Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 61
Текст из файла (страница 61)
В этом случае можно говорить о приближенном вычислении значений Р(х;)+С неопределенного интеграла (С— произвольная постоянная). Значения неопределенного интеграла вычисляют по тем же квадратурным формулами что и значения определенного интеграла. При этом нижнему пределу придают некоторое фиксированное значение хе Е Х, которому отвечает нулевое значение нервообразноб г'(х), т.е. Р(хо) = О, и находят числовое значение этой первообраэной, соответствующее каждому значению 498 10.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ х; (1 = 1, и) верхнего предела. Точки х; целесообразно перенумеровать так, чтобы значения х, вмрастаяи, и вести численное интегрирование последовательно на частичных отрезках [х; 1, х;], приняв хо < х1, т.е. использовать свойство аддитивности определенного интеграла в виде Г(х;) =Г(х; 1)+ у(х)дх, ~=1,п. (10.60) ьч 1 Следует иметь в виду, что в этом случае будут накапливаться ошибки округления, связанные с представлением чисел в ЭВМ ограниченным количеством разрядов. Кроме того, погрешность вычисления каждого из значений г'(х;) будет зависеть от положения точки х; на отрезке [хе,х„].
Распространенным на практике является случай, когда эна чения подынтегральной функции Дх) заданы таблицей на том же множестве точек х; б Х (1 = 1, и). В этом случае для вычисления интеграла в (10.60) непосредственно можно использовать лишь формулу трапеции, каторга может и ие обеспечить необходимоЙ точности вычислении, поскольку использует лишь линейное представление функции Дх) иа отрезке [х; 1, х;]. Точность представления Дх) на каждом частичном отрезке можно повысить при помощи иктерполяииокного мкогочлека более высокой степени, исцольэующего значения функции Дх) за пределами этого отрезка.
При этом целесообразно привлечь табличные значения функции ~(х) в ближайших к рассматриваемому частичному отрезку узлах, взяв (по возможности) одинаковое число узлов с каждой стороны отрезка. Однако для частичных отрезков вблизи концов промежутка Х такой возможности нет, поэтому следует использовать иктерполяциокный многочлен Ньютона для интерполирования вперед или назад. Поскольку для первообраэиой г'(х) функции Дх) справедливо соотношение г'(х) = ~(х), которое можно рассматривать 499 Вопросы и эядачн как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, то нахожденне первообразыой равносильно решению этого уравнения.
Поэтому для приближенного вычисления значениЙ первообразиой можно использовать численные методы решения такого уравнения [ЧПЦ. Вопросы и задачи 10.1. Вычислить по формулам трапециЙ, парабол и прямоугольыиковинтеграл 1 отфункции 1/(1+хз) наотреэке [О, 1] (точное значение У = х/4), разбив отрезок интегрирования на пять равных частей. Испольэовать формулу Гаусса при !Ч = 5. Провести сравнение результатов ы оценить погрешность вычислений. 10.2. Вычислить с точностью 10 4 по формулам трапеций, парабол и прямоугольников несобственный интеграл от функции !па!пх на отрезке [О, х], используя равенство !пв!их = = !и «+ !п(в!их/х).
10.3. Вычислить с точностью 10 Я несобственный интеграл от функции 1/~/Т вЂ” хя на отрезке [ — 1, 1], ыспользуя лыыейную интерполяцию функции 1/Д+хэ на частичных отрезках. 10.4. Вычислить с точностью 10 4 несобственные интегралы от функций 1/[/х(1+«)) и !пх/(1 — х~) на отрезке [О, 1]. ПРИЛОЖЕНИЕ ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ' Интегралы от алгебраических функций (ах+ Ь)'+' 1. (ах+ Ь)'ах = а(л+ 1) Г ах 2.1à — =- 1 +ь| ,/ ах+Ь а к+а+! и! айь -д з-.~ '(ы~-е"и*=Я„, "' й=о ( +Ь) Ьхсс — ~(С-Ь)™1Ч1, Е= х+Ь( .ив- 1 а"'+~,/ теграл 3).
Их -1 ~~- С~'+„з( — а)Ь ~ах+Ь~ ™ 1 х'"(ах+Ь)™ Ь™ъ+"-~ ~~-' пз — Ь-1 ~ х / злвв-1 +с„";„',<-.~"-'ь~'*~'~. 'В формулах двв краткости опувмва постоеввах вите рврозавил. Па раметры юв в и прввимаззг ватуралаиые звачевве (~в, л е )ч), осталзвые параметры прививают дейстзителввые звачеввк (искмочал те звачевил, при которых вмрамевил з формулах ие определевы). В иекоторых случках область измевевие параметров спецвазъво огозорева.
