Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Работа, энергяя, сяаа давленая 439 где ,У = ркМН~10 — момент инерции конуса относительно его оси (см. пример 9.19). Правая часть этого соотношения является аналогом выражения юез/2 для кинетической энергии материальной точки массой т, имеющей скорость и поступательного движения. Таким образом, при вращательном движении мерой инерции тела является его момент инерции относительно оси вращения. Пусть в некоторый момент времени 1 = О, принимаемый за начало отсчета, к оси конуса прикладывают тормозящий момент М(и), зависящий от значения ~и($) угловой скорости в текущий момент времени 1. Затраты мощности (работы в единицу времени) М(м)и(1) на преодоление сопротивления вращению будут уменьшать исходный запас И~о кинетической энергии со скоростью <ЙК($)/Й = -М(и)иЯ, где Щ1) = = ЯиЗЯ(2 — текущее значение кинетической энергии вра щающегося конуса.
Таким образом, в произвольный момент времени 8 имеем — = Ло(1) — = — М(ш)и($). НФ(1) йф) Й Й Отсюда, учитывая, что при 1 = О ш(О) = мо, находим ы(О с У вЂ” = -Й,,Т / = — Й = — й. (9.93) йи(й) Г йи М(ы) ',/ М(и) Время 1„прошедшее от начала торможения до полной оста- новки конуса, когда м(1,) = О, составляет о — — =1 440 в.
пРилОжениЯ ОпРеДеленнОГО интеГРАлА Если принять, что М(ш) = Мо~/шло, то получим сводящийся несобстпвенныб интпеграл от неограниченной функции: о ,7~До /' Иы .7~(йо Найдем число оборотов конуса после начала торможения до полной остановки. Для этого при помощи (9.93) установим эависимость ы($) от 1: ы(0 ,7 у = 2 ~/и~ = 2 (~ГмЯ вЂ” ~~~) = -е. 7 ~/йод~,7,~~ ! ~0 7..~~ Моъ~~ Мо „Мо Отсюда, учитывая, что угловая скорость — это скорость иэме- нения угла <р($) поворота конуса вокруг своей оси, получаем др($) 1 7 Мо$~э — = ь~(1) = — ~ь~о — — ) = 7(е). ей ыо~ 27 Первообразноб функции 7'(1) является М 12 М2~3 у(8) =мо$ — — + — +С.
12,72ио Если принять, что 1о(0) =0 при 1=0, то С=О, и в момент 1 =2Л~о/Мо остановки конуса найдем М 1г Мэ1з 27о,э 27 12Рио ЗМо Углу <р, отвечает число оборотов 1о,/(2л)=Лф(ЗкМо) ко- нуса от начала торможения до полной остановки. Пример 9.20. Пятой наэывают опорную часть 1 вертикально расположенного вращающегося вала (рис. 9.40), а подпятником — неподвижную опору 2, в которой эта пята вра- 441 9.8. Работа, эевргия, сиаэ давления щается. Равномерный износ трущихся поверхностей пяты и подпятнвка Р возможен, если зти поверхности явля- 1 ются участками псевдосферы [П). В изображеином на рис. 9.40 случае вал, 1 нагруженный осевой силой Р, опира ! ется па подпятник плоской торцевой 1 поверхностью в виде кругового коль- ! ца с внутренним Во и внешним В радиусами (в частности, при Яо — — 0 1 Я опорная поверхность будет кругом).
1 Силу Р уравновешивает равная ей сила давления подпятника па пяту через ее торцевую поверхность, являющаяся в данном случае аддитивной Ьт И характеристикой по отношению к давлению р, приходящемуся на единицу 1 площади пяты. Вклад в силу давления кольцевого участка пяты, ограниченного окружностями радиусов г и г+Ьг (см. рис. 9.40), приближенно равен Р((г, г+Ьг)) ир 2ягйг (погрешность вызвана приближеиным выражеиием 2ягЬг для площади кольца и пренебрежением возможной зависимостью давления от радиуса, но является при Ьг -+ 0 бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с Ьг).
Отсюда получаем Р = 2я ргйг. (9.94) При вращении пяты в подпятнике а каждом ее участке возникает пропорциональное давлению напряжение трения 442 ' 9. ПРИЛОЖЕНИИ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА М ф', г+ Ьг)) в щи' ° 2тгйг. Тогда для суммарного момента получим М 2тррр ргз~~г (9.95) Отметим, что мощность И' (работа в единицу времени), развиваемая моментом сопротивления, равна Ми, где и— угловая скорость вращения вала. Для того чтобы связать нагружающую вал осевую силу Р с моментом М и мощностью Ир, расходуемой на преодоление сопротивления вращению, необходимо конкретизировать зависимость давления р от радиуса. Если принять р=сопв$, что соответствует новой, неприработанной пяте, то из (9.94) и (9.95) следует, что 2 Р=р р~ р = р~йр-йф И=2 рр~~р =- рррр-$р'. 3 Вф Вр Отсюда р = Р(Б„и М = (2(3)трР(й~ Вз~)/Яп, где Я„= =к(В2 — В2).
