Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Проведя в (9.19) замену переменного, получаем (в предположении, что х = а при 1 = а и х=6 при $=,9) о = Дх) Ых = у(1)х'($) й. (9.32) Пример 9.10. Найдем площадь Я фигуры, ограниченной остроидоб (рис. 9.19), заданной уравнениями х(1) =асеева, у(1) =ав!п~й, 1Е (0,2х]. В силу симметрии астроиды достаточно вычислить площадь четвертой Рве.
9.19 399 9.3. Плоогаяо плоской фигуры части фигуры, расположенной в первом квадранте координатной плоскости. При возрастании х от 0 до а параметр убывает от я/2 до О. Поэтому, используя (9.32), записываем — р)О*Що=/ «йа'а)-3 ~ы~а)л 4,/ к/2 о/э о/2 о/з = За в1п~ $ сод Мг = За (в)п~ г — в1пв г) Ю. Учитывая линейность определенного интеграла и результаты примера 6.15, получаем Я = 12а~ (вгп~ $ — в)п с) ас = о 1 Зх 1 3 5х 9 э 5 3 12а2~ ) ха2(1 ) ха2 ф 2 42 2 4 62 4 6 8 В примере 7.2 сходящийся кесобсгпвеккый икгпеграя по промежутку [О, +со) от функции /(х) = 1/'(1+хз) геометрически был интерпретирован как площадь неограниченной плоской области между графиком этой функции и осью Ох.
Для выяснения вопроса о квадрируемости неограниченной области следует выразить в виде опредеяеккого иктеграла площадь квадрируемой плоской фигуры, включенной в эту область и заполняющей ее при стремлении к пределу одного из размеров фигуры, а затем исследовать сходимость получающегося при предельном переходе несоб- у ственного интеграла. Пример 9.11. а. Криволинейная трапеция, имеющая основанием отрезок (О, Ц и ограниченная графиком непрерывной 0 Ь к функции /(х) = е (рис. 9.20), Рис.
в.нп 400 о. пРилОжениЯ ОНРеДеленнОГО интеГРАлА согласно (9.19), имеет площадь ~ь Я(Ь) = 1 (х) дх = 1 е *дх = -е *~ = 1 — е ь. у о Поскольку з(Ь) -+ 1 (+со при Ь-ь+оо, то неограниченная плоская область между графиком функции Дх) = е * при х ) 0 и осью Ох квадрируема, а ее площадь з = 1. б. График функции у(х) =сгбх и отрезок (а, к/2] (а) 0) оси Ох вместе с прямой х = а ограничивают плоскую фигуру (рис. 9.21) с площадью У ч/2 ~ уг з(а) = сФЕхдх = 1па1пх~ = -1пя1па. а При а-++О прямая к=а неограниченно приближается к оси Оу, и эта плоскзл фигура переходит в неограниченную плоскую область, не имеющую конечной площади, т.е. неквадрируемую, так как при а-++О з'(а) -а +со.
Рис. 9.31 9.4. Объем тела Под ьвелом будем понимать замкнутое ограниченное многкество точек трехмерного пространства, т.е. тело содержит все свои граничные точки. Будем опираться на понятие объема так называемого многогранника, представляющего собой объединение конечного числа треугольных пирамид, способ вычисления объема каждой из которых предполагаем известным.
Как и в случае плоиьади плоскоб фигуры (см. Д.1.1), можно показать, что объем обла дает свойствами монотонности и аддитивности, т.е. объем тела, целиком включенного в другое тело, не больше объема 401 оА. Овьон тола этого включающего тела и объем тела равен сумме объемов составляющих его частей. Пусть множество А состоит из многогранников, целиком включающих в себя некоторое тело, а множество  — иэ многогранников, целиком содержащихся в этом теле. Ясно, что любой многогранник из А целиком включает в себя любой многогранник из В. Поэтому множество УВ объемов всех многогранников иэ В ограничено сверлу объемом любого многогранника из А (всоответствии со свойством монотонности объема) и, следовательно, имеет единственную точную вергнюю грань У'. Множество Ул объемов всех многогранников из А ограничено снизу (например, нулем) и имеет единственную точную нижнюю грань У. Определение 9.2.
Ч'ело называют нубируемым (т.е. имеющим объем), если точная верхняя грань У' множества объемов всех включенных в зто тело многогранников равна точной нижней грани У, множества объемов всех многогранников, включающих в себя это тело, причем число У = У' = У называют объемом данного тели. Для объемов, так же как и для площадей, справедливы следующие утверждения: 1) для кубируемости тела Р (существования его объема) необходимо и достаточно, чтобы для любого г ) 0 нашлись такие многогранники Р1 и Р2 с объемами У1 и Уз, что Р1СРСР и У~ — У~~с; 2) для кубируемости тела Р необходимо и достаточно, чтобы существовали такие последовательности многогранников (А„) и (В„), содержащихся в Р и содержащих Р, объемы которых ул и уВ удовлетворяют соотношению 1(ш Ул Дш ~В о-+оо о-Фоо При этом общий предел У и будет объемом тела Р; 402 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 3) если для тела Р существуют последовательности кубируемых тел Я,Д и (В„), содержащихся в Р и содержащих Р, имеющих объемы У„и У„', для которых йщ УО = Бщ У."= У в-+сю л-+оо то тело Р кубируемо, а его объем равен У. Последыее утверждение дает удобное достаточное условие кубируемости тела, позволяя использовать для проверки ые только мыогограыыики, ыо и другие тела, кубируемость которых уже установлена.