"Если р й (-и — 1, -1] — целое, то в формуле слагаемое длк Й = -р — 1 е -з следует замеввтъ ва, а Ь 1п ф. Интетрааы от аагебрш'юескнх ФуаюР~х 501 ( ах+Ь) ~Ь ах Ьс-аН в. + !п! +И ° сх+и с с~ —,', ~М~ ." (дх+Ь)(,.+4 = 1 с(ах+ Ь) хЫх Ып ~х+ Ь| — г(!и~х+Н~ В- (.+Ь)(.+„- Ь И | хг(х Н ('Ьн'.) — (Ь-.Н.") (~- )""! — *"Г 10. хгах <Р (х+ ЬКх+ 42 И вЂ” Ьнх+ Н) + Р 1п ~х + Ь! + (гР— 2Ы) )и ~х + Н~ (4- Ь)г хах 1 Г Ь ! Ь+а, !х+Ь~1 (х+Ь)~(х+Н)~ (Ь-И)~ ~х+Ь х+Ы Ь-г! 1х+И~у' !4 — !1.
х2~!х 1 ~ Ьа ~Р 2Ы ~х+ + (х+Ь)2(х+Я2 (Ь-И)~ ~х+Ь х+г! Ь-г! ~х+Н~у ' Г г(х 1 Ьх ьз. ~ = — агсгц —. ,/ аа+Ьгх~ аЬ а 15. 0х 2и-1 Их (д2 ~ Ь2х2)в+1 2ид2(д2 ~ Ь2х2)в 2пда (д2 'с ЬЯх2)в ' + 2т+г,!х 1 ( Гтв,1Г 10. =-, Г=х~, гибЕ. (аа ~ ха)и 2 / (да ~ !)ФВ Г хгИх 17. / — = х — аагсф~-. ' / а2+х2 а 502 11рилои«ение. Табли««а иеюредеаеииых интегралов Г х2«гх а !а+х 18.
| = -х+ — 1п~ — ~. ,г а2 — х2 2 !а — х' х2Нх х 1 «Ь 19. (а2 ~ Х2)в+1 2П(а2 ~ Х2)в 2П (а2 ~ Х2)в ' «гх 1 1 х 20. — агс28-. хг(аа ~. х2) агх аЗ «ьх 1 х 3 х 21. агсф8-. х2(а2-1-х2)2 алх 2ал(а2 4-х2) 2ае а 22. «Ь с ( (сх+«1)2 2Н х ь) — 1п + — агс28- (сх+ Н) (а2+ х2) 2(а2с2+ «Р) ~ а2+ х2 ас а/ «Ь 1 х 3 !а+х! 24. х < а ~ х > ~ а х 2 о д ~ ~ х + + 1п! — !.
х2(а2 — х2)2 аех 2ае(а2 — х2) 4ае «а — х! «1х с ( (сх+Н) 2 «1 1а+х 1~1 (сх+й)(а2-х2) 2(а2с2-«12) 1, !а2 — х2! ас ! а-х1/ 2 2 *4.4 М44 4 >44; 1 ~ 2ах+Ь-~«'Ь2-4ас~ 1п 4ас< Ь; ~/44 — 4 /Ь~ ЬЬ >4/44-4~~/ 28. ах ах2+Ьх+с 4ас = Ь2. 2ах+ Ь' «1х 2ах+ Ь (ах2+Ьх+с)в+« п(4ас — Ь2)(ах2+Ьх+с)" + 2(2п — 1)а |' Их п(4ас — Ь2),гь (ах2 е Ьх «с)в' 28. хдх 1 2 Ь / Нх = — 1п !ах2+ Ьх+ с! —— ах2+Ьх+с 2а 2а,«1 ах2+Ьх+с 503 Нктегрваы от еагебрекчеекма фуккакк хах Ьх+2е (ах2 ~- Ьх ~-с)в+1 п(4ае — Ьг)(ахг+Ьх+ с)в (2п — 1)Ь Г ах п(4ае — Ьг) / (ахг+Ьх+с)в х~в Их х~в 1 30. (ахг ~ Ьх -1- с)в (2п — пг — 1) а (ах2+ Ьх + с)в — г -1+ (пг — 1)с / х 2 ах (2п — ап — 1)а,/ (ахг+Ьх+с)в (и — тп)Ь ( х~ 'Их (2п — пг — 1) а,/ (ахг+ Ьх+ с)в 2в-1И 1 х2в-3 Ь 31.
