Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Кривизна плоской кривой может быть У 1 ° <6в вычислена по формуле [1Ц М ~Ь Й(з) = —, (9.15) ао(з) о а1з1 ) ~ где а(з) — угол между кя О хл х к+ах х сательной к кривой в точке М, соответствующей значеРне. Э.В нию з, и осью Ох (рис. 9.6). Если задано уравнение й = Й(з), называемое иногда натуральным уравнением кривой, то при помощи определенного инплеграла с переменным пределом иэ (9.15) можно получить Йю(з) = Цз) дз и о(з) = оо+ Й($) Й, (9.16) о где ае — угол наклона касательной к кривой в точке, от которой отсчитывают натуральный параметр в. Поскольку Их =сова(з)дз и Ыу=зта(в)дз (см.
рис. 9.6), координаты текущей точки кривой можно найти также при 888 Э.2. Длиыа краеой помощи интегрирования: х(з) = хо+ сова(з) Нз, у(з) = уо+ в!по(з) Из. (9.17) о о Здесь хо и уо — координаты точки отсчета параметра з. Таким образом, путем интегрирования по заданному натуральному уравнению кривой можно восстановить ее координатное представление. Пример 9.3. Пусть задано соотношение Вз(з) =2аз для радиуса В(з) кривизны плоской кризоа. Согласно определению кривизны [П], к(з) = 1/В(з) = 1/~/2аз, и в силу (9.16) о(з) =аз+ / =ао+1~-~Й~ =ао+~( — (9 18) l ~/2аФ а 1о а' о Выберем оо = О, т.е. примем, что в точке отсчета параметра з касательная к кривой параллельна оси Ох, и из (9.18) найдем в=пад/2 и до=пайи. Используя зти равенства при замене переменного интегрирования в (9.17), для координат текущей точки кривой получаем а а х(о) = хо+ а (совЩ = хо+ а ~И(в1пс) = о о О 1а =хо+ас~в1п4~ — а/ в1пЩ=хо+а(ав1по+сово — 1), о о а а у(а) = уо+ а ~в1п Щ = уо+ а ~а(-сов~) = о о а = уо — а~сов~~ +а совЩ = уо+ а(вто — асово).
~о о 384 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА~ Если отсчитывать параметр в от точки Мв кривой с коордвнатами яв= а и ув =О, то придем к координатному представлению эвольвеиты окружности в виде (9.13), причем в этом случае о = $ (см. рис. 9.5), а значение а соответствует радиусу окружности. 9.3. Площадь плоской фигуры Воэможность применения определенного инизеграла к вычислеиию площади плоской фигуры непосредственно следует из его геометрического смысла. Строгое обоснование этой возможности опирается па понятие площади многоугольника, т.е.
плоской фигуры, составленной из коиечвого числа треугольииков и (или) прямоугольников, а способы вычислеиия площади треугольника и прямоугольиика предполагаем известными. Дадим определеиие площади плоской фигуры, отличное от приведенного в Д.1.1, но не противоречащее ему. Пусть множество А состоит из многоугольников, целиком включающих в себя некоторую плоскую фигуру Р, а множество  — из многоугольников, целиком содержащихся в этой фигуре. Ясно, что любой многоугольник из А целиком включает в себя любой многоугольник из В. Поэтому множество Яв площадей всехмпогоугольниковиз В ограничено свергуплощадьюлюбого многоугольника из А и, следовательно, имеет единственную пючную верхнюю грань о'.
Множество ЯЛ площадей всех многоугольников из А ограничено снизу (иапример, нулем) и имеет единственную точную нижнюю грань Я,. Определение 9.1. Плоскую фигуру Р называют квадрируеллоб (т.е. имеющей площадь), если точила верхняя грань Я' множества площадей всех включенных в эту фигуру многоугольников равна точной пижией грани Я, множества площадей всех многоугольников, включающих в себя зту фигуру, причем число о' = Я' = Я, называют львоиладью данной плоскоб фигуры. 385 9.3.
Пиощаль ялоскай авгуры Легко видеть, что для существования площади плоской фигуры Р (квадрируемости фигуры Р) необходимо и достаточно, чтобы для любого с > 0 нашлись такие два многоугольника Р~ и Рэ с площадями Я~ и Яэ соответственно, что РкСРСРэ и Яг — Я1<с.
Действительно, необходимость этого условия вытекает из основных свойств точных граней ~1-2.7], а именно: для выбранного с>0 найдутся такие многоугольники Р~ С Р и Рэ ЭР с площадями Я~ и Яэ соответственно, что Я~ > Я вЂ” с/2 и Яэ < Я+ е/2, где Я вЂ” площадь фигуры Р.
Из указанных двух неравенств вытекает неравенство Яэ — Я~ < с. Чтобы доказать достаточность сформулированного условия, запишем неравенство Я! <Я. < Я'< Яэ, которое выполняется по определению значений Я, и Я', вычисленных для фигуры Р> для любых многоугольников с площадями Я~ и Яэ. Если для произвольно заданного с > 0 выполняется неравенство Яэ — Я~ <с, то также верно и неравенство Я' — Я, < Яэ — Я~ < с.
