Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Причина этого та же, что и в случае с формулой прямоугольника, когда узел квадратурной формулы совпадает нли не совпадает с серединой отрезка [а, 01. Выбор средней точки ссе(а+о)/2 отрезка в качестве одного из трех узлов квадратурной формулы (в'формуле Симпсона) позволяет рассматрнвать его как кратный уэел интерполяции, в котором 472 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ помимо зыачеыня функции 1(с) задано еще ы зыачеыие /"'(с). Соответствующий иитерполяцыонный мыогочлен будет уже не квадратыой параболой (10.20), а кубической у(х) = Дс)+ (х-с)+2 (х-с) + Ь йг + ~Я(с) (х — а) (х — с) (х — Ь), (10.38) где Ь = Ь вЂ” а — длина отрезка (а, Ь]. Последнее слагаемое в (10.38), обращаясь в нуль в каждом узле и являясь нечетыой функцией аргумеыта х — с, при интегрировании ые даст вклада в квадратурную формулу,так что конечный результат совпа; дет с (10.21).
Отметим, что (10.38) описывает все кубические параболы, проходящие через три заданные с постоянным шагом точки. Поэтому (10.22) точна, если ~(х) = Р„(х) при и( 3. Если при интегрировании в (10.21) испольэовать квадратную параболу, совпадающую с интерполируемой функцией Дх) на концах отрезка и в любой его выутреыней точке, отличной от его середины, то получим квадратурную формулу, имеющую порядок точности на единицу меыьше.
Напомним, что также на единицу уменьшается порядок точности квадратурной формулы щимоуголькика, если узел не совпадает с серединой отрезка. Ясно, что любое разбиение отрезка 1а, Ь] вида (10.12) при четном и = 2пг, симметрычное относительно узла х в середине отрезка, позволяет к интерполяционному многочлену Р„(х) степени а, совпадающему с интерполируемой функцией Дх) в (а+ 1)-м узле, добавить слагаемое (хр~)(х — хо)...(х — хщ 1)(х — х~д)(х — хр~+1)...(х — ха). Это слагаемое также обращается в нуль во всех узлах и, являясь нечетной фуыкцией аргумента х-х, не дает вклада при интегрироваыии, но обеспечивает (а+2)-й порядок точности квадратурной формулы, тогда как использование произвольного 1о.о.
Прмбенаенме многочлемамн нысиисс стеиеней 473 ь В; = — ) р;(х)йх, 1и,1 =6~~ В;Д, (10.39) 1 Г где у;(х) — многочлены степени не выше иЕ И и Д= 1(х;). В качестве р,(х) выберем интерполянионкые многочлены Ла- гранхса степени ж 1,,1 =О,п. (10.40) ЭФ» Отметим, что многочлен ~р;(х) равен единице в узле с номером 1, а в остальных узлах равен нулю, т.е. у<(х;) = 1, х; = а+ 1Ь, и у<(х ) =О, 1~61. Используем замену х = а+И (йх = Ьй). Тогда узловым значениям х; будут соответствовать значения Ц = е, 1=0,п, а для коэффициентов В; в (10.39) с учетом (10.40) получим и о е; 1 П вЂ”..)е, ~,~ о,».
уме о' Ясно, что коэффициенты В;, 1=0, и, называемые коэффициентами Коеиеса, являются рациональными числами, которые интерполяционного мпогочлена степени и гарантирует лишь (и+1)-й порядок точности. Таким образом, предпочтительнее испольэовать квадратурные формулы, соответствующие симметричному разбиению отрезка интегрированвя на четное число и частичных отрезное. Квадратуриые формулы, построенные по интерполяционным многочленам на равномерном разбиении отрезка [а,Ь] интегрирования, называют формулами Ньюжоиа — Котеса (Р.
Котес (1662-1716) — английский математик, ученик И. Ньютона). При длине Ь = (Ь- а)/и частичного отрезка разбиения, обозначив В; = А;/а, 1=0,и, вместо (10.4) и (10.6) запишем 474 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Таблица 10.! Первая строка этой таблицы отвечает формуле (10.8) трапеции, а две последующие строки — формулам (10.22) параболы и Ньютона соответственно. Нетрудно проверить, что для формул Ньютона — Котеса справедливо равенство А; Ь вЂ” а До и = 7 включительно все коэффициенты Котеса положительны, так что условие (10.7) сохранения обусловленности задачи вычисления интеграла (10.1) выполнено. Но при и ) 8 некоторые коэффициенты становятся отрицательными, что приводит к неравенству и=~~1 ~А;~) ~А;=о — а (10.41) и повышает абсолютпное число обуслоеленностпи квадратурной формулы, т.е.
ухудшает обусловленность этой задачи. Так, при фиксированном а можно привести к общему знаменателю У и представить в виде В; = Я;/У, где о; Е л.. В табл. 10.1 приведены значения Ф и Я; для п=1,10 (в силу симметрии я~ = Ъ-в). 1о.о. Припеимеыые иыогочлеыаыи высших етеиеыей 4ТЬ и/(Ь вЂ” а) т3,1, 8,3 и 560 при и=10, 20 и 30 соответственно. Вследствие ухудшения обусловленности формулы Ньютона— Котеса при и > 10 практически не применяют. Если на концах отрезка [а, Ь] помимо значений /(а) и 1(Ь) функции 1(х) известны еще и значения 1'(а) и /'(Ь) ее производных, то на нем можно построить кубический инжерполяционный многочлен Эрмита з2(х — а)+Ь Оэ(х) = У(а)(Ь вЂ” х) э + э2(Ь вЂ” х)+Ь + /'(а) (Ь вЂ” х) — з + /(Ь) (х — а) + + /'(Ьих — а) ~ —, Ь = Ь вЂ” а, (10.42) называемый также кубическим сплайном. Если (10.42) подставить вместо /(х) в (10.1), то получим нвадраюурную формулу Эйлера — /(х) ах а,У = Ь + Л, (10.43) 2 е погрешность которой для функции 1(х), имеющей на отрезке [а, Ь] непрерывную четвертую производную, равна В = = Ь~/'"(~)/720, ~ б (а, Ь).
