Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 49
Текст из файла (страница 49)
3х Г з 3/ а (9.38) Пример 9.12. Вычислим объем тела, ограниченного пзрехосным эллипсоидом, заданным каноническим уравнением хз уз хз — + — + — =1 аз бз сз о (х) = хб(х) с(х) = — (а — х~). з Тогда, используя (9.33), получаем О хбс Г з з хбсГз 1 з1О 4 У= — ( (а — х )дхОΠ— [а х — -х 1 =-хабс. (9.39) аз аз1 3 1О 3 О где а, 6 и с — полуоси эллипсоида. Ясно, что при любом разбиении отрезка [-а, а) принятое при получении (9.33) предположение будет выполнено. Плоская фигура в перпендикулярном оси Ох сечении зллипсоида, имеющем абсциссу х б [-а, а], *РР~Р ~~ 9 Ь(Р)=Ьф Р( Р (*)— =~~/1- Р/ Р, ~М. Щ 9 * Р (~ Р Р9.5) 407 9А.
Объем тела Отсюда беэ интегрирования можно получить объем эллипсоида вращения, ограниченного поверхностью вращения, которая образована вращением эллипса вокруг осн Ох (а ~6 о = с), Оу (6~а=с) или 02 (с~ба=Ь). В частном случае а=о= =с= В получаем объем (4/3)яВэ шара радиуса В. Пример 9.13. Шаровой сектор можно рассматривать как тело, полученное вращением вокруг его оси Ох криволинейной трапеции в виде кругового сектора ОАВ (рис. 9.27). Объем $~ шарового сектора удобнее представить, используя свойство адднтивности объема, суммой объемов К, и У„где К, — объем конуса с вершиной в центре О ше и ра, Ке — объем шарового сегмента высотой Ь, имеющего с конусом об- Р Ь щее основание — круг радиуса г = = ~/и~ [е-ь~~ = ~/Ц[2е ~й [и— радиус шара).
Конус образован вращением треугольника ОРВ вокруг осн Ох, ограниченного на отрезке [О,  — Ь] прямой ОВ, имеющей уравнение у = гх/( — Ь). Принимая в данном случае в (9.34) Дх) = гх/( — Ь), находим и-л 2 о что соответствует известной иэ элементарной геометрии формуле для объема конуса, равного произведению площади основания и трети высоты. Шаровой сегмент образован вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции РАВ, ограниченной графиком функции Л*)=~~-* н~ р [е — ~, е). е~н~~уя~юы[ъз4), вычисляем 1/с=х ~ ( — х )Ых=х~В х — -х ] =хЬ ~ — -).
(9.41) г 12 121 г/ 3! л ~ 31' 408 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Объединяя (9.40) и (9.41), в итоге для шарового сектора получаем ~ = К, + К, = (2/3)1г Взй. Пример 9.14. Для вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной арки цикловды (рис. 9.28), заданной параметрическими уравнениями х(2) = а(2 — з1п 2), у(2) = а(1 — созз), 2 Е [О, 2я'), (9.42) используем (9.37): Ъ',. = и у (г)х'(г) аг = 1г а2(1 — соз$) а(1-соз$)аз= а о 2к = паз (1 — Зсоз2+Зсоз22 соззз)аз о 2ю з 1+ соз2$ =ха / ~1 — Зсозз+3 2 — (1 — згп $)соз$) й= о )2к =1га ~-$ — 4з1п$+-з!п2г+-згп 2)~ =бх а . згб . 3 ° 1 ° з~) г з ~2 4 3 Пример 9.1$. Найдем объем тела, образованного вращением вокруг полярной оси кривой р(у) = азгпу. Эта кривая определена при 1о б [О, х/2) 0 [х, Зк/2) (рис.
9.29), и в силу симметрии полный объем равен удвоенному объему тела вращения Рис. 9.29 Рис. 9.29 409 9А. Объем тстав одного лепестка кривой. Используя (9.38), находим уг л/3 4 з У =2 — р~(р)з!пррр=-ггаз з!пз2~рв!п~рйр= 3,/ 3 о о ~!з зг/3 32 /' . з ° 4 ° в 3 = — ха в!в~усов~!рйр= — гга (гйп у-з!п у)г!(з!пу)= о Как и в случае площади неограниченной плоской области (см. 9.3), можно исследовать вопрос о кубируемости неограниченной области в пространстве. Для этого следует выразить в виде определенного ингпеграла объем такого кубируемого конечного тела, включенного в рассматриваемую неограниченную область, которое заполняет ее прв стремлении к пределу одного из размеров этого тела, а затем исследовать сходимость получающегося при предельном переходе несобсгпеенного инпьегр ела, П имер 9.16.
