Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 56
Текст из файла (страница 56)
463 10.3. Формула парабол проходящей через три точки с координатами (а; !(а)), (с; ~(с)) и (Ь; ~(Ь)), где с= (а+Ь)/2 — середина отрезка [а,Ь]. Такая замена соответствует квадратичной (трехточечной) интерполяции функции У(х) на этом отрезке. Козффициенты а, Д и 7 в (10.19) находим нз решения системы линейных алгебраических уравнений а(а — с)з+ф(а — с) + у= ~(а), 7= У(с) (Ь-.)'+Р(Ь-с)+7= У), получаемой последовательной подстановкой в (10.19) координат всех трех указанных точек.
Это решение единственно, так как через три заданные точки можно провести лишь одну параболу [П], которая, очевидно, переходит в прямую, если зти точки расположены на одной прямой. В итоге вместо (10.19) имеем у(х) = ~(с) + (х — с) + У(Ь) — У(а) !(Ь) — 2Дс) + Да) где й=Ь вЂ” а — длинаотрезка [а,Ь]. Площадь криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок [а,Ь] и ограниченной этой параболой, равна ,7 = у(х) ах = а ~(Ь)-1(а) з 1(Ь)-2Яс)+~(а) ~(а) + 4~(с) + ДЬ) 464 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Нетрудно установить аналогию (10.21) с формулоб Симпсона для вычисления объема тела по трем значениям площади поперечного сечения этого тела.
Заменяя площадь криволинейное трапеции, ограниченной графиком функции Дх) (см. рис. 10.1), площадью криволинейной трапеции, ограниченной параболой, получаем для вычисления интеграла (10.1) квадратурную формулу 1=/ Дх)дх= / /(х)Охи,у=Ь ~(а)+4~(с)+~(Ь) 6 (10.22) с с-Л/2 которая соответствует формуле Симпсона.
Сравнивая (10.22) с (10.6), нетрудно установить, что в данном случае а = =2, Ао= А2=Ь/6, А1 =4Ь/6 и Ао+А1+Аз= Ь=6 — ц т.е. обусловленность задачи вычисления ннтеграла (10.1) не ухудшена. Погрешность квадратурноб формулы (10.22) представим как функцию аргумента и= Ь/2: +ч ЯЯ =1- Л= Дх) дх и . (10.23) 3 с-и Пусть функция /(х) трижды непрерывно дифференцируема на отрезке [а,о] и имеет непрерывную четвертую производную 1'"(х) Ух 6 (а, 6).
Учитывая теорему 6.16 о дифференцировании интеграла по переменному верхнему пределу и дифференцируя (10.22) трижды по и, после применения теоремы Лагранжа [П1 получаем В'(0) = ~(с+и)+Де- и)— ~(с — 0) + 4~(е) + ~(е+ и) -1'(е — и) + ~'(е+ 0) 3 0 3 465 10.3. Формуле парабел -/'(с - О) + /'(с+ О) яс - и) + /п(с+ и) (') з " з /"'(с+ и) — /"'(с — и) 2)1з где (з(эр) 6 (с — и, с+ О). При этом В(0) = В'(0) = В"(0) = О. Используя теорему 6.14 о среднем значении и принимая во внимание замечание 10.1, последовательным интегрированием находим: где (з(0) с (с — зУ,с+и); где (1 (и) 6 (с — и, с+ и), и в итоге погрешность луг луг в=я(в)2)= /в(Оа=- — ' /~Х'"(а(~))е= — „", Х'"В, где С Е (с — Ь/2, с+ Ь/2). Если Дх) является многочленом третьей степени, то /'"(х) = 0 Ух Е (а, 6), и (10.22) дает точный результат. Если известны значения Д =/(х;) функции Дх) в узлах равномерного разбиения отрезка [а, Ь] на четное число п=2т час)яичных отрезков (х; |,х;), 1=1,п, длива каждого из которых Ь„= (Ь-а)/п, то в силу аддитиеностпи определенного интеграла можно применить (10.22) последовательно к парам частичных отрезков между узлами хе и хг, ° ", ха-2 и хп 467 ! О.4.