Первое слагаемое в правой части (10.43) отвечает формуле (10.8) трапеции, но учет значений производных на концах отрезка повышает порядок точности (10.43) по сравнению с (10.8) сразу на две единицы. При равномерном разбиении отрезка [а, Ь] на п частичных отрезков длиной Ь„= (Ь вЂ” а)/и и применении (10.43) на кз ждом частичном отрезке значения производных во внутренних узлах взаимно уничтожаются. В результате получаем формулу трапеций (10.15), но с так называемой концевой поправкой: 1=1 /(*)бх Л= — "У И +1;)+Ь вЂ” ", (10А4) 2 О 476 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ где Д=~(х<), х;=а+тй„1 Я=1'(а) и Д =~'Я.
Этаформула имеет погрешность В = (в-а)И„''~'"Я(720 и соответствует интерполяции функции 7'(х) на отрезке (а,в] фундаментпальиым кубическим сплабном. Если значения ~'(а) и /'(в) не заданы, то их можно найти численным дифференцированием, причем для сохранения четвертого порядка точности квадратурной формулы необходимо использовать формулы второго порядка точности (11]: Ут( ) ~Ь+~Л Ь Ут(й) ~У вЂ” 3 ~~У-т ~~У (10 46) 2Ь ' 2й Если же производные в (10А4) заменить соответственно на правую и левую конечные разностпи 1'(а) и ф — ~о)~й„ и У (о) Ф (У вЂ” Д„-т)/Ь„, имеющие лишь первый порядок точности, то (10.44) будет иметь только третий порядок точности. Интересно отметить, что при и=2 замена в (10.44) производных при помощи (10.45) прнведет к формуле (10.22) параболы, причем такая замена изменит выражение для погрешности и, вообще говоря, сместит положение точки ~ б (а, в), для которой следует взять значение /'"(Я).
Именно путем такой замены шотландский математик и астроном Д. Грегори (1638-1675) еще в 1666 г. вывел формулу параболы, вновь полученную Т. Симпсоном лишь в 1743 г. 10.6. Квадратурнан формула Гаусса Рассмотренные выше квадратпуриые формулы построены исходя из заранее принятого разбиения отрезка [а, в], на котором необходимо вычислить интеграл (10.1). При этом оказалось, что вне зависимости от расположения на отрезке узлов квадратпурной формулы она является точной, если подынтпегральноб функниеб является любой многочлен, степень которого на единицу меньше числа этих узлов.
Но если есть воэможность выбора расположения на этом отрезке некоторого фиксированного числа Ф узлов, то ее целесообразно использовать для 10.б. Квадратурыал формула Гаусса 477 построения формулы, точной для многочленов возможно более высокой степени. Формулу, удовлетворяющую такому условию, называют квадраупурной формулой Гаусса. Путем замены переменного интегрирования х = (а+ Ь)/2+ + (Ь вЂ” а)1/2 интеграл (10.1) можно привести к интегралу на отрезке [-1, 1], записав квадратурную формулу в виде | ~(х) дх = — 1~( — + — г)~й м 2 ./ 2 2 а -1 — ~~1 а;~( — + — 1<). (10.46) Именно для этого отрезка находят расположение узлов Ц Е Е [-1, 1] и значения весовых коэффициентов а;, при которых она является точной для многочлеяа Р„,(1) возможно более высокой степени т, т.е. (10.47) Сразу отметим, что не существует набора коэффициентов а;, 1= 1, 1у', обеспечивающих выполнение (10.47) для любого многочлена степени т = 2М и выше.
В самом деле, рассмотрим многочлен Р (1) =(1-11)'(1-1)'...(1-1л1)' степени т = 2Ж, для которого узлы квадратурной формулы являются нулями кратности 2. При подстановке этого много- члена в (10.47) слева получим положительное число, а справа— нуль. В силу линейности определенного интеграла для выполнения равенства в (10.47) необходимо и достаточно, чтобы оно 478 1О.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ было вериым для степеыной функции !", й = О, 1о. Отсюда по- лучаем 111+ 1 условие 1 !й+! ~1 1 ( 1)й+1 1~й= — ~ = = Са11~, Й=О,т. (10.48) й+1~ 1 й+1 -1 2 вА+аг1г = г г 3' а!11+ аг!г — — О, з г а!+ аг = 2, а1!1+аг1г =О, решением которой будут значения а1 = аг — — 1, 11 = -1/~Г3 и 1г = 1/1/3. Следовательно, квадратурнал формула Гаусса с двумя такими узлами (У=2) точна для миогочленов степени до 11! = 2Ф вЂ” 1 = 3 включительно, т.е. в зтом смысле равноценна формуле (10.22) Сим1!сома с тремя узлами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
