Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Нетрудно проверить, что при одй» ~ О рассматриваемое соотношение переходит в квадратурную формулу трапеций. Аналогично можно построить квадратурные формулы при квадрандичной инднернодлции функции А($) на частичном отрезке [Ц 1,$;] или при ее интерполяции на нем многочленом более высокой степени. Их называют формулами Фзыона.
Прием представления подынтегральной функции /(х), имеющей на отрезке [а, Ь] интегрирования какие-либо особенности, в виде произведения р(х)у(х) двух сомножителей используют в в более общем случае. При этом стремятся подобрать один из сомножителей (пусть для определенности р(х)) таким, 492 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ чтобы он имел те же особенности, что и функция у(х), но интеграл от функции х р(х) (пзЕХ1з(0)) был берущимся. Если при зтом второй сомножитель у(х) будет достаточное число раз непрерывно дифференцируемым на [а,6], то на казкдом частычном отрезке [х< з, х;] его можно интерполировать многочленом соответствующей степени и в итоге построить квадратурную формулу с известным порядком точности.
Так, для дважды непрерывно дифференцируемой функции у(х) при ге линейной ынтерполяции можно получить квадратуриую формулу второго порядка точности. Описанный прием называют мугьыпип~ьикатпиеным выделением особеккостии в противоположность ее аддипзиеному въьделению, когда подынтегральную фуикцыю Дх) удается представить суммой у(х) + ф(х), причем функцвя х(х) содержит ту же особенность, что и Дх), но интеграл от пее является берущимся, а для вычисления интеграла от функции ф(х) используют квадратурную формулу. 10.9.
Приближенное вычисление несобственных интегралов Сначала рассмотрим особенности вычисления сходящегося иесобсзззвенкого икпзеграла по неограниченному промежутку (ясно, что процедура вычисления расходящегося интеграла лишена смысла). Один из возможных путей состоит в такой замене переменного интегрирования, которал прыводит к интегралу по конечному промежутку. Так, замена х = а/(1 — 4) позволяет промежуток [а, +оо) интегрирования функции Дх) преобразовать к промежутку [О, 1] интегрырования функции которая в общем случае может иметь особенность в точке 1= 1.
х та.раюв 493 10.9. Приближенное вы п~слеыме ыесобствеиин Второи путь с с о тоит в использовании свой "ства аоди1ниекосньи схоалибегосл несобственного икшеграла: +ОО Ь | Дх) Нх= Дх) Нх+ Дх) Ых, ЬЕ (а, +оо). а а 6 Число Ь можно выбрать так, чтобы вт ро о е слагаемое в правои ства по абсолютной величине не превосходи- части этого равенства по с обственного — иная точность вычислении несо с ) Т гда первое слагаемое /2 г е г — заданная интеграла по промежу ку н тью г/2 по однои из ква достаточно вычислить с точнос турных формул.
сло мо . Чи Ь можно уменыпить, если удастся приенить вто ое слагаемое и использовать зту оценку ближенно оценить второе сла у менении квакак поправку к результату, полу ол ченному при прим дратурной формулы к первому слагаемому. ью с=10 з Пример .. то р 10.3. Ч бы вычислить с точность 1/(1+хз) по неограниченному проинтеграл 1 от функции межутку [2, +со], запишем +оо Г ~~з |' йх (10.58) Так как при Ь Е (2, +со) +00 +ОО | Их 1 16'х 1 1~-хз,/ хз 2Ьз' то из условии о из условии 1/(2Ьз) = г|2 получаем Ь = 10. Тогда, согласно (10.58), с точностью г/2 + 10 '-/ 1+хз-/1+хз- ' г 494 60.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВА НИЕ Применяя формулу парабол, при шаге 2 получаем 11 в 0,1206, а при шаге 1 — 11 в 0,1159. Поскольку эти значения отличаются менее чем на в/2, с точностью в принимаем 1 т 0,12. Рассмотрим теперь сходящийся несобственный интеграл по конечному отрезку [а, о] от неограниченной функции Дх). Если на этом отрезке даниэл функция имеет конечное число точек, в которых ее предел бесконечен, то разбиением [а, о] на частичные отрезки можно добиться, чтобы на любом частнчном отрезке [х; 1, х,] было не более одной такой точки и она являлась бы одним из его концов.
Пусть такой точкой является х;. Тогда в силу свойства аддитивности запишем в<-6 в; хч в;-6 вп ! При достаточно малом значении б вторым слагаемым в правой части этого равенства можно пренебречь и в качестве приближенного значения интеграла на отрезке [х; 1,х;] принять вычисленное по одной из квадратурных формул значение первого слагаемого. Если второе слагаемое удается приближенно оценить, то эту оценку целесообразно использовать как поправку. Для вычисления интеграла на таком отрезке возможно или мулыпиплинативное, или аддитпивное выделение особенностей, а также применение одной иэ нвадратпурных формул Гаусса, узлы которой не совпадают с тем концом отрезка, где подынтегральная функция имеет бесконечный предел.