(ахг+Ьх+с)в а / (ах2~ Ьх+с)в-2 2в-3 1 Ь / хгв-г е)х а,/ (ахг+Ьх+с)в а,/ (ахг+Ьх+с)в 32. хг ~ Ь ~Г ах = — !п х(ахг+Ьх+с) 2с !ахг+Ьх+е~ 2с,у ахг+Ьх+с ах 1 ЗЗ. Х(аХ2+ЬХ+С)в+1 2ПС(аХ2+ЬХ+С)в Ь ( Их 1 1 Нх 2С,/ (акг+ЬХ+С)в+1 С,/ Х(аХг+ЬХ+С)в' Нх 1 х~в(ахг+ Ьх+ с)" (пг — 1) сх'в 1(ахг+ Ьх+ с)в-1 (2п+та — 3) а /' Ых (пг — 1) с,/ х"'-2(ахг+ Ьх+ с)в (п+ ап — 2) Ь / Их (пь — 1) с,/ х~в-1(ах2.1- Ьх ~- с)в 504 Примиаение. Тайзмма ыеаппе4езенвыз ахгегРа®'з а ~~ ~ С 2 з 1 (а~х)з 1 2х~а 33 — ~ 1п з + — ъгсФЯ вЂ”.
аз ~ хз 6аз аз =~ ах+ хз аз~/3 а~ГЗ 36. ~ ~ з з х~Ь 1 аз~ах+хз 1 2х~а = — !и ~ — агсз8 * аз+хз 6а (а~х)з а~/3 а/3 37. — = ~-!п !а ~ хз1. ,/ аз~хз 3 Их 1 ~ хз х(аз ~ хз) Заз 1 аз ~ хз! г х 1х х'в-з Гх -з,1х 39./ — =~ — ~а / з з' т) ' / аз-1-хз т 2 / аз4-хз Их 1 1 | Их х~в(аз-!-хз) (т-1)азх ~ аз,/ х~ з(а ~хз) х~ ах х~+~ (аз ~ хз)в 3(п 1) аз(аз ~ хз)и-г т+4 — Зи / х И* 3(п 1)аз / (аз!-хз) -в' т Е Е. Г хЫх 1 х 43. / — = — агсза —.
,/ 4а4+ х4 4аз 2аз 44. = — — 1и хзИх 1 хз+2ах+2аз 1 2ах + — агсФБ 4а4+х4 8а хз — 2ах+2аз 4а 2а — х 43./ = -1п(4а +х ). Г зЬ 1 / 4а4+х4 4 Г Нк 1 ~а+х! 1 х 46' / 3!п~ ~+ загсМ-. ,/ а4 — х4 4аз а — х~ 2аз а 42. — !п Нх 1 хз+ 2ах+ 2аз 1 2ах * 4а4+ х4 16аз хз — 2ах+ 2а 8а 2а — х з+ з ага~а г з' 507 Ивтегрваи от вагебреаьчееюиьа фупкций 0 З Их 2(2ах+ 6) ь4м — ь~) ~/ ас~~+~ ~ Нх 2(2ах+6) (ах +Ьх+с)3"+' (2я-1)(4ас-63) + 8(и-1)а 1 ььх (2п-1) (4ас- 63),/ х'"ь1х х Вб.
(ах +Ьх+с) " 1 (ьть-2и+2)а (2ти — 2п+1)6 ( х~ ььЬ 2(тй — 2й+ 2) а,l (ахи+ Ьх+ с йьь(ьть — 1)с / х 3Их (ьть — 2ьь + 2) а./. 04 х~ь" 1)Ых 60. Яьь-3 1 + Зьь-3 (2и-3) а 2а 1 Г х'"-'Ых +-/ п >1. а,/ вт. | 1ы ь.ш,~ ь,Я 7х+ь,+>~ ) — 1п~ л ~ х вхп(Ьх + 2с) ~ х ь/с ~Ьх+2с~' с > О, 63 ф 4ас; с>0, Ь =4ас; 1 . Ьх+2с — агсв!п )~)ъ~ ьм с(0, Ь >4ас, с=0. 509 Ивгегралм от алгебраичеежих фувкний + птехте хтв+1 (2а — 2тп+ 1) Ь + 2тпс хе~ + (2п — тп+ 1) а х „/~ "г~~ьи 2Д х+~Ы)+ 76.
