Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 54
Текст из файла (страница 54)
+СО +00 г 1 пг г1~ ш9еРо П(Р) = г Ю пг= — т9оРо / — з = гп9еРе г г Р я Сумма потенциальной и кинетической энергии материальной точки при движении в центральном поле тяготения неизменна: тез твК вЂ” — — = сопвФ, К = 9ере, 2 Р Д.Я.Ь Двимеяяе в цнпральиом яаае твготеымз 447 или, учитывая заданные значения в положении Ме, 2К 2К е — — = Н = ое — — — — ве — 2уоро = сопвг. г г г (9.96) Р Ро Значение Н характеризует энергетический уровень материальной точки.
В частности, пРи Н > О скоРости ее > /ЙУЯРЯ достаточно, чтобы точка удалилась от центра тяготения на бесконечно большое расстояние (см. пример 9.24). Пусть в — расстояние по дуге траектории материальной точки между положениями Ме и М (см. рис. 9.42).
Тогда с учетом (9.10) имеем н вместо (9.96) получаем ( г( )+(Р~( ))г)(НУ) 2К Н (997) где функция р(у) описывает траекторию материальной точки в полярных координатах. Производная ~6Р/й = м определяет угловую скорость вращения точки относительно центра тяготеяия. При движении в центральном поле тяготения момент импульса точки относнтельно центра тяготения неизменен, т.е. ютыР(Р)Р(Р) = пгР (~Р) — = иьиере — — ~ис = сопв$ (9.98) г Ф ог где с = вере.
В дальнейшем интерес представляет лишь случай с > О, поскольку при с = О либо Ре = О (материальная точка совмещена с центром тяготения), либо ее — — О (центробежная сила отсутствует, и материальная точка под действием силы притяжения устремляется к центру тяготения). Подставляя (9.98) в (9.97), запишем сг ор(у) г сг 2К ( — ) + —,— — =Н, ,г( ) 448 в. приложения оптдитнного интегрллл откуда, опуская аргумент у в обозначении функции р(у), получаем ~р р' 2УГ сг,уг-1 ~йг/р-1~г — — — Н+ — — — = ~р о 1 — ~ ), (9.99) Ф сро Р Р Оо оо — 1 где р = р/ро н йо = оо/ /уоро В правой части (9.99) следует выбрать знак „+", поскольку при оо > 1 центробежная сила превышает силу притяжения и ~Гр/йр > О, а при Оо < 1— наоборот и Ир/Йр < О.
Применяя подстановку -„г ог — — и, -г о = Ыи, (9.100) вместо (9.99) получаем йр/Ии= — 1/ь/1 — ид и с учетом табличного интеграла 15 у = агссови+ С, или и = сов(у — С). Так как при <р=О (матернальная точка в положении Мо на рис. 9.42) р=1 и и=1, то С=2Ьг (йе Е). В итоге, учитывая (9.100), находим р(р) = Р -г Р = роуо е = Мо — 1~. (9.101) 1+ еввп(00 — 1) сову Итак, траекторию материальной точки в центральном поле тяготения описывает уравнение (9.101) кривой второго порядка в полярной системе координат, причем совмещенный с центром тяготения полюс этой системы координат совпадает с одним из фокусов кривой 1П11.
При значении эксцектриситета е=О (по=1, во=~/доро) траектория является окружностью, а при 0 < е < 1 — эллипсом с иолуосяаи а= р/(1 — ег) и о = р/Д вЂ” ег = а~/1 ег, причем центр тяготения совпадает с ближним к точке Мо фокусом эллипса, если 1 <йо < ~/2, илн с дальним фокусом, если 0 < ио < 1 (см. рис. 9.42). Траектории в виде окружности или эллипса, являющиеся замкнутыми плоскими кривыми, принято называть орбитами. При 449 Д.д. и Диилгеиие в цеитдальиои доле тлгетеиие я= 1 (до = ~Г2) траектория является параболой, а при е > 1 (юо > ~/2) — гиперболой.