В частности, при Во=О имеем М=(2(3)МАРВ. При вращении пяты ее участки, более удаленные от оси вращения, имеют ббльшую скорость относительно подпятника, так пр (И вЂ” коэффициент трения), т.е. сила трения, приходящаяся на единицу площади пяты н направленная противоположно перемещению участка пяты относительно подпятника. Это на пряжение дает вклад прт в момент сопротивления вращению, который в силу симметрии относительно оси вращения одина ков для всех участков, расположенных от оси на одинаковом расстоянии г. Таким образом, вклад в суммарный момент М сопротивления вращению кольцевого участка пяты, ограниченного окружностями радиусов г и г+ Ьг, можно представить приближенным соотношением 443 8.8. Работа, эыергиа, скав даваевел что износ этих участков и контактирующих с ними участков подпятника более интенсивен.
Благодаря этому происходит перераспределецие давления р и оно возрастает на более близких к оси менее изношенных участках. Для приработанных пят обычно принимают, что приходящзлся на единицу площади пяты мощность ~зри, развиваемая силами трения, а значит, и интенсивность износа постоянны, т.е. рг = сопв1, = с. Тогда из (9.94) и (9.95) находим Р = 2хс й' = 2л с( — Ве), М = 2тпс гйг = ~гас(В~ — В~~). пф пф Отсюда с= Р((2х( — Ве)) и М=пР(В+Во)(2 (вчастности, при Ве — — 0 М = (Ц2)МАРВ, т.е. для приработанной пяты момент, а значит, и мощность, расходуемая на преодоление сопротивления вращению, меньше, чем для новой пяты). 1[1 Известно, что сила давления на площадку Я столба жидкости высотой Ь, имеющего основанием эту площадку, равна рдЬЯ, где р — плотность жидкости, а д — ускорение свободного падения.
Таким образом, на глубине Ь давление жидкости р = рдЬ, причем, согласно закону Паскаля, оно не зависит от расположения площадки. Пример 9.27. Найдем силу давления воды на прямоугольную створку ворот судоходного шлюза и момент этой силы относительно оси вращения створки при наибольшем перепаде Ь уровней в верхнем и нижнем бьефах. Пусть высота створки Н и ее ширина В. Координатную ось Ох совместим с осью вращения створки, а ось Оу — с верхним уровнем воды (рис. 9.41). Сила давления на горизонтальную полоску створки, соответствующую отрезку [х, х+ Ья] С [О, Ь], приближенно равна Р~([я, я+Аз]) трдхВЬх, 444 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Рис.
9.41 а для полоски, отвечающей отрезку [х, х+ с1х) С [Ь, Н~, Рг Цх, х+ Ьх]) а рдхВЬх — рд[х — Ь) Вйх = рдЬВ. Тогда сила давления на створку равна Р = рдхВйх+ рдЬВйх = о Л Ьг Ь~ = рд — В+рдЬ[Н-Ь)В = рдЬ~Н--)'В. 2 2 Сила давления на любую горизонтальную полоску приложена в ее середине, т.е. на расстоянии В/2 от оси вращения створки.
Следовательно, и сила давления на створку приложена на таком же расстоянии, так что момент этой силы М = РВ(2 = = рдЬВгН(2 — ЦН)(4. ф Интересно отметить, что сила давления жидкости Д.9Л. Двнкевне в центральном воле тлготеннл 445 на погруженную вертикально плоскую фигуру с прямолинейными верхней и нижней кромками и криволинейными боковыми кромками, соответствующими графикам функций ~1(х) и Ях) (х Е [а, Л]), пропорциональна геометрическому статическому моменту площади этой фигуры относительно оси Оу, отвечающей уровню жидкости (х = 0), а момент силы давления относительно оси Оу — геометрическому моменту инерции площади погруженной фигуры относительно этой оси.
Дополнение 9.1. Движение материальной точки в центральном поле тяготения Напомним, что в зависимости от расположения плоскости относительно круговой комической моверхмости можно получить в сечении окружность, эллинг, параболу, гинер6олу или две пересекающиеся прямые. Указанные кривые объединяют общим названием комические сечения. Кроме того, эти кривые связывает то, что все они являются траекториями движения материальной точки в центральном поле тяготения. Пусть материальнал точка массой т в некоторый момент времени $ = 0 находится в положении Мв на расстоянии ре от центра тяготения О и имеет скорость ив, направленную перпендикулярно прямой ОМе (рис.
9.42). Совместим полюс полярной системы координат с центром тяготения, а полярную ось Ор направим получу ОМв. Известно, что при условии ивз/ро = уо, где уо — ускорение свободного падения на расстоянии рв от центра тяготения, материальная точка будет описывать вокруг этого центра окружность (штриховлл линия на рис. 9.42) радиуса ре, лежащую в плоскости, содержащей прямую ОМе и вектор скорости 446 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Рис. 9.42 материальной точки. При этом на точку действует направлен- наЯ к центРУ тнготении сила пРитижениЯ ш9е, УРавковешиваемая центробежной силой тоез/Ре. При нарушении условия ее/ре — — де траектория точки будет отличаться от окружности. Если в текущий момент времени 1 материальная точка массой гп имеет скорость е и находится в положении М на расстоянии р от центра тяготения О (см. рис. 9.42), то, согласно закону Ньютона всемирного тяготения, на нее действует сила притяжения г (р) = т9е(ре/р)з. Работу, совершаемую против силы притяжения при удалении материальной точки из положения М на бесконечно большое расстояние от центра тяготения, принимают за меру потенциальной энергии массы т в положении М, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