Рассмотрим непрерывную на всей числовой р м прямой И функцию у(х) =1/(1+х ). В примере 7.2 вычислепа площадь неограниченной области между графиком этой ф нкции и осью Ох. Если криволинейную трапецию, имеющую у кц основанием отрезок [О, Ь] в ограниченную графиком данной функции, вращать вокруг этой оси, то получим тело с объемом ь г г1х Г1+ — г Ь г г ~(Ь)= / = У,, ах=-( гбЬ+1 Ьз), — 1( +*) — У ( +*) о о а если вращать вокруг оси Оу, то объем тела будет равен ь У (Ь) = 2х = х(п(1+ х )! = и!п(1+ Ь ) 1+х ~о о 410 а пРилОжениЯ ОНРеДеленнОГО интеГРАлА (У (6) вычислено с использованием (9.34) и интегрирования по частям, а 6з(6) — с применением (9.36)).
При Ь-++со имеем К (6) -+ Р = (х/2)з (+со, т.е. полученное таким образом неограниченное тело кубируемо. При вращении всего локона Аньвзи вокруг оси Ох получим тело, напоминающее по форме веретено и имеющее (в силу симметрии) конечный объем яз/2.
Наоборот, объем тз(6) дискообразного тела, похожего на „летающую тарелку", при Ь -++со неограниченно возрастает, а получающееся при этом тело не является кубируемым. 9.5. Площадь поверхности В отличие от понятия площади плоской фигуры понятие площади произвольной поверхности является существенно более сложным. Здесь ограничимся рассмотрением лишь двух, но достаточно распространенных классов таких поверхностей: поверхностпей вращения и цилиндрических.
Пусть гладкая плоская кривая Г лежит в координатпной плоскости хОу прямоугольной системы координат Охух и задана параметрическими уравнениями х=х(Ф), у= у(т), Ф е [а, Ь]. (9.43) Такая кривая является спрямллемой (см. 9.2), т.е. ее длина зг конечна. Значения параметра 1=а и 1=6 отвечают начальной и конечной точкам А и В соответственно (рис.
9.30). У Поскольку на гладкой кри- Г вой Г особые точки отсутству- А„, ют, то можно перейти к натуральному параметру з — переменной длине дуги этой кривой, отсчитываемой от точки А. Тогда уравнения кривой примут А чят-г ввд х = Дз), у = т1(з), з с [О, зГ], Ат хтл х' " где зг — длина всей дуги АВ. Рис.
9.30 Пусть т1(з) ) 0 тз Е [О, зг]. 411 9.Б. ПлолГадь поворхносте Разобьем дугу АВ в направлении от А до В точками Ае-— А, А~, Аэ, ..., А„=В и рассмотрим ломаную АоА~Аг...А„, вписанную в кривую. При вращении кривой Г вокруг осн Ох зта ломаная опишет некоторую поверхность. За площадь Яг поверхности вращения кривой Г принимают предел, к которому стремится площадь поверхности, описываемой ломаной при стремлении к нулю наибольшей из длин Ьз; (1 = 1, и) частичных дуг при измельчении разбиения дуги АВ. Такое определение площади Яг позволяет вычислить ее.
Точкам Ао —— А, Аг, Аз, ..., А„= В на кривой Г соответствуют возрастающие значения ю 0= во < зг < зз « ... з; ~ < з; < ... < з„= вг. Каждое звено ломаной при вращении описывает боковую поверхность усеченного конуса (в частных случаях конуса или цилиндра, также могут быть круг или кольцо). Если обозначить ординаты точек А; г и А; через у; ~ -— 0(з; г) и у;=0(з;) соответственно, а длину эвеыа А; ~А; через 1; (см. рис. 9.30), то площадь поверхности, описываемой звеыом с номером г, будет 2гг(у; ~+у;)1;/2, а площадь поверхности, описываемой всей ломаной, о Я„=2я~ ~' ' '1;.
