Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Для произвольного Ф б Х решение системы (10.48) можно получить при помощи мноеонленов (нолиномов) Лежандре у(1г 1)в и в иазваииых по имени французского математика А. Лежандра (1752-1833). Из (10.49) следует, что Рр(1) = 1, Р1 (1) = $. Далее Эти условия образуют систему нелинейных уравнений относительно 2Ф неизвестных зиачений 11 и а;, 1=1,Ф. Однако пока ие ясно, существует ли решение этой системы для любого У, и если существует, то все ли искомые зиачеиия являются действительными числами и все ли значения Ц принадлежат отрезку [-1, 1].
В случае У=1 имеем два уравнения а1 — — 2 и а!11 —— О, из которых находим а1 —- 2 и 11 = О, т.е. квадратуриой формулой Гаусса при Ф = 1 является формула (10.29) прямоугольника с центральным узлом иа отрезке [-1, 1] длиной Ь = 2, точная для линейной подыитегральиой функции (ог=1).
При У =2 из (10.48) следует система четырех уравиеиий 479 10.6. Квадратурнав формула Гаусса можно использовать ренуррено2ное соотпношение НР»(1) = (2Н- 1)1Р»-1(1) — (11-1) Рв-2(1) (10.50) Графики Рв(1) до н = 4 иа Рв(н) отрезке [-1, 1] изображены Р„( ) иа рис. 10.2. Миогочлеи Рв(1) 1 имеет иаэтом отрезке н дей- Р ствительиых нросо2ыа нулей. Р2 Миогочлеиы Лежандра с чет- Ра иым номером являются чет- 1х ными функциями, а с нечетиым — нечетными. Поэтому для любого нечеткого и всегда 1(„1)д =О, а остальные -1 узлы расположены ва отрезке [-1, 1] симметрично. Также Рнс.
10.2 симметричио расположены узлы и в случае четных н. Важнейшее свойство миогочлевов Лежандра состоит в том, что 1 Р„(1)Й= — ~ 1 Й=О И< и. (10.51) | 1 (, ( (12-1)в н(2» / Йв Действительио, интегрированием по частям иаходвм 1 12 й 12-1 (в-1(12 1)в )1 у (в-1(12 1)» Йв-1 / Йв-' -1 -1 Так как миогочлеи (12 — 1)в имеет в точках 1= Ы нули кратности н, то все его производные до порядка н-1 включительно обращаются в этих точках в нуль. Поэтому равен нулю первый член в правой части последнего равенства. Аналогично 480 !О. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ последовательным интегрированием по частям получаем что убеждает в справедливости (10.51) при я < и.
Если в качестве узлов гг б 1-1, 1], 1 = 1,Ф, квадратурной формулы (10.47) взять Ф нулей многочлена Рн($) Лежандра, то можно найти такие значения а;, 1= 1, У, что эта формула будет точна для любого многочленастепени до 2Ф-1 включительно. Действительно, многочлен Р (1) степени пг<2Ф вЂ” 1 можно представить в виде Р (1) = Я РР(Ф) Рн(Ф) + В(1), где Я н($) — частноеотделения Р„,($) на Рн($), а В($)— остаток от этого деления, являющийся многочленом степени не выше Ф вЂ” 1, причем В(Ц) =Р„,($;), г=1,У.
Тогда получим поскольку в средней части равенства первый интеграл в силу (10.51) обращается в нуль, а второй интеграл от многочлена степенн Ф вЂ” 1 можно точно выразить через Ф узловых значений этого многочлена. Для вычисления весовых коэффициентов ьЧ в (10.47) рассмотрим многочлены степени д = М вЂ” 1 1о.в. Квадрвтуриал формула Гц~сса 481 Подставляя многочлен Р (1) = Рз(1) степени та = 2Ж вЂ” 2 в (10.47), полу чаем м з с*1 П(-ы «= уев! мм М М 2 м г =Сз~ в, П(1; — 1 ) =Стаю П(1~ — 1 ) ум1 > 1 л4~ мм Отсюда находим м г а~=У П вЂ” ' б1>0, Г 1~ -1 Э мм т.е.
все весовые коэффициенты квадратурной формулы Гаусса положительны, что ограничивает ее абсааожкое число обусловлеккости. Кроме того, весовые коэффициенты в симметрично расположенных парах узлов одинаковы. Если функция ~(х) в (10.46) не является многочленом степени до 2У вЂ” 1 включительно, то квадратурнэл формула Гауссас Ф узлами дает погрешность Ву. Для функции Дх), непрерывно дифференцируемой 2У раз на отрезке [а, Ь), (№1)4 В~ч = оу(й-а)з'ч+'У<э'ч1(4) ~ б (а б) ау = ((2Ф)!) (2%+ 1) Коэффициент ам быстро убывает с ростом Ф: а1 в4 10 ~; оза2*10 ~; азвб 10 ~; сцв6 ° 10 'е, так что при интегрировании функций, имеющих не слишком большие по абсолютной величине производные достаточно высокого порядка, формула Гаусса обеспечивает хорошую точность уже при.небольшом числе узлов.
