Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 45
Текст из файла (страница 45)
9.2. Длина кривой Напомним, что кривая как множество точек трехмерного пространства Иэ может быть задана либо в векторном, либо в координатном представлении. Введем прямоугольную систему координат Охуэ и будем использовать далее координатное представление кривой Г в виде Г = ((х; у;х) б И: х = х(1), у = у(1), г = г($), $ б [а, 6Ц. (9.1) 375 9.2. Дюна кривой Если функции х(1), у(!) и х($) непрерывны, то при измененив пара- Ф) . И=м„ метра кривой 1 ваотрезке (а,о] от '..
Г начального значения 1 = а до конеч- м! 'м м! 'м ного 1 =6 точка М(х;у;х) Е Из с текущими координатами х($), у($) и м. г(!) описывает непрерывную кривую МоУ (рис. Я.1), причем точки Мо и Мо У называют соответственно началь- О ' 91!) ной и конечной точками кривой. При х!!) .. 1 совпадении начальной и конечной то- к чек кривую называют замкнутой (заРне.
9.1 мкнутым контуром). Кривая может иметь точку самопересеченил (узловую точку). Например, кривая, задаваемая уравнениями х(Ф) =аз, у(1) = $ — ез, г(8) =О, 1 Е (-оо, +оо), имеет такую точку с абсциссой х = 1 Рне. 9.3 на оси Ох (рис.
Я.2). Если функции х(!), у(1) и г($) непрерывно днфференцируемы на отрезке (а, 9] и (х'(!)) +(у'(1)) +(х'(й)) ~ЕО Фч (а, Ь], то кривую называют гладкой. Непрерывную кривую, состоящую вз конечного числа гладких участков, называют кусочно авадкой. Покажем, что гладкая кривая Г является спрям иемой, т.е. ее длина вг конечна. Точками 376 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА разобьем отрезок [а,Ь] иа частичные отрезки [Ц 1,Ц] (1= =1,«).
Этим значениям параметра 1 на кривой Г соответствуют точки Ме, М1, Мз, ..., М; 1, М;, ..., М„1, М„= Ф (см. рис. 9.1), которые являются вершинами ломаной, вписанной в кривую Г. Длина звена ломаной между соседними точками М; 1 и М; (1 = 1, «) равна Ц= (х(Ц)-х(Ц 1)) +(у(Ц)-у(Ц 1)) +(г(Ц)-г(Ц 1)) . (9.2) Для непрерывно диффереицируемых на отрезке [а, Ь] функций х(1), у(1) и я(1), согласно теореме Лагранжа [П], имеем х($;)-х(г; 1)=х'®)М, у(г;)-у(1; 1) =у'ЫгМ;, х(1;) — г(Ф, 1) = «'ф)ЬЙ;, 4;, и;, ~; б [Ц 1, 1;], где Ьг; =г; — г; 1 ) О (1= 1,«).
Подставив эти выражения в (9.2), получим Д1г < Мз+Мз+Мз~и; где М, М„и М, — наибольшие значения функций [х'(1)~, ~у'($)[ и [г'(1)[ на отрезке [а, Ь]. Это неравенство приводит к оценке сверху периметра рассматриваемой ломаной: в р=у ц<~/и,'+и„'~м,'ь- ). (9.з) гю1 Длиной вг кривой Г называют предел (если ои существует) периметра р вписанной в эту кривую ломаной при шах ЬФ; =Ь-+О [П]. При измельчении разбиения отрезка [а, Ь] вж1,в любая новая точка деления 1, б [а, Ь] добавит новую вершину М, ломаной, что не уменьшит периметр р.
Таким образом, при любом измельчении разбиения отрезка последовательность значений р будет неубывающей и в силу (9.3) ограниченной. Согласно «риз«оку Вейерштрасса сходимости ограниченной монотонной последовательности, такал последовательность 377 9.2. Дамма кривом имеет конечный предел. Рассуждал так же, как и в доказательстве теоремы 6.4, можно показать, что указанный предел не завнсит от выбора последовательности иэмельчающнхся разбиений.
Это доказывает спрямляемость гладкой кривой Г. Ясно, что кусочно гладкая кривая также спрямляема, причем ее длина является суммой длин гладких участков, что непосредственно следует из свойства аддитивности длины. Перейдем непосредственно к вычислению длины гг гладкой кри- воЙ Г. Дифференциал длины дуги пространственной кривой Г, координатное представление (9.1) которой содержит непрерывно дифференцируемые на отрезке [а, в] функции, равен Й. (9.4) Иг(1) = Ь(ь) пь = Геометрически значение функции Ь(ь) равно длине вектора ~г'($)[ производнои вектор-функции г($), годографом которой является кривая Г.
Функция Ь(1) непрерывна на отрезке [а, В] н поэтому имеет первообразную. Одной нз первообраэных является функция г($), значения которой равны длине дуги кривоЙ от начальной точки Мо до текущей точки М (см. рис. 9.1), соответствующей текущему значению параметра ь. Длина всей кривой Г равна ь ь гг = Нг(ь) = Ь(а) й = а а ь а оь. (9.5) Кривую, лежащую в некоторой плоскости, называют плоской. Выбрав эту плоскость за координоньную плоскость хОу, получим представление плоской кривой Г в виде х=х(1), у=у(С), я=О, Ьб [а, Ь~, (9.6) 378 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА причем уравнение г=О обычно опускают.