2 Полагая Ьз< = з; — з; г, 1= 1,а, представим зту сумму следующим образом: о о Я.= Еч(в; 1)ьз;+яка(з;)Лз;— в=! гю1 о — гг ~ (у; г+у;)(Ьз; — 1;). (9А4) М1 Неотрицательная функция у = г1(з) непрерывна на отрезке 10, вг1. Следовательыо, она ограничеыа на нем, т.е. существует 412 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА л в О ( т = ~г) (у; г+у;)(Ьв; — 1г) ~ 2~гМ(зг — ~ 1;).
(9.45) Согласно определению длины дуги кривой, при разбиении кривой на все более мелкие части разность в зг ~ Ыа зы1 стремится к нулю, а значит, и (9.46) 1ип т =О, й-ьо где Ь= гпахЬз;. М1,в Первая и вторая суммы в правой части (9.44) являются интегральными суммами функции у = г1(з) на отрезке [О, зг). Эта функция непрерывна на [О, вг).
Поэтому существует интеграл от функции р = г1(з) на этом отрезке, а значит, существуют равные между собой пределы каждой из указанных интегральных сумм при Ь -> О. Переходя в (9.44) к пределу при Ь -+ 0 и учитывая (9.45) и (9.46), получаем в 1ип о =я 11т,у,г1(в; г)~в;+ й-+о й-+о, а + к 1ип ~~1 г1(з;)Ьз; — !ип т = 2гг / т1(в) г1з. й-~О . й-ьО аж1 о Следовательно, рассматриваемая поверхность вращения имеет площадь ~г Я = 2я г1(з) г1з. о (9.47) такое число М) О, что 'б=1,а 0< у; ~+у; <2М. Поэтому для последней суммы в (9.44) с учетом 1; ( Ьз;, г = 1,п, запишем 413 9.о. Площадь поверхности Если вернуться к заданию гладкой плоской кривой Г в виде (9.43), то, проведя в интеграле (9.47) замену переменного, получим Ь Ь Я=2х у(1)сЬ(1) =2я уЯ й.
(9.48) В частности, если гладкая плоская кривая Г задана уравнением у= Дх), х Е (а,Ь], т.е. в роли параметра 1 выступает переменное х, то вместо (9.48) будем иметь Ь Ь л=.2 /Р),)Р ),)=Р,1 Р),)~/~~Р)Р) ))'Р . )Р4Р) а а Вращение этой кривои вокруг оси Оу (при а) О) образует поверхность площадью Ь Ь ю=2+й)*)=2+))1рр+))р())) р».
(9.50) Р Р л 2 1 Р)Р)Р~)Р)=2 ~Р)РРР РРР'(ф+))Р)Р)) РР. )951) Пример 9.17. а. Найдем площадь поверхности, образованной вращением петли кривой 9у =х(3 — х)л вокру — ( — )з вок г оси Ох. Отметим, что формула (9.49) сохраняет смысл и тогда, когда функция Дх) изменяет знак на отрезке (а,е]. В этом случае в подыктегральном выражении сомножитель /(х) следует заменить на ~~(х)~. Если кривая Г задана в полярной системе координат уравнением р = р(у), <р Е (о,)8], то из (9.47) для площади поверхности, образованной вращением этой кривой вокруг полярной оси, получим формулу '414 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Кривая симметрична относительно оси Ох (рис. 9.31).
с... Поэтому при вращении верхняя и нижняя части петли образуют одну и ту же поверхность. Для верхней ветви кривой при 0 < х ( 3 имеем у(х) = (3 — х)~(х/3 ) О. Отсюда О 1 2 х дифференциал длины дуги 2 х+1 -1 гЬ= 1+(у'(х)) г1х= — Их. 2„Гх Используя (9.49), получаем о = 2х — ~/х — Нх = — 1 (3+ 2х — г ) Ы ,/ 3 2~/х 3,/ о = -13х+ х — — ) = -(9+ 9 — 9) = Зх.
б. Вычислим площадь поверхности вращения вокруг оси Оу одной арки пиклоиды (см. рис. 9.28), заданной в виде (9.42). В данном случае дифференциал длины дуги ав(1) = 1 й = 2авгп - й. 2 Выражая в (9.50) х через $, находим 2« 2« Я =2х х(1)Нв(1) =2й а(1 — в1п1)2ав1п-г11 = 2 о о 2« 2 = 4гга И(-2сов4 — 8ха2 вгп2- сов- й = о о 2« Я2" 2/' 1 16 2 . 21~2 = -8ха~1сов-~ +8ха сов-г11 — — ха гйп о 2 г" 22 2~о = -8ха~(-2х)+16ха вгп-~ = 16х а . 415 Ы.ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