Если в выражении для В~ч выделить сомножитель о — а, равный длине отрезка интегрирования, и ввести максималькмй шаг Ь разбиекил этого отрезка, то кор*док точкостпи этой формулы будет равен 2№ 482 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Все весовые коэффициенты квадратурной формулы Гаусса положительны, что не ухудшает обусловленность задачи вычисления интеграла, сохраняя абсолютмог число обусловлеииости этой формулы равным длине отрезка интегрирования. Некоторое неудобство применения формулы Гаусса связано лишь с иррациональностью чисел Ц и (в общем случае) а;, что, однако, не имеет принципиального значения при вычислениях на ЭВМ.
Нв один из узлов квадратурной формулы Гаусса не совпадает с концами отрезка [-1, 1]. Поэтому она может быть использована для вычисления интеграла от функции, определенной лишь в интервале (-1,1). Русский математик А.А. Марков (1856 — 1922) несколько изменил постановку задачи поиска знв чений Ц и а; в (10.47), дополнительно потребовав, чтобы один из Ф узлов совпадая с концом отрезка. Полученные им квадратурные формулы точны для многочленов степени ( 2% — 2. Точную для многочленов степени ( 2У вЂ” 3 квадратурную формулу с Ф = и+ 1 узлами, два из которых совпадв ют с концами отрезка интегрирования, построил голландский математик Р.
Лобатто (1797-1866). При Ж = 2 она идентична формуле (10.8) трапеции, а при Ф = 3 — формуле (10.22) параболы, Формула Лобатто при М = 4 на отрезке [-1, 1] имеет $1,4= ~1, 1$,3 = ~1/5, а1 4 — — 1/6, аа4 —— 5/6 и точна для многочленов до пятов степени, тогда как квадратуркая формула Ньютона с равномерно расположеннымв четырьмя узлами точна лишь для многочленов не выше третьей степени.
10.7. Практическая оценка погрешности численного интегрирования Полученные выше выражения для погрешиости квадратурных формул, имеющих й-й порядок точности, содержат значение производной /1в1(~) подыитггральиой функции /(х) в точке (, положение которой на отрезке интегрирования [а, о], вообще говоря, не известно. Оценка же абсолютной величины 1о.х практическая оковка погрешности иитеграроааака 483 ! —,7 = СЬ~+ о(Ь~), (10.52) где С ~ 0 и не зависит от Ь.
Напомним, что символ „о малое" обозначает бесконечно малую функцию более высокого порядка малости, чем ее аргумент (в данном случае Ь~) при Ь-+ 0 [1-10.1]. Если теперь по той же квадратурной формуле провести вычисление интеграла (10.1) с шагом Ь~ = Ь/г, то получим значение,71 н вместо (10.52) запишем 7- 71 — — С(Ь/э) +о(Ь~). (10.53) Вычитая (10.52) нз (10.53), для главной части погрешности значений,7 и 71 получаем соответственно С(Ь/г)" = 1/г"-1 ге г" — 1 СЬ~ = 1/ге — 1 этой погрешности по наибольшей абсолютной величине Мь производной /(~1(х) может оказаться слишком грубой, да и не всегда возможной из-за отсутствия информации о значении Ма.
На практике используют ряд подходов, позволяющих, в частности, строить вычислительные процедуры на ЭВМ с автоматическим выбором рационального разбиения отрезка [а, 6]. Если есть уверенность, что подынтегралькал функция /(х) имеет на отрезке интегрирования [в,о] непрерывную производную й-го порядка, значение которой входит в выражение для погрешности применяемой квадратурной формулы, то главная часть погрешности этой формулы имеет порядок малости Й при стремлении максимального шаеа Ь разбиения отрезка [а, 6] к нулю.
Это позволяет для количественной оценки возникающей погрешности применить метод Рунге, приводящий в случае численного интегрирования к следующей процедуре. Пусть по применяемой квадратурной формуле Ь-го порядка точности при равномерном разбиении отрезка [а, е] с шагом Ь вычнслено значение,7 интеграла 1 (10.1). Тогда возникшую погрешность можно представить в виде 484 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВА НИЕ и более точную формулу для вычисления значения искомого интеграла ге,7 —,1 1 = 11 + + о(й~) = +о(й~).
(10.54) Для формул трапеций и прямоугольников й = 2, а для формулы парабол и = 4, так что при дроблении шага разбиения отрезка [а, Ь] пополам (г = 2) иэ (10.54) находим соответственно 11-Х ,11 — 1 1Ф,11+ — и 1 Ф,11+ —. 3 15 При последующем дроблении шага разбиения поправка к значению,71, вычисленному при меньшем шаге, должна уменьшаться по абсолютнон величине. Вычисления прекращают на том этапе дробления шага, когда будет выполнено условие ]11 — 1]/(2" — 1) (е, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
