Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Эти формулировки составляют содержание теорем, установленных швейцарским математиком П. Гульдином (1577-1643) и носящих названия первой и етпорой епеорем Гульднмо. Теоремы Гульдина позволяют установить ординату центра масс плоской кривой Рис. 9.37 Пример 9.20. Вычислим поверхность и объем тора (тела, образованного вращением круга вокруг оси, расположенной в плоскости круга и не пересекающей его) (рис. 9.37). Ясно, что центры масс круга и ограничивающей его окружности радиуса г совпадают с их центром.
Если расстояние от центра круга до оси вращения равно В, то длина окружности, описываемой центром круга при вращении, 1= 2хВ. Тогда поверхность тора, согласно (9.85), Я' = =2хВ.2хг=4язгВ, а его объем в соответствии с (9.86) У' = 2нВ ° хгз = 2х2г2В. ф 432 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА илн плоской фигуры, если известны длина дуги кривой и площадь поверхности, образованной при ее вращении вокруг оси Ох, илн площадь плоской фигуры и объем тела, образованного при вращении вокруг этой оси данной фигуры. Пример 9.21. Найдем ординаты центров масс полуокружности и полукруга радиуса г, диаметр которых лежит на оси Ох.
При вращении такой полуокружности, имеющей длину ят, вокруг оси абсцисс получаем сферу с площадью поверхности 4ятз. Поэтому, согласно (9.85), ордината центра масс полу- окружности 9О = 2г/х и 0,6366г. Полукруг, имеющий площадь ятз/2, прн вращении вокруг оси абсцисс образует шар объемом 4хгз/3. Следовательно, в силу (9.86) ордината центра масс полукруга 9О = (4/3)г/и в 0,4244г. Пример 9.22. Уравнение рз хз / хз~ — = — ~1 — — ~, хб [О, с|, сз 1, аз/' задает поверхность, напоминающую подводную часть корабля (рис. 9.38).
Одно из важнейших мореходных качеств корабля Рис. в.зв 9.7. Статические момеиты и коордииатм цеичра масс 433 состоит в его способности после отклонения внешним воздействием от положения равновесия и прекращения этого воздействия возвращаться в исходное положение. Это качество называют остойчивостью и количественно характеризуют метацентрической высотой, т.е. превышением положения метацентра корабля над его центром масс.
В положении равновесия мета центр М совпадает с центром водоизмещения (центром масс тела, отвечающего по форме подводной части корабля и заполненного водой), причем аппликата метацентра лм =К,/%', где У и К, — объем и статический момент этого тела относительно плоскости хОу. Заметим, что сечение заданной поверхности плоскостью, перпендикулярной оси Оз, являетсяэллипсомс полуосями а и 5л/с, т.е.
площадьзтого сечения (см. пример 9.5) Я(л) =кайл/с. Тогда объем тела, ограниченного заданной поверхностью и плоскостью т = с, согласно (9.33), с с пао Г 1 Я(л)~Ь= — / лНл= -хаос, с,/ 2 о о а его статический момент относительно плоскости хОу с с К, = лБ(х)йт= — / л йл= -кайс .
ь г с,/ 3 о о Отсюда тас =2с/3, причем в силу симметрии метацентр М лежит на оси Оз (см. рис.9.38). Для обеспечения остойчивости корабля необходимо, чтобы тм > тс, где гс — аппликата его центра масс. Тогда при некотором отклонении корабля от положения равновесия возникнет момент выталкивающей силы воды относительно центра масс, стремящийся восстановить положение равновесия. Чем больше значение Ь = гас — лс метацентрической высоты, тем больше 434 о. ЛРилОжения ОпРеделеннОГО интеГРАлА этот момент и выше остойчивость корабля.