Формулы прамоугольтааае Формулу парабол можно построить на отрезке [а, Ь| и в случае его неравномерного разбиения вида (10.12), если известны или могут быть вычислены значения функции Дх) яетольконаконцах частичныхотрезков [х; ьх;1 (т=Т,п), но и в их средних точках х;,тэ= (х; т+х;)/2: ь 1 )=~л*)ю* х= — 1 ь;)тт ~+4тт ~~г+л), )10.28) в~ь где Ь; =*; — х; т и Л ттэ = Дх; ттэ). Вклад каждого чв стичного отрезка в суммарную погрешность такой же, как и для отдельно взятой формулы Снмпсона (10.22).
Поэтому для (10.28) получим и [1~[= — ~~Ь,'|'"В)1 < — 'Ь'.И„ где с; Е (х; т,х;), Ь, = тахЬ;. 1ю1, и 10.4. Формулы прямоугольников 1 = т(х) Ых т Х = (Ь вЂ” аЩс), а (10.29) которую назовем формулой тьрямоугольнина. Пусть функция Дх) непрерывна на отрезке [а, Ц и дважды непрерывно дифференцируема в интервале (а, Ь). Тогда в Если на отрезке [а, Ц взять лишь один узел с= (а+6)/2 хеадратпуркой формулы в его середине, то для интперполироеания функции Дх) получим интперполяционный многочлен нулевой степени Ре(х) = Дс) = сопвь, что будет соответствовать приближенной замене криеоликейной тпрапетьии прямоугольником (см.
рис. 10.1). Это приведет к квадратпурной формуле 468 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ любой точке х б (а, 6] ее можно представить формулой Тейлора второго порядка с оспьа)ночным членом в форме Лагранжа: Дх) = Дс) + У'(с)(х — с) + У (0(х)), (10.30) где п(х) заключено между х и с, а для погрешности формулы (10.29) прямоугольника получим я = ~ - г = |(д(*) - щ) ю = в Ь (х с)з (Х(')(*- )+у"Й(*)) )~ = — ( (х с) + (х с) ) ~ ((), (10.31) У ( ) У (Р) ~ (6 )з где с Е (а, 6).
При ин)пегрировании использована теорема 6.14 о среднем значении с учетом замечания 10.1. Замечание 10.2. Как в формула трапеции (10.8), формула прямоугольника (10.29) дает точный результат, если Дх) является линейной фуннциеб, что отвечает геометрической интерпретации (10.29) (см. рис. 10.1).
Но в отличие от (10.8) для функции Дх), сп)рого выпуклой вверх в ин)перголе (а, 6), (10.29) дает завышенное значение вычисляемого инп)еграла. Следовательно, точное значенне интеграла заключено между результатами вычислений по формулам (10.29) и (10.8). Если третью часть разности этих результатов вычесть из результата вычислений по формуле (10.29), то получим более точное значение интеграла. Если в случае разбиения (10.12) отрезка (а, 6] ввести обозначения х; ь)з —— (х; ь+х;)/2 и Д ьуз — — Дхь ьуз), то с учетом аддитивнос(пи определенного интеграла, применяя 469 10А. Формулы прлмоугольнмков (10.29) к каждому частичному отрезку [х; 1, х;] С [а, Ь] этого разбиения, придем к формуле «рлмоуэолъников Ь Х= /У)~)В*ив=1 )И вЂ” *1-в)В-~Вв )10ВВ) с погрешностью и В= — ~(х; — х; 1)~~п®), (; 6 (х; 1, х;). (10.33) ° м1 При равномерном разбиении *; — х; 1 = Ь„= (Ь вЂ” а)/п = = сопвС и вместо (10.32) и (10.33) получим ь и Ьз )=1 У(*)в Я=в 1 л,вв, Я= — "1 )"вв;).