Эти траектории ие являются замкнутыми и по иим материальная точка удаляется от центра тяготения иа бесконечно большое расстояние. За период Т полиого обращения материальной точки по орбите полярный угол у изменяется от 0 до 2х. Поэтому, учитывая (9.23) и (9.98), записываем рл(~р) йр = дорой и з доро ( 2 Р (<Р) 4Р = — й = -оороТ. 2,/ 2 о о Согласно (9.23), интеграл в левой части этого равенства является площадью плоской фигуры, ограниченной орбитой. Площадь эллипса см. пример 9.5) в данном случае равна тао= = ггрз/ (1 — с2)з = ггаз4Г:ез (в частном случае окружности с=О и а =ро). Таким образом, 2хаз д0~Д1 ~г1з оре ре~/до т.е.
квадрат периода пропорционален кубу большой полуоси орбиты, что составляет содержание одного из законов небеснои механики, установленных немецким математиком и астрономом И. Кеплером (1571 — 1630). Найдем длину яг эллиптической орбиты в случае 1 < оо < < ~/2. Для этого вместо (9.101) удобнее использовать коордикагвиое предстаелеяие эллипса Г = ((х;у) Е И: х = аапт, у = осоят, т Е [О, 2х]) в прямоугольной системе координат Оху, ось Ох которой направлена по полярной оси, а начало координат О расположево между фокусами эллипса.
В силу симметрии эллипса достаточно вычислить лишь четверть его длины, соответствующей изменению параметра т иа отрезке [О, к/2]. При этом 450 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА т = к/2 — 1, где 1 — угол, показанный на рис. 9.14. Тогда,, согласно (9.7), получим дз(1) = б о г Й= ~А — $!~ ~, ~~~~~~ю» (9Я) (г — 1 й(1) = а 1 — кгйпгтдт = аЕ(к), (9.102) 4,/ о о где Е(й) — полный эллиптический июипеерал етпорого родо с модулем Й, не выражаемый в элементарных функциях (см.
Д.3.1). Поводом для выбора названия интегралов такого типа и послужила задача о вычислении длины дуги эллипса. При а = 6 (й = О) эллипс переходит в окружность радиуса а, так что зг=2ка и Е(0) =к/2, а при 6=0 (к=1) он вырождается в отрезок, т.е. зг/4= а и Е(1) = 1. Интересно отметить, что полная длина эллипса с полуосями а > 6 совпадает с длиной волны синусоиды, описываемой уравнением и = аке1п(с/6) (с б 10, 2к6]). Дело в том, что такой эллипс является линией пересечения цилиндрической поверхности радиуса 6 плоскостью, наклонной к образующей этой поверхности, а если цилиндрическую поверхность разрезать по одной из образующих и развернуть на плоскости, то линия пересечения без искажения длины перейдет в синусоиду.
Вопросы и задачи 9.1. Доказать, что при задании гладкой плоской кривой Г уравнением у=у(р) (рб [т1, тг)) в полярных координатах ее длина равна гг 451 Вопросы и звдвчп 9.2. Вычислить длину дуги кривых, заданных уравнениями: а) у=~/хз,хЕ[0,4]; б) у =2рх,хб[0,5]. в) у=ев,х 6 [0, е]! уг/2- )пу г) х=, уб[1,е]; д) у= — !п(1 — — ), хб [О,— ~; г х г 5а1 е) уз=, х б [О, — 1; ж) х=а(п -+ — -1 — ~/аг-уг 2,-*' ~ ' 3]' у ~(уг 0(Ь(у(а; з) у=!псовх, хЕ [О, -1; и) р=а(1+сову), ' 3~' у Е [О, 2~г]' к) р = ав!п —, ср б [О, Зя]; л) р= агп-, у б [О, 21г]; 3' ' ' 2' 1г 1~ м) !р = — (р+ -), р Е [1, 3]; н) у = ~(р, р Е [О, 5]; о) р = 1+сов!, 2 р !о = г — Ф5 —, г Е [О, -~; п) !р = / — г(х, р Е [О, В]. о 9.3.
Найти площади плоских фигур, ограниченных графиками следующих функций: а) у = 2х — хг, у = — х; б) ау = хг, ах = у; в) у = х, у = 2 — х! г г) у=5(1 — — ),у=О; д) у =х (а — х ); е) р=а(1+сов~Р); ж) рг = 1 — у~; з) !о = р - в!пр, ~р = х; и) !о = в!п хр, р Е [О, 1]. 9.4. Пусть для кубируемого тела площадь сечения, нормального оси Ох, изменяется по закону я(х) =Ахз+Вхг+Сх+О, х Е [а, 5].