Тело в виде прямого цилиндра высотой Н, основанием которого является квадрируеиая плоская фигура с площадью в Я, имеет объем У = ЯН. В самом деле, ыа всевозможных многоугольниках, включающих и включеыыых в эту плоскую фигуру, построим прямые призмы высотой Н. Эти призмы кубируемы, причем либо включают в себя цилиыдр целиком, либо целиком включеыы в него. Точная ыижыяя граыь о',Н множества объемов призм, включающих цилиыдр, и точызя верхыяя грань $'Н множества объемов призм, включенных в него, совпадают и равны ЯН.
Следовательно, в силу определеыия 9.2 рассматриваемый прямой цилиндр кубируем и егообъем У=ЯН. Введем прямоугольную систпаиу координат Охуя и рассмотрим некоторое тело, заключеыыое между плоскостями х = а и х=6 (рис.9.22). Пусть все сечеыия этого тела плоскостя- ми, перпеыдикулярыыми коордиыатыой оси Ох, квадрируемы, причем зависимость Я(х) площади сечеыия от абсциссы х Е [а, 6] является эадаыыой фуыкцией, непрерывной ыа отрезке [а, 6]. Рис. 9.33 403 9А. Объем теш Отметим, что два таких сечения, спроектированных на какую-либо плоскость, перпендикулярную оси Ох, могут либо содержаться одно в другом (рис. 9.23, а), либо частично накладываться одно на другое (рис. 9.23,6), либо не пересекаться (рис.
9.23, в). Близость значений площади не гарантирует выбор одыого из этих вариантов. й В \ Рис. 9.33 Предположим, что для любого из всевозможных разбиений Т = (хо — а, х1, ..., х; 1, х;, ..., х„= Ц отрезка [а, Ь~) в любом ~-м слое тела между плоскостями х = =х; 1 и х =х, (л=1,п) сечеыие, имеющее наибольшую площадь М;, целиком включает в себя любое сечение в укззаиыом слое, а сечение, имеющее наимеыьшую площадь ш;, содержится в любом другом сечении этого слоя. На этих сечениях построим прямые цилиндры высотой Ьх; — х; — х; 1. Тогда цилиндр объемом М;Ьх; будет целиком включать в себя 1-й слой тела, а цилиндр объемом ш;Ьх; будет целиком включен в этот слой. Ступенчатые тела, составленные из всех цилиндров, включающих слои тела, н из всех включенных в эти слои цилиндров, согласно аддитивности объема, кубируемы, причем их объемы равны соответственно Емких< и Е цл ъ в~1 Эти суммы являются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу для интегрируемой на отрезке [а, Ц функции Я(х).
В силу хрип1ерил Дарбу существования определенного интеграла точная нижняя грань верхней суммы и точыая верхыяя грань 404 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА нижней суммы совпадают и равны Ь о (х) Ых. (9.33) а Согласно сформулированному выше критерию кубируемости, это означает, что при сделанном предположении рассма триваемое тело кубируемо, а его объем У равен интегралу в (9.33). Принятое предположение о форме тела выполнено, в частности, для тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок [а, 6] и ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на [а, Ь) функции Дх) (рис. 9.24). В этом случае о(х) = ху2(х), так что ь У вЂ” х У (х)Ых.
О Аналогично объем тела, образованного вращением вокруг координатной оси Оу криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок [с, и) и ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на [с,й) функции х=д(у) (рис.9.25), равен с (9.34) 2( )~ с (9.35) Рис. 9.36 Рис. 9.34 405 ялп Объем тела Пусть тело образовано враще- У нием вокруг оси Оу криволнней- У)х) ной трапеции, имеющей основанием отрезок [а,6] (а>0) оси Ох н ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на [а,Ь] ' с- О функции ~(х) (рис.
9.26). Примем за злемент объема такого тела объем его части, образованной вращением вокруг оси Оу прямоугольникас основанием Нх и высотой Дх),отстоящегоотоси Оу нарасстоянии х (иными словами, зта часть тела представляет собой цилиндрическую оболочку радиуса х, толщиной Ых и высотой Дх)). Тогда получим дифференциал объема тела ИУ = 2ххДх) Нх и объем тела Ъ' = 2я х/(х) )Ь. а (9.36) Объемы тел, образованных вращением плоской фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций ~1(х), Ях) и прямыми х=а, х=Ь, где О< а<Ь и 0<)1(х)(Ях) при х б [а, 6], вокруг координатных осей Ох и Оу, соответственно равны В общем случае взаимного расположения сечений можно утверждать лишь следующее: если тело кубируемо, то его объем выражается формулой (9.33).
Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрическими уравнениям х = х(6), у=у($), $ б б [о, Д, то для вычисления объема тела, образованного вращением такой криволинейной трапеции вокруг оси Ох, нужно 406 е. пРилОжениЯ ОпРеДеленнОГО интеГРАлА выполнить в (9.34) замену переменного. Предполагая, что при х=а 6=а и при х=б 6=,9, получаем Ф У =1г уз(г)х (г)й. О (9.37) Читатель может установить самостоятельно, что объем тела, получеиыого вращением сектора, образованного дугой кривой р = р((р) и двумя поллрными радиусами (р = а, (р = )3, вокруг поллрноб оси, равен Ф Ур — — — (( р ((р) в1п(рд((р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