в!в.вв) вм1 вмо Если ~л(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то на нем найдется точка (, для которой справедливо равенство (10.16), так что иолучим «Ьз У Ы) ЬиУ (4)в ( 6 [а, Ь]. (10.35) Если ~"(х) имеет на отрезке [а, Ь] точки разрыва, но ~~п(х)] ( ( Мз Ух 6 (а, Ь), то при равномерном разбиении для абсолютной величины погрешности имеем (10.36) Оценку (10.36) можно использовать и при неравномерном разбиении, если в качестве Ьи взять его максималъныв1 шаг Ь,.
Наряду с выражением (10.32), называемым иногда формулоб ценвпралъных прлмоуеольников (или коротко формулоб средних), можно построить формулы левых н правъвх 470 !О. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ врлмоуеольннное соответственно » » !в,7=~(х; — х; !)Д !, Уж/=,'! (х; — х; !)Д. (10.37) При равномерном разбиении оии приобретают вид »-! в=е Эти формулы редко используют, поскольку опи имеют лишь первый наряден о!очнос!ви, тогда как формула (10.32) имеет второй порядок точности. Замечание 10.3. Квадро!вурные суммы формул прямоугольников совпадают с интегральными суммами функции ~(х) па отрезке (а, е], которые для интегрируемой функции 1(х) стремятся к одному и тому же значению интеграла при стремлении к нулю максимального шага разбиения Ь,. Подстаиовка же конечного эначеиия Ь„в различные формулы прямоугольииков приводит к различным результатам.
Отметим, что площадь прямоугольника, вычисляемая по (10.29), совпадает с площадью трапеции, одна иэ боковых сторон которой является касательной к графику функции Дх) в точке (с; Дс)) (см. рис. 10.1). Поэтому можно считать, что (10.29) построена иа основе интерполяции функции Дх) не миогочлевом Рд(х) = Дс) нулевой степени, а линейной функцией Р!(х) = 7(с)+~'(с)(х — с), т.е. точка с является нрашным узлом нн!верполлции.
Благодаря выбору этого узла в середине отрезка слагаемое, содержащее значение /'(с) производной, исчезает при интегрировании и это значение ие входит пи в (10.29), ии в (10.31). По этой причине точность вычислений по (10.32) выше, чем по (10.37), причем порядок точности формулы (10.32) и формулы (10.13) трапеций одинаков, ио оценки абсолютных величин погрешности вычислений по этим формулам в (10.36) и (10.18) соответствеипо отличаются в 2 раза. 1о.5. Приближение многочеенаын высших стененей 471 10.5.
Приближение многочленами высших степеней Сравнение между собой квадратурных формул прямоугольников, трапеций и парабол показывает, что порядок их точности связан со степенью многочлена, используемого при интерполировании подынтегральной функции. Так, переход от линейной интерполяции к квадратичной привел к росту порядка точности сразу на две единицы. Поэтому возникает естественное стремление повышать порядок точности квадратурных формул путем использования интерполяционныя многочленов более высоких степеней. Однако не все в этой ситуации столь очевидно.
Например, замена на отрезке (а, 01 функции Д*) кубической параболой у(к) прн условии совпадения значений /(к) и у(к) в точках к = а, а+ Ь„, а+ 2Ь„, а+ ЗЬ„(Ь„= (о — а)/3) приводит к квадраепурной формуле Нъютпона (так называемому „правилу трех восьмых") с погрешностью ЗЬв Н = — — "у'" Я), ~ ~ (а, в) 80 (для четырежды дифференцируемой на этом отрезке функции), т.е. эта формула имеет тот же порядок точности, что и формула (10.22) параболы, хотя и требует вычисления значения функции еще в одном узле квадратурной формулы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