Пример 10.4. Вычнслим интеграл 1 от функции совх/~/х на отрезке [О, 1]. Эта функция имеет бесконечный предел при х ++О. При достаточно малом значении в 10ЛЬ Прмбвиикеммое вычмовемие мееобствеммых ммеегрввов 495 Поэтому 1 = — Ых ( 2Л+ — Нх т 2Л+ 11, 0 Е где 16 — приближенное значение интеграла на отрезке (б, 1], вычисленное по одной из квадратурных формул. К данной подынтегрзльной функции применимо мультипликативное выделение особенности, если положить созх/1/х = = р(х)у(х), где р(х) = 1/1/х и у(х) = совх. Тогда при линейной иняерполлции функции у(х) на отрезке [О, 1] получим у(х)т 1 — (1 — соз1)х и 1 0988 о а при линейной интерполяции на двух частичных отрезках— 112 1и ах+ 1 — 2(1 — соз(1/2) ) х 1/Х о сов(1/2) — 2 (сов(1/2) — сов 1) (х — 1/2) + Их и 1,7774.
1/з При квадратичной интерноллции на отрезке (О, 1] имеем 1~ 1 1~ у(х) в Рз(х) = 2(х--~ (х-1) — 4х(х-1) сов(1/2) + 2х ~х-- ) сов 1 2 и приближенное значение интеграла 496 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Ясно, что этот результат можно уточнить, если испольэовать квадратичную интерполяцию функции у(х) =совх на двух частичных отрезках [0,1/2] и [1/2, Ц и т.д. Используем теперь аддитивное выделение особенности, за писав /' соя х — у(х) у(х) 1 = ~ 11х+ — 11х. (10.59) о о Функцию <р(х) целесообразно выбрать так, чтобы в первом интеграле в правой части (10.59) подыптегральная функция и ее производные не имели особенностей, а второй интеграл был бы берущимся.
Тогда первый иитеграл можно будет вычислить с пеобходимой точностью по одной из квадратурпых формул. Например, формула 1прапецид обеспечит второй порядок точности, если подынтегральпал функция будет дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке [О, 1]. Для этого достаточно взять в качестве у(х) представление соях в окрестности точки х = 0 многочлеиом Тейлора второй степени, т.е. 1 1 1 у(х) / Ых Г х1/х 11х 1 — 1(х = / — — / = 2 — — ж 1,8000. 1/х,/ 1/х,/ 2 5 о о о х2 х2 1о(х) = соох~ + (соя х)'~ х+ (соях)"( — = 1 — —.
ъ=о ~~=о 2 2 Несложно проверить, что функция Ь(х) = (совх — 1+х2/2)//х, будучи доопределенной в точке х =0 значением Ь(0) =О, действительно дважды непрерывно дифференцируема иа отрезке [О, 1]. Использование формулы трапеций иа отрезке [О, 1] и иа двух частичных отрезках [О, 1/2] и [1/2, 1] дает приближенные значения первого интеграла в правой части (10.59) 0,0202 и 0,0110 соответствеиио. Второй интеграл в правой части (10.59) является берущимся: ~оло.
о в и ввмчнл в юрл р 497 Таким образом, приближенное значение исходного интеграла не превышает 1,8202. Выбор у(х) = 1 — хл/2 +хв/24 обеспечит функции Ь(х) = = (совх — 1 + хэ/2 — х4/24)/~/х, доопределенной в точке х = 0 значением Ь(0) = О, непрерывность на отрезке 10, 1] четвертой производной. Это позволит для вычисления первого интеграла в правой части (10.59) использовать формулу парабол четвертого порядка точности.
При шаге 1/2 получим примерно -0,00024, а при шаге 1/4 вклад первого интеграла по абсолютной величине ие превысит 2 ° 10 в. Поэтому с такой точностью в качестве приближенного значения интеграла У можно взять значение второго интеграла в правой части (10.59): 1 г ~~~ 1 хз/2+ х4/24 дх = 2 — — + — т 1,8092. ,/ 1/х ~/х 5 9 ° 12 о о 10.10. Особенности вычисления неопределенных интегралов Пусть функция Дх) определена и ограничена в некотором промежутке Х и в этом промежутке необходимо численным интегрированием найти прнближенныезначения Р(х;) ее нервообразноб Г(х) на конечном множестве точек х; Е Х, 1= 1, н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
