Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 59
Текст из файла (страница 59)
поправка станет меньше заданной максимзльнодопустимой погрешности е вычисления интеграла 1. Если же, начиная с некоторого этапа дробления, поправка не уменьшается или даже возрастает по абсолютной величине, то это, как правило, означает, что заданная точность не достижима иэ-эа влияния вычислительной погрешности. Метод Рунге можно применить не только для количественной оценки главной части погрешности, но и для получения более точных квадратурных формул.
Например, на отрезке (а, Ь] для формулы трапеции имеем , (, .)~(е)+ПЬ) 2 Первый этап дробления шага пополам приведет к значению 1(а) + 21 (с) + 1(Ь) а+ Ь 4 $1 2 а последующее уточнение за счет поправки даст формулу Симпсона: д~ — 1 /(а) + 4У(с) + У(Ь) ~0.7. Практическая оиевка вогрешмостм имтегрвроиаими 485 Метод Рунге не применим, если подынтегральная функция 1(х) не имеет производной нужного порядка, непрерывной на отрезке интегрирования [а, о], так как это не позволяет выделить главную часть погрешности квадратурной формулы.
В случае кусочно непрерывной и ограниченной на [а, и] производной /1"1(х) при известном наибольшем значении Му, ее абсолютной величины возможна лишь упомянутая выше грубая оценка абсолютной величины погрешности. Если функция 1(х) имеет на [а, о] ограниченную в кусочно непрерывную производную порядка р < Й, то это, как правило, снижает порядок точности квадратурной формулы до значения р. Для этого случая в табл. 10.2 приведены оценки абсолютной величины погрешности некоторых квадратурных формул с использованием наибольшего на [а,6] значения Мр абсолютной величины соответствующей кусочно непрерывной производной.
Стрелки в таблице означают перенос оценки вз столбца слева, т.е. наличие у функции 1(х) производной более высокого порядка, чем Й, не улучшает оценку. Таб пца 10.3 Из табл. 10.2 видно, что для функций, имеющих лишь первую или вторую производную, лучшие результаты дает формула (10.34) прямоугольников, а для функций, имеющих производные высоких порядков, выгоднее применять квадратурную формулу Гаусса. В ситуации, когда отсутствует информация о производных подынтегральной функции на отрезке интегрирования или же 486 1О. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ производные {е ограничены, можио формальио предположить, что существует главиая часть погрешности применяемой квадратурной формулы в виде Д = СЬ2, где С и а ие зависят от шага Ь разбиения отрезка и постояниы для конкретной зада чи вычисления интеграла 7 (10.1). Если выбрать три варианта разбиения отрезка (а,в] с шагами Ь1 —— Ь, Ьз=гЬ, Ьз=г2Ь и вычислить соответствующие приближеипые эиачения,71,,72, ,7з интеграла 7, то можно составвть систему трех уравнений: 7 — 72 = ~3г~,7 —,7з = )7г~' (10.55) 7-71= 8, где 7 — искомое уточненное значение 7.
Исключая отсюда 77 и г~, получаем (,71 — .72)2 2,7 —,7 —,7 (10.56) 2 1 3 Второе слагаемое в правой части (10.56) является поправкой, в которой числитель и знаменатель имеют одинаковый порядок малости, что ие приводит к эаметиой погрешности вычислений. Поэтому, чтобы избежать потери точиости, при вычислениях ие целесообразно приводить правую часть (10.56) к общему знаменателю. Попариым вычитанием уравнений (10.55) можно прийти к выражению для эффективного порядка точности применяемой квадратуриой формулы в виде 1 73 72 д= — 1и 1и г .72 —,71 ' (10.5Т) Рассмотренный прием использоваиия трех расчетов (в отличие от двух расчетов в методе Рунге) предложен английским математиком А. Эйткеиом (1895-196Т) для ускореивя сходи- мости итерационной последовательности, когда погрешиость убывает примерно со скоростью геометрической прогрессии. Это отвечает в данном случае постояииой кратности г дроблеиия шага разбиения отрезка иитегрироваивя иа каждом этапе вычислеиий.
