;(х)дх, 1=0,п, а (10.4) В = г(х) дх О (10.5) иазываемых весовыми (ииогда весами «вадрапьур«ой формулы), ие зависят от вида функции Дх).
На эти значения влияют только степень иитерполяциоииого миогочлеиа и расположеиве па отрезке [а, 6] узлов иитерполяции х;, иаэываемых в данном случае узлами «вадрапзурной формулы, так как лишь от этого зависит вид каждого из миогочлепов у;(х) в (10.2) и (10.4). Если в (10.3) погрешнос«ьыо «гидра«ьурной формулы ь «О.1. Существо водхода к чнсхкщону ннтегрнвовенню 457 пренебречь, то придем к приближенной рабочей формуле о 1 ~,7 ~~1, А«1(х«), (10.6) «=о которую часто называют также квадратурной. Выражение в правой части (10.6) называют квадракхуркоб суммоб. Таким образом, рассмотренный подход к численному интегрированию приводит к квадратурной формуле в виде линейной комбинации значений подынтегральной функцин в конечном числе узлов.
Обычно наиболее трудоемкой операцией при использованин (10.6) является вычисление значений ~(х«) подынтегральной функции в узлах квадратурной формулы. Поэтому при сравнении квадратурных формул предпочтение отдают той, которая позволяет вычислить интеграл с заданной погрешностью при меньшем числе узлов. В связи с этым важной характеристикой квадратурной формулы является оценка ее погрешности, зависящей не только от степени и интерполяцноняого многочлена Р„(х), числа и расположения узлов, но и от вида подынтегральной функции.
Для функции «(х), имеющей на отрезке [а, Ц непрерывную проыэводную ф"+«1(х), погрешность интерполяции при равномерном его разбиеиии на п часшичиых оо«резков длиной Ь„= (Ь-а)/и пропорциональна Ь'„'+' (1Ц. При использовании Р„(х) для построення квадратурной формулы ее погрешность будет пропорциональна иЬ'„'+з = (о- а) Ь'„'+'. В этом случае говорят, что квадратурнал формула имеет (и+ 1)-й корлдок кеочкоскхи. Следует иметь в выду, что числовые значения ~(х«) функции ~(х) в узлах квадратурной формулы можно вычислить лишь с ограниченным количеством верных знаков.
Это приводит к возникновению дополнительной вычислительной погрешности квадратурной формулы. Теоретически при вычисленни определенного интеграла погрешность вычнслення непрерывно 458 ЬО. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ь Ы= фх) -~(х))Ых = О Ь Ь Ь(х)<Ь < ~Ь(х)(ох< (Ь вЂ” а)Ь. Здесь сь = шах ~ б(х)~. Для любого с ) 0 справедливо нераае(в, ь) венство Ы < х, если выполняется условие ьь < 6(е) = е/(Ь вЂ” а).
В данном случае Ь вЂ” а является абсолюпьимм числом обуслоелеиноспьи задачи вычисления интеграла, характеризующим чувствительность ее решения к погрешностям исходных данных. Использование (10.6) для вычнсиення интеграла (10.1) не ухудшит обуслоелениосоьь этой задачн, если Ь (А;~ Ь вЂ” а МО (10.7) так как даже в случае, когда в каждом узле х; значение Дх;) функции нмеет наибольшую абсолютную погрешность сь, ошибка Ь1 прн вычислении интеграла будет близка к (Ь вЂ” а)Ь: а а ьх ью=)~А;(Д.Ь-А;)) <ь~ /А/= 1юе Ь=О = (Ь- а)ьь~~ — = (Ь вЂ” а)сь. ~А;( (Ь- а) зависит от отклонений в значениях подынтегральной функции.
Действительно, если абсолютнал погрешность вычисления значения функции Дх) в точке х Е (а,Ь] равна сь(х) = = Дх) — Дх), где Дх) — приближенное значение функции в этой точке, то с учетом свойства 10' определенного интеграла (см. 8.7) для абсолютной погрешности вычисления интеграла (10.1) получим оценку 459 10.3. Формула траасаий 10.2. Формула трапеций Пусть функция Дх) иитегрируема на отрезке [а, 6), причем Дх) ) 0 Ух Е [а, 6). Интеграл (10.1) будем интерпретировать как площадь криволинейной )нраиеиии, имеющей основанием отрезок [а,6) и ограничепной графиком функции а 1 . /(х) (рис.
10.1). Замена дуги Лх) графика стягивающей ее хордой, проходящей через точки А(а;Яа)) и В(6;Щ), будет соответствовать приближен- О а с Ь х ной замене площади криволинейной трапеции площадью (6- а) (/(а) + ДЬ))/2 обычной трапеции. Тогда (10.6) примет вид т.е. в (10.6) и=1 и Ае= А1 —— (6 — а)/2, причем обусловленность задачи вычисления интеграла (10.1) сохранена, так как Ае+ А1 = 6 — а.