Доказать, что для вычисления объема этого тела применима угормула Симпсона У= — [Я( )+48( — ) +Я(В)) (Т. Симпсон (1710 — 1761) — английский математик). 452 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 9.5. Вычислить объемы тел, ограиичевиых поверхностями, заданными следующими уравнениями: г г г а) — + — — — =1, я=~с; б) х +г =а, у +г =а; у г . г г г г г г. аг Ьг в) гг=Ь(а — х), хг+Эг =ах; г) хг+уг+хг+ху+ух+хх=аг; хг уг сх д) — + — =1,я= †,я=О; е)х+у+гг=1,х=О,Э=О,я=О; а Ьг а ж) х +у +г =а, х +у =ах. 9.8.
Доказать справедливость формулы (9.36). 9.7. Найти объемы выпуклой и выпукло-вогнутой линз, ограниченных двумя соосиыми параболоидами вращения и имеющих размеры, указанные на рвс. 9.43. 9.8. Найти объем плоско.вогнутой линзы, ограниченной плоскостью и соосиыми цилиндром диаметром д и параболоидом вращения. Линза вмеет толщину Ь по оси и Н по краю (рис.
9.44). Рис. 9.44 Рис. 9.43 9.9. Каково отношение объемов частей прямого кругового конуса высотой Н, рассеченного плоскостью, параллельной образующей конуса и проходящей через центр основания диаметром В? 9.10. Вычислвть площадь поверхности вогнутого зеркала, являющейся сегментом параболоида вращения высотой Й (рз диус основания сегмента В). Вомросвг м задача 453 9.11. Вычислить объем и площадь поверхности бочки с высотой Н и основаниями, имеющими диаметр Р. Боковая поверхность бочки образована вращеныем вокруг ее оси параболы с вершиной, удаленной от оси на расстояние В. 9.12. Найти объемы и площади поверхносты тел, полученных при вращении куба вокруг его диагонали и диагонали его грани. 9.13.
Вычислить объем и площадь поверхности тела, огра; ниченного двумя круговыми цилиндрами радиуса В, оси которых пересекаются под углом а. 9.14. Найти объем ы площадь поверхности тела, ограниченного тремя круговыми цилиндрами радиуса В, оси которых взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке. 9.1б. Найти длину дуги кривой Г и площади поверхностей, образованныхвращением кривой вокругосей Ох н Оу. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривой Г и участком оси Ох, если кривая Г не замкнута.
Найти также объемы тел, образованных вращением этой фигуры вокруг осей Ох ы Оу: а) Г= (х = а(1 — в1пй), у=а(1 — совг), 1Е [0,2х]) (циклоида); б) Г= (х = 21 — 1~, у=21~ — г~, 1е [0,2]); в) Г = (х = а совз1, у = а вшам, 1 ~ [О, х]) (астроида); г) Г = (х = ай/(1+1~), у= аФв/(1+1~), Ф б [О,+оо)); д) Г = (х = асов1 сов~1, у = аяп~ 1 совг, 1 б [О, и/2]); е) Г = (х = (с /а) сова С, у = (с /Ь) в1 п 1, 1 Е [О, х] ) (сз = а — Ь, эволюта эллипса). 9.16. Доказать, что объем тела, образованного вращением вокруг полярной оси плоской фигуры, ограниченной кривой с уравнением р = р(у) (у Е [гг,,б]) в полярных координатах ы 454 в.
пРилОжениЯ ОпРеДеленнОГО интеГРАлА лучами у = а и у =,6, равен д У = — ~ р (у)в!п~рйр. 2х 1 з з1 9.17. Найти геометрические моменты инерции: а) площади треугольника относительно его основания; б) площады квадрата относительно его диагонали; в) площади, ограниченной эллипсом, относительно его осей; г) сферы и шара относительно их диаметра; д) полусферы и полушара относительно их основания. 9.18. Найти центры масс полусферы и полушара.
9.19. Проанализировать остойчивость (см. пример 9.6) заполненного нефтью достаточно длинного танкера, считая (для упрощения) его поперечное сечение равносторонним треугольннком с равномерным распределением массы по длине сторон. 9.20. Найти число оборотов до полной остановки однородного прямого кругового цилиндра с массой тп, высотой Н и основаниямы, имеющими радиус В, после начала торможения приложенным к оси цнлиндра моментом М(ш) = Ме(1+и/ые), если до начала торможения цилындр вращался относытельно этой оси с угловой скоростью ые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