1О.г. Практнчеокае оценка ногрешностн ннтегрнроааннк 487 Пример 10.1. Определенный интеграл на отрезке (0,1) от функции Дх) = ~Гх равен 2/3 и 0,6667. Если для вычисления этого интеграла использовать квадратурные формулы, то применить полученные оценки погрешноств не удастся из-за того, что в точке х = 0 производнал /'(х) = 1/(2/х) подынтегральной функции не ограничена. По значениям У(0) = = 0,0000, Д1/4) = 0,5000, /(1/2) = 0,7071, /(3/4) = 0,8660 и Д1) = 1,0000, используя формулу (10.15) трапеций, вычислим значения У1 = 0,6433, ,Уз — — 0,6036, ,Уз — — 0,5000 соответственно при шагах разбиения отрезка Ь1 — — 1/4, Ьз - — 1/2, Ьз - — 1 и по (10.56) найдем уточненное значение интеграла У = 0,6680, отличающееся от точного менее чем на с = 0,0015. В данном случае эффективный порядок точности формулы трапеций, согласно (10.57), д и 1,38 < Ь = 2, т.е.
он меньше установленного для дважды непрерывно двфференцируемой на отрезке подынтегральной функции и не является натуральным числом. Поэтому метод Рунге, строго говоря, не применим и может дать непригодные результаты. В самом деле, при уточнении методом Рунге получаем значения У00 = Уз + — = 0,6381, У01 =,У1 + — = 0,6565, эквивалентные вычисленным по формуле парабол с шагами Ьз и Ь1 соответственно, а при уточнении, в свою очередь, значения УП> приходим к поправке (Ф) —,У00)/15ке0,0012< с, согласно которов в качестве конечного результата с погрешностью не выше е можно принять 0,6577. Но отличие этого значения от точного составляет 0,0090 = бс. Если при шаге Ье= 1/8 вычислить по формуле парабол ,У(е> = 0,6631 в использовать его как третье значение наряду с Ф'> и У(з), то, согласно (10.56), получим уточненное значение интеграла 0,6668, а эффективный порядок точности формулы парабол в соответствии с (10.57) составит д ж 1,48 < й = 4.
Столь существенное отклонение эффективного порядка точности от теоретического является следствием особенности в 488 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВА НИЕ поведении на отрезке интегрирования производной подынтегральной функции и объясняет непригодность в данном случае результатов уточнения методом Рунге. Отметим, что в отсутствие особенностей это отклонение обычно малб, оно вызвано вкладом в погрешность квадратурной формулы не только главной части и исчезает при Ь -+ О.
Это обстоятельство позволяет контролировать правильность программ численного интегрирования на ЭВМ, поскольку большое отличие эффективного порядка точности от теоретического при интегрировании функции, имеющей непрерывную производную нужного порядка Й, свидетельствует об ошибке в программе. 10.8.'Учет особенностей поведения подынтегрнльной функции Подыитегралькая функция Дх) или ее производные на отрезке [а, Ь] интегрирования могут иметь промежутки резкого изменения, точки разрыва или быть неограниченными (последний случай для функции ~(х) будет рассмотрен в 10.9). В перечисленных случаях функция /(х) плохо представима многочленом, так что использование обычных квадратуркых формул для вычисления интеграла от функции ~(х) на отрезке [а, 6] оказывается не эффективным.
Если функция Дх) или ее производные имеют на [а,е] точки разрыва, то разбиение этого отрезка целесообразно провести так, чтобы на частичных отрезках функция и ее производные были непрерывны. Пример 10.2. Функция у(х) = х[х[ и ее производнал непрерывны на отрезке [-1,2], но ее вторая производная при х = О имеет точку разрыва первого рода. Если разбиение отрезка [-1,2] провести так, чтобы точка х = О была узлом квадратуркоб формулы, то несложно проверить, что формула 10.8.