Если функции х(1) и у($) непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, о], то плоскел кривая Г спрямляема, причем дифференциал длины ее дуги, согласно (9.4), равен дг(Ь) = у(1) д1 = й. (9.7) Непрерывность функции у(ь) на отрезке [а, о] позволяет для длины кривой Г получить ь Ь ь лг = <Ь(1) = у(Ф) Й = Й. (9.8) Еслн плоская кривая Г зз дана уравнением р=р(р), уЕ Е [а, ф]), в полярной системе координат (рис. 9.3) с нолюсом в начале прямоугольной декартовой системы координат и полярной осью Ор, направленной по осн Ох абсцисс, то вместо (9.6) можно записать х = р(р) совр, у = р(~р)вьпу, у Е [а, 8]. (9.9) Здесь роль параметра кривой выполняет ноллрный угол у. Если функция р(<р) непрерывно дифференцируема на отрезке [а, 8], то получаем х'(Ьо) = р'(р) совр — р(р) Йп р, у'(у) = р'(р) ет~р+ р(р)совр и вместо (9.7) и (9.8) имеем соответственно 379 9.2.
Длнна кривой График непрерывно дифференцируемой на отрезке (а, Ь] функции Дх) является гладкой (а значит, и снрямляемой) плоской кривой с координатным представлением Г = ((х; у) Е Е: х = х, у = Дх), х Е (а, Ь]) . (9.11) В этом случае роль параметра кривой выполняет аргумент х, а вместо (9.7) и (9.8) получаем соответственно Ш вЂ” ~/1+(~ ( ))2Ю др — /~/~~(/(~))2И (9 11) а Именно при явном задании плоской кривой Г в виде у = = Дх), х Е (а,Ь], нетрудно установить связь формулы для длины лг с соответствующей инпчегральной сумнод.
Разбиению Т=(хо=а, х1, ..., х„=Ь) отрезка ~а, Ь] на кривой Г отвечают точки Мо, М1, ..., М„= У (рис. 9.4) с ординатами уо, у1, ..., у„ соответственно. Эти точки являются вершинами ломаной, которую образуют отрезки, попарно соединяющие соседние точки М; 1 и М; (1=1,н). Длина звена ломаной между точками М; 1 и М, равна Рне. 9.4 380 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Налюбомчастичномотреэке [х; 1, х,]С[а, Ь] длиной Ьх; для нецрерывио дифференцируемой на отрезке [а, 9] функции у = = Дх) выполнены условия теоремы Лагранжа [П], так что у(х;) — у(х; 1) =~'ф)(х; — х; 1) =~'((;)Ьх,, ~, Е (х; 1, х,). Тогда длину всей ломаной можно записать в виде интегральной суммы фу~да у( )=ф~.(~(*)) еа*тр ~,ь) Пусть Ь = так Ьх;. Согласно определению длины кри- 1=1,и вой [П], вг= Бт в„, 4~0 причем этот предел существует и конечен, поскольку в силу непрерывности функции у(х) он равен определенному интегралу в (9.12) (см.
6.2). Пример 9.1. Дугу эвольвеиты окружности зададим уравнениями х(1) = а(савй+йвшй), у(1) = а(вт1 — 1совФ), Ф е [О, х], (9.13) где а — радиус окружности, а параметр $ соответствует центральному углу точки касания квсаиельиой при движении этой точки по окружности (рис. 9.5). Для нахождения длины дуги эвольвенты, учитывал (9.7) и (9.8), последовательно Рис. 9.9 381 вычислим я/(1) = афсоай, у'(Ф) = айв$пй, Ыв(й) = й= ( 1 2~ 12 вГ= /2вЯ= а1Й=-а1 ~ =-и а. 2 !о 2 о о Пример 9.2.
Вычислим длины: а) витка арки.иедовой спирали, заданного уравиеиием р = ау, у Е [О, 2я], в полярных координатах; б) дуги параболы г(х) = ая2, х е [О, о1. а. Используя (9.10) и витегрироваиие по частям, получаем Йр = аф + !р2 Йр, 2!г 2Ф ег-| !/!+~ФФ=ю!/ +Ф~ ~о,/ 2~/1+аз о 2!! о Г (1+,Р2) 1 =2~~~/3~-4 ~ — ! Юу= / /~+ 1о2 2к о 2к г жр =2а Ъ/!+4 ~ — |!/!+у~ЮФ+ ! . (9.!4! / ф — ~--Г о о Отсюда с учетом табличного интеграла 16 | =1и ~!р+ ф+!!22~+С /1+ '2 иаходим 2!! 2!г , ° г ц ар= |!/!~уИу= !+4г~+ — ! 2 „/ Г1.~.~2 о о а !2В = к~!/!+4~~!--! ~у!.!/!+у~!! 2 о 2 =~ !/$!-4 ~~-! (2ж!- !~4 г).
362 Э. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА б. Используя (9.12) и прием, примененный при вычислении интеграла в предыдущем примере, получаем =~~~+7( ))*~*- о 6 1 — 1+ (2ах)лдх = — / 1+ (2ахра(2ах) = 2а„/ о о =-,/Г+)й7+ — ь(2~ь~,/Г~+)йь)'). в Ь 1 2 4а Плоская кривал Г может быть задана уравнением вида й = = к(в), где к — кривизна и иоскоб кривой, а з — переменная длина дуги этой кривой, отсчитываемая от ее некоторой точки Ме (з называют на)пуральным параметром кривой).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