Это одна из простейших квадрагаурнмх формул, которую можно назвать формулой паралеции. Отметим, что (10.8) можно получить и путем подстановки в (10.1) приближенного представления подынтегральный функции в виде многочлена первой степени У(х)'ы Р1(х) = Да)+ (х — а) =/(а) — +/(6)— ДЬ) — Да) Ь вЂ” х х — а что соответствует линейной (двухточечной) ин)перполяиии этой функции. 460 НЛ ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Погрешность квадро)пурной формулы (10.8) представим как функцию длины Ь=о — а отрезка [а, о]: а)))=х-х=й*)и*-' '(у) )~д6))= 2 а а+Л Ь = ~ д~)ь — -)д )+д~ >ь)).
)109) 2 а Пусть функция ~(х) дважды непрерывно диффереицируема на отрезке (а, о]. Учитывая теорему 6.16 о дифференцировании интеграла по переменному верхнему пределу и дифференцируя (10.9) по Ь дважды, получаем В'(Ь) аа ~('+~) ~(') — ~~'(.+Ь), Во(Ь) =-~~о(.+Ь), 2 2 ' 2 причем В(0) =В'(0)=0.
Используя теорему 6.14 о среднем значении, нитегрироваиием находим В'(Ь) = / В"(1)Й=--~ 1~о(о+$)й= — Ь~, (10.10) Г , 1 Г „ Уо(О(Ь)) , 2,/ 4 где 0(Ь) 6 (а, а+Ь). Замечание 10.1. Согласно теореме 6.15, определенный интеграл с переменным верхним пределом Ь от непрерывной на отрезке [О, о — а] функции В"(Ь) является непрерывной функцией Ь на этом отрезке. Поэтому функция В'(Ь) в (10.10) непрерывна на этом отрезке, а при Ь > 0 непрерывна в полуинтервзле (О, о — а] и сложная функция /о(0(Ь)) в (10.10).
Так как п(Ь) -+ а при Ь -+ О, то зта сложная функция непрерывна справа в точке Ь = О, поскольку функция ~о(х) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке (а,Ь], а значит, непрерывна справа в точке х = а. Следовательно, к 461 10.в. Форму оа враоовоеой интегралу от функции В'(а) можно применить теорему 6.14 о среднем значении. ф. Учитывал замечание 10.1, интегрированием (10,10) получа- ем Ь-в Ь-в (Ь-а)з и=/г(о)оь=--' ~о'У(о(о~)оо=-~ '~ 1"Щ, Ро1Ц 4 ./ 12 Т„= 1хо = а, х1, ..., х; 1, х;, ..., х„= Ь) (10.12) отрезка [а, Ь1 на н частичных отрезков (х, 1, х;1, 1=0,и, так, чтобы в каждой точке х; значение Д = Дхь) функции ~(х) было известно или его можно было вычислить. Применяя (10.8) к каждому частичному отрезку, получаем форлвулу пьраоьеьЬиб с погрешностью в В = — — ) (х; — х; 1) ~в®), ~; 6 (х; 1, х;).
(10.14) где ( Е (а, Ь). В частности, для функции Дх), строго вынуклоо1 вверх в интервале (а, Ь), имеем 1о(х) <О Ух 6 (а, Ь), т.е. формула (10.8) трапеции дает заниженное значение вычнсляемого интеграла. Если Дх) является многочленом первой степени, то ~о(х) = 0 Чх 6 (а, Ь), и формула трапеции дает точный результат, что следует и из ее геометрической иптерпретацни. С увеличением длины отрезка интегрирования погрешность формулы трапеции быстро растет. Для уменьшения погрешности используют аддитиеность определенного интеграла, вводя разбиение 462 10.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ При равномерном раэбнении х; — х; 1 — — Ь„= (Ь вЂ” а)/а = = сове1 вместо (10.13) и (10.14) имеем Ь е ЬЗ Х=~Г(*)Й*~Х= — "1 (Л-1+А), Я= — "1 /ф). (1015) 2, ' '' 12. 1=О $юе Так как ~"(х) непрерывна на отрезке (а, Ь], то на нем найдется точка С, в которой ~еа =-„~~"(~') зю1 (10.16) 10.3. Формула парабол Заменим дугу графика функции Дх) на отрезке (а, Ь] (см. рис. 10.1) дугой квадратной параболы с уравнением д(х) = о(х — с) +ф(х — с) +7, (10.19) (правая часть в (10.16) ограничена наименьшнм и наибольшим значениями функции ~е(х) на [а, Ь]). Тогда погрешность в (10.15) можно залисать в внде вйз Н= — — "1еЫ) =- — 1ъп/ Я~ 46 (е1 Ь].
(10.17) и Если Ге(х) имеет на отрезке 1а, Ь] точки разрыва, но ~~"(х)~ < < Мз Ух 6 (а, Ь), то при равномерном разбиении можно получить оценку абсолютной величины погрешности в виде !В~ < — Ь~Мэ. (10.18) Таким образом, абсолютная величина погрешности формулы трапеций при равномерном разбиении отрезка интегрирования пропорциональна Ьз, т.е. эта формула имеет второй порядок точности Оценку (10.18) можно использовать и при неравномерном разбиении, если в качестве Ь„взять максвмальныб шаг разбиения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