Учет особеииостей паеедеиии подееитегрелъиой фуикпии 489 парабол (10.24) даст точный результат для интеграла г о г х~х~Ых= — у х ~Ь+~ х ~Ь=— 7 г 7 3 -1 -1 о уже при разбиении [-1,2] на два (в=2) частичных отрезка [-1,0] и [0,2]: 7 = ~й1(Л-1+411-17г+Л) = 1 1ш1 1 = -(1*( — 1+4( — 1/4)+0)+2(0+4 ° 1+4)) = —. 7 6 По формуле тпрапеций (10.13) при таком разбиении получим ,71 =-~~ (х; — х, 1)(Д ~+Д) = 1 2.
1 = -(1 ° (-1+0)+2(0+4)) = — > —, 7 7 2 а при разбиении отрезка [-1,2] точками х=-1/2, х =0 и х=1 Яр = — (-(-1 — -) + — ( — +О) + 1 и 4. Ц >1 (1 ~. е) = 21 21 7 = — ) — =— 8 9 3 На каждом из частичных отрезков подынтегральная функция дважды непрерывно дифференцируема.
Поэтому формула трапеций сохраняет второй порядок точности, и по двум проведенным по этой формуле расчетам можно получить метподо и Рунге результат, соответствующий формуле парабол: ,7г —.71 21 1 /21 7~ 7 7г+ = — +- — —— 3 8 3~8 2! 3 490 1Ц ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Если же на отрезке [-1,2] сгущать равномерную сетку последовательным делением шага Ь„разбиеиил пополам, то точка я =0 разрыва непрерывности второй производной подыитегральной функции не будет узловой для квадратурпых формул. В этом случае сходимость результатов вычислений оказывается более медленной (табл.
10.3). Таблица 10.8 Нетрудно проверить, что использование этих результатов для уточпепия по методу Рунге не эффективно. 1(1 В прикладных задачах возникает необходимость вычисления интегралаотфункции ДФ) вида А(1)в1паа' или А(е)совой, которая описывает колебания с несущей частотой ш и модулированной амплитудой А(1) ($ — время). При больших зпаченвях ы такал функция становится быстро осциллирующей, причем период Т = 2х/ы одной осцилляции может оказаться очень малым по сравнению с отрезком интегрирования [а,в]. Тогда при медленном изменении во времени амплвтуды А(1) интеграл от функции /($) иа отрезке [а, 6] будет суммой большого числа пар величин, близких по абсолютной величине, по противоположных по знаку (каждзя пара величин соответствует площадям хриволииебиых трапеций, ограниченных соседними полуволнами).
Если использовать обычные квадратурные формулы, то, чтобы избежать потери точности, необходимо каждую из площадей вычислять с высокой точностью, т.е. в пределах периода осцилляции брать достаточно много узлов, выбирал шаг Ь„разбиения отрезка [а,в] иэ условия мЬ„~1 (миого меньше 1). При Т вг. (6- а) это приведет к значительному объему вычислений. 10.8. Учет особенностей поведение ыодедытетраеьыой функцаы 491 Однако при сравнительно медленном эа период Т изменении функции А(Ф) можно выбрать более крупный шаг Ь„= =(Ь вЂ” а)/н) Т и на каждом из частичных отрезков [11 1,Ц] (11 = дй», 1 = О, н) испольэовать линейное приближение А(Ф)иА; 1+ (е — Ц 1), 16[е; 1,Ц], А; — А; 1 Ь» где Ад — — а(11). Тогда в случае (для определенности) 1(Ф) = = А(1)в1под1 получим Ь и | ~Яйт~~Ь Г (А; 1+ ' ' (1 — 11 д))вдпдойй= Ь„ и тА,-А;1.
одй„АЬ А;1 ~2 в!п —" севодни д~з — — совьдд;+ — соводФ; 1), од Ь„2 ' 1 од ' до 1»1 где 1; дуя -— Ц д+Ь„|2. Известно [П], что погрешность линейной инндернодяции на отрезке [11 д, Ц] дважды непрерывно дифференцируемой на нем функции А(1) не превышает Мзй»з/8, где Мэ — наибольшеезначение [Аи(1)[ на этом отрезке. Тогда суммарная погрешность полученной квадратурной формулы не превысит М'(Ь вЂ” а)й~~|8 (здесь М' — наибольшее значение [Ао(1)[ на отрезке [а,Ь]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