хте+т Нх= (2а — 2тп — 1)Ьх'"+т пв 1 ц~-в~) кДаР+й)'"-' (2п — 2пт — 1) Ь,/ х™ па ~/х" е 2щ» тт. Я * х 79. х~(ах" + Ь)" ттх = х~~~(ах" +6)" прЬ /' „+, р т 1 та+ пр+1 та+ пр+13 *' + (ах" +6)"~' тп+и+пр+1 ( ет „6)рл.т,т п(р+1) Ь п(р+1) Ь,/ х + (ах"+Ь)~~~ (тп+п+пр+1)а +„(~~„~6)р„ (тп+1) Ь (тп+1) Ь хе' "+т(ах" +6)г+ (тп — п+1)Ь / „, „(~~„+6)р (тп+ пр+ 1) а (ти+ пр+ 1) а,/ 510 Прилоиеиие.
7~вблимо меопрелелеммих интегралов Интегралы от трансцендентных функций Ее )Г 1 и-й во. | "е~н = — !Г).1„(-ц' Ч ~ ( -ЬМ1' 8=1 81.|Р ( )и ю*= — л — Р~)(~). ее (-1)" е а=о Г г!х х 1 вх. ~ = — — — 1п ~аее~+ Ь!. ,/ аеее+Ь Ь Ьд 83. хее*Ых еее (1+ Фх) 2 Ф2(1+ Фх) ' ~,Яе-+ь-М~ — !п 1, Ь>0; 86.
и о/ь )~аю'~~+А)' 2 ~/ ее+) — агс18 , Ь < О. Ф х'+1 ,э+1 — !п!х~ —, з~ — 1; (8+1)2~ -!п Ц, г 8=-1. 2 86. х'!пхг!х = !Па+1 Х вЂ” 8 г- — 1; 8+1 1 !п'х 87. ~ — 1гх = х !п!!пх~, 8= -1. папа г . ~81 — агс18~ее*~( - ~, аЬ > 0; 84. и ~ т с!х у~ГаЬ Ь аеее+Ье ее ! Ь+ де / Ь !и , аЬ < О. 28~( — аЬ Ь вЂ” еее1/-аЬ' Иитегр)8))ы от тра8)сци2де28т28мт фупх2а2Й 88.
~! "*8*= — 2 )-!) х 2 (а+ 1)! п+! (я — х)! х+' и Г 99. х !и"хдх= — 1п"х — — „( х !п" 2х2!х= — ~+! +1/ х222+1 " 2 (и)+1)!!п" )8х — ( — 1) 2+2! пг Е Е. пг+1„(п-й)!(ж+1) х +'!п(ах+Ь) а 1'х ~'(!х 90. х !п(ах+ Ь) йх — — — ( (ах)222+1 — Ь222+1 1 ( — 1) "+1 Ь))х )8+1 1п(ах+Ь) + — Г (122-1-1) ам+1 та+1 (2п — В+1)а * хг +11п(хг+аг) 91.
хг"'!п(хг+аг)21х= 2~п+ 1 + 8.— ()-!)"а 28--2 (-) ). хг"'+ (-1)'"+2аг'" 92. хг~ 1!п(хг+аг)йх= 1п(х +а )+ 2пь 2222 222 ( 1)228-2+2 (х) гй а ~~)-~ ~— х 2пг х2"'+1 !и )хг — аг~ 93. х ~!и!х — а ~<1х= + 2пз+ 1 ).— (! ~ — ~ — 21 (-) ). 94. х~~ ~!п)х — а !Нх= хг"'-аг аг)" 1 х гй !п)х — а ~ — — ~~! -(-) 22=1 512 Прилоиеиие.
Таблице иеоврелелениых иитиралов 2 — ~/ах+Ь+-Л!и, > !пх-2 +Б+с~~ Ь>О. 95. (пхдх а а 1/ах+Ь- 1(Ь а !и хе(х 1 ! !п(1/х) ( Ых ,/ (ах+Ь)' (е-1)а 1,(ах+Ь)' ~,/ х(ах+Ь)' 1 в т.| "ь1*~ чР+Р1- х'+' 2 2 1 г х + Ь е+1 |( „~~/ ее ~) сов(р+ д) х сов(р — а) х 98. з1п рх совах ах в!п(р — 9) х в1п(р+ а) х 99.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