Но зто возможно только при Я, = Я', что равносильно квадрируемости фигуры Р. Доказанный критерий квадрируемости можно перефразировать следующим образом. Для того чтобы фигура Р была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы существовали последовательности многоугольников (А„1 и (В„1, содержащихся в Р и содержащих Р соответственно, площади которых имеют общий предел: Этот предел, очевидно, и будет площадью фигуры Р. Доказанный критерий в той или иной формулировке останется верным, если в нем вместо многоугольников рассмотреть произвольные фигуры, квадрируемость которых уже установлена,. В частности, если для данной фигуры Р построены две последовательности прямоугольников (Р 1 и (Я„), 386 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Я(Т) = ~~ М;»лх» и ЯТ) = )~~»п»»ах», »ах» = х; — х; 1, »ю1 »=1 фуикции Дх), имеющей точные верхнюю и нижнюю грани М; = вир [(х) хе[а»-ь е»1 и т; = 1в» [(х) еи[е» из»» иа каждом частичном отрезке [х; 1, х»~ некоторого разбиения отрезна [а, Ц, можно рассматривать как элементы множеств ЯА и Яц площадей многоугольииков, целиком включающих эту фигуру и целиком содержащихся в вей соответственно (иа рис. 9.7 зиитриховаиа площадь из множества Яв). В силу критерия Дарбу для интегрируемой на отрезке [а, Ь) функции Дх) вижняя и верхияя точные грани, достигаемые на всевозмож- У У(х) ных разбиениях этого отрезм» ка верхпеи и вижнеи суммами Дарбу соответственно, совпадают и равны определенному интегралу.
Поэтому, и»» согласно доказанному критерию квадрируемости, криво- О хв а х» х»1 х» х„» х„=Ь н линейная трапеция, ограниРне. в.т ченная витегрируемой на от- для которых Р„С РСь)„, п=1,2,..., и площади которых стремятся к общему эвачению Я, то фигура Р квадрируема, а ее площадь равна Я. Отметим беэ доказательства, что если граница плоской фигуры состоит иэ одной или нескольких гладких (кусочпо гладких) кривых, то эта фигура квадрируема. Пусть плоская фигура в виде криволинейной трапеции имеет основанием отрезок [а,в] и ограничена графиком неотрицательной интегрируемой на [а,[»1 функции ~(х). Верхнюю У и нижнюю Д суммы Дарбу 387 9.3. Пинцадь олеская фигуры резке [а, Ь] неотрицательной функцией ~(х), квадрируема, и площадь этой трапеции равна (9.19) Прежде чем перейти к вычислению площадей более сложных фигур, выясним геометрический смысл определенного интеграла от функции д(х), интегрируемой на отрезке [а, Ь] и неположительной на нем: д(х) < О Ух Е [а, Ь].
Рассмотрим функцию ~(х) = -д(х) ~~ О Ух Е [а, Ь], график которой, очевидно, симметричен графику функции д(х) относительно оси Ох (рис. 9.8). Поэтому площади У и Я фигур аЬВ'А' и аЬВА соответственно равны между собой. Используя (9.19), имеем А Рие. Э.в В силу линейности определенного интпеграла получаем т.е. определенный интеграл на отрезке [а, Ь] от неположительной на нем функции д(х) равен взятой с обратным знаком площади криволинейной трапеции, имеющей основанием данный отрезок и ограниченной графиком этой функции. Если функция Дх) на отрезке [а, Ь] конечное число и раз меняет знак (рис. 9.9), то интеграл по этому отрезку, используя аддитивносеь определенного интеграла, можно разбить на 388 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА сумму интегралов по таким отрезкам, на которых данная функция знакопостоянна: Ь а1 Ь 7(х) Их = /(х) Их+ /(х) Нх+...+ /(х) Ых. Тогда получим, что интеграл наотрезке (а,6] будет равен алгебраической сумме площадей криволинейных трапеций, имеющих основаниями отрезки знакопостоянства рассматриваемой функции: Рве. 9.9 Пример 9.4. Используя геометрический смысл определенного интеграла, вычислим интегралы зк/3 а) в1п~ х Их; б) сов~ х ~Ь.
о о а. В силу аддитивности определенного интеграла Зк/2 к/3 к Зк/2 | в|в хЫх= вьп хпх+ вьп хЫх+ в1п хдх. ° т о к/2 к График функции в1п х на отрезке (х/2,3х/2) симметричен относительно точки оси Ох с абсциссой х = х (рис. 9.10). Поэтому площе ди Яз и Яз равны между Рис. 9.10 389 Я.З. Площадь алоской фигуры собой, т.е. з /з о/г Ф Тогда, используя результаты примера 6.15, получаем зо/3 о/1 | 246 16 в!и хНх= / в!и хНх= 1357 35 б. График функции сов4х на отрезке [О,х] симметричен относительно прямой х = х/2 (рис. 9.11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