На положеиие цеитра масс хО влияют расположением балласта в нижней части корабля. 9.8. Работа, энергия, сила давления Из элементарной механики известно, что сила, приложеннал к движущейся прямолинейно точке и постояипая как по абсолютной величине г, так и по направлению, совершает механическую работу А = г'ясов а, (9.87) где в — перемещение этой точки, а а — постоянный угол между направлениями силы и перемещения.
Работа обладает свойством аддитивности, т.е. является суммой вкладов работы, совершенной силой па каждом частичном перемещении точки. Пусть точка М движется по гладкой пространственной кривой Г, заданной в прямоугольной системе координат Охуз с ортонормированным базисом (в', у, Й) векторным представлением Г = (г Е Й": г = г ($), $ б [а, 6]), где г(Ф) = х(Ф)й + у(е)у + х(Ф)к — радиус-вектор точки М. Напомним, что для гладкой кривой функции х($), у(1) и х(е) непрерывно диффере~цируемы иа отрезке [а, 6]. Таким образом, текущее положение точки М(1) иа этой кривой одиоэвачпо определено значением параметра $ б [а, о].
Силу, действующую падвижущуюся покривой Г точку М(Е), зададим вектор-функцией РЯ =ЦЕ)ъ+туЯр+ГЯЧв, Е б [а, Ь], (9.88) где Яй), эу(Ф) и ~(е) — интегрируемые по Римапу иа отрезке [а, о] функции параметра 1. Вклад в работу, совершаемую силой при перемещении точки по участку кривой Г длииой Ьв(1), соответствующему отрез- 435 9.8. Работа, эыергна, сила даваыкя ку [1, Ь+ Ы) С [а, о), представим приближенным выражением АЦй, Ф+ ЬФ]) и ~Р(8)[Ьг(й)сов)з(Ф). (9.89) Здесь а($) — меняющийся с изменением параметра 1 угол между вектором Е(Ф) силы и вектором и(Ф) скорости точки М. Последний определяет направление движения этой точки и направлен по задаваемой векторфункцией г'(й) = х'(ь)й+ у'(й)у+ «'(ь)к касательной к кривой Г.
Используя формулу для вычисления скалярного произведения еектпорое, запишем РЯ г'Я ДФ)х'(й) + п(Ф)у'(й) + Ц$) «'Я [й'(~)$[ ''(~)[ [г(аИ $ ')(~)[ и вместо (9.89) с учетом приближенного выражения Ьг(1) т и дг($) = [г'(1) [Ь| в итоге получим Аф, й+ ЬЦ) т (ф(й)х'(й) + п(Ф)у'(й) + ЦФ)«'(й)) ЬФ. (9.90) Подчеркнем, что выражение (9.90) приближенное, поскольку вектор силы Р(ь), приложенной к точке М, и угол о(ь), образованный вектором силы с направлением движения, в пределах участка кривой приняты постоянными, а длина ььг этого участка заменена дифференциалом длины дуги аг(1).
Нетрудно установить, что погрешность в (9.90) есть бесконечно малая при Ы -+ 0 более высокого порядка по сравнению с ьь$. Следовательно, (9.90) является дифференциалом работы дА($). Поэтому работу, совершаемую при перемещении точки М по кривой Г из начальной точки А(х(а); у(а);«(а)) кривой в ее конечную точку В(х(В); у(6); «(6)), можно найтв интегрироеакием на отрезке [а, о) ее дифференциала: Ь Ь аа)а) /В»)»)/)»-»)»)»'Ю»Д»)Ф))й» )»»1) 436 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Отсюда несложно получить выражение для работы силы, приложенной к точке, движущейся по заданной плоской кривой, в частности, по кривой, являющейся графиком функции ~(х) (х 6 [а, е]), непрерывно дифференцируемой на отрезке (а, 6].
В простейшем случае, когда направления перемещения л и зависящей от него силы г (л) совпадают (в (9.87) сова = 1), совершаемая такой силой работа на суммарном перемещении л„равна А„= Г(л) Ил. о (9.92) Если направления перемещения и действующей силы проти- воположны (сова=-1), то А„(0, и считают, что работу совершают против действующей силы. Пример 9.23.
Длл увеличения первоначальной длины упругой винтовой пружины, закрепленной неподвижно одним своим концом (рнс. 9.39, а), к ее другому концу необходимо приложить направленную вдоль ее оси растягивающую силу г'(л) = Йя, где л — перемещение конца пружины и Й вЂ” козффициент пропорциональности, называемый жесткостью пружины. Если растягнвающая сила возрастает постепенно, то при заданном перемещении л„конца пружины зта сила в соответствии с 437 9.8. Рвлота, энергия, сила давления ~9.92) совершит работу Так как перемещению з„соответствует растягивающзл пружину сила г„= Йл„, то ту же работу, затраченную ва растяжение пружины, можно записать в виде А„= Г„л„/2.
Геометрически значение А„отвечает заштрихованной на рис. 9.39, б площади прямоугольного треугольника, имеющего основанием отрезок ~0, л„] и ограниченного графиком функции Р~л) =Йл. Эта работа будет равна запасенной в пружине потенциальной энергии деформации ее витков. Уменьшение растягивающей силы (Г < Г„) вызовет перемещение конца пружины в обратном направлении. При этом часть потенциальной энергии будет израсходована на совершение отрицательной работы против действующей растягивающей силы, поскольку излравления перемещения конца пружины и приложепной к этому концу силы будут противоположны. Если к свободному концу пружины (см. рис.
9.39, а) сразу приложить постоянную растягивающую силу Е„, подвесив груз весом ~г„, то при перемещении л„ этого конца пружины сила совершит работу А = Г„з„= 2А„. Половина этой работы перейдет в потенциальную энергию деформации витков пружины, а половина пойдет на сообщение пружине с грузом кинетической энергии. Пример 9.24. Согласно закону Ньютона всемирного тяготения, на тело массой тв действует сила притяжения Земли, равная Мт ~® ~ю+ь) ' где 7 — гравитационная постояннял; М и В = 6371 км— масса и средний радиус Земли; й — высота тела над поверхпостью Земли. Ускорение свободного падения на поверхности 438 И ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Земли (Ь=О) беэ учета вращения Земли вокруг своей оси равно уо = 7М/В = 9,820м/с2, т.е. т(Ь) = туоВ /(В+ Ь)2. Чтобы тело массой т поднять с поверхносты Земли ыа высоту Н, к этому телу на каждой промежуточной высоте Ь нужно прикладывать силу, равную т (Ь), ыо противоположно ыаправленыую силе притяжения, и в итоге совершить, согласью (9.92), работу НЬ 2 1 ~Н туоВН А = г (Ь) НЬ = туо В2 / / (В+Ь)2 В+Ь!О В+Н = -туо — ~ Отсюда следует, что для удаления тела от Земли ыа бесконечно большое расстояние (Н -+ +со) иужно затратить энергию туоВ, приравыяв которую кинетической энергии т02/2 тела, можно найти значение скорости о = ~/ 2доВ = 11,186 км/с, которую необходимо сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно (беэ учета сопротивления атмосферы) преодолело тяготение Земли.
Это значение называют второй космической (ыли параболической) скоростью. Пример 9.26. Прямой круговой конус с высотой Н и основаыием радиуса В имеет постоянную плотность р и вращаетсл вокруг своей оси с угловой скоростью шо. Найдем кинетическуюэнергию тт' вращающегося коыуса. Вклад в нее цилиндрического слоя толщиной б т (см. рис. 9.36), имеющего окружную скорость ыот, с учетом (9.71) составит ЬКо((т, т+ Ьт)) и т([т, т+ Ьт]) — лир — Нтц~т /Ьт. (мт)' В- т 2 С учетом этого вклада получаем В В ~о =,то(т) =,.—.0~'(В- т)т йт=,. —., = Л вЂ”, 2 3 Н 2 ~0 В о/ 20 2' ця.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
