Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 19
Текст из файла (страница 19)
с с Пример 4.6. Нодынтегральные функции ынтегралов а ни и'х /' созх зх 1= ы 1г= аз1п х+ Ьсозх ,7 аапх+6созх ие изменяют своего зыачеыия при одновременыом изменении еыав ов з1пх и созх. Следовательыо, для вычисления этих ~гралов можно использовать замену 1= г5х. Но проще ых 1 1г —— 1п 2~/Р— сг 1 1п 2~/Д вЂ” сг 4сг~сс2 $5(х+ Р) + с ~/гг — сг СН(х+ Р) — с 1бб 4. ИН'1Е1'РАДЫ От' тРДНС11~НД~НтНЫД ФУНаЦИй вычислить из следующих двух соотношений: а1,+Ы = Ь=х+С„ 1 асов х - 6з1п х -Ы+а1,=~ . Ь= „/ аз1пх+Ьсовх = 1и 1аап х+Ьсозх1+Са Г И1аззп х+ Ьсовх) ,/ аз1п х+ Ьсозх Отсюда ах — 61п )ав1п х+ Ьсовх~ 1~— Ф Ьх+ а1п 1аз1п х+ Ьсозх~ 1з— аз+ 62 где С и С' — ликеаиые комбинации произвольных постоянных С~ и Сз. В общем случае интеграл от дробно-линейной функции а~ з1п х+ 6~ сов х+ с~ ав1пх+6совх+ с может быть сведен к вычислению интеграла, рассмотренного в примере 4.1.
Действительно, выразим числитель этой функции через ее знаменатель и производную знаменателя: а~ з1пх+Ь~созх+ср — — А(азтх+Ьсозх+с)+В(асовх-Ьз1пх)+ 0 Приравнивая коэффициеыты при япх, созх и свободнмв члены в левой и правой частях этого равенства, получаем а~ — — Аа — ВЬ; 6~ — — АЬ+ Ва; с~ — — Ас+.О. Отсюда аа +ЬЬ аЬ,-Ьа~ А=,  —,  — с~ — с.
4. Ь Раыионаааные ф1оысции синуса и носиыуса 157 р итог е исходный интеграл будет линейной комбинацией трех ~тегралов: а1 в! п х + Ь1 сов х + с1 аяпх+ Ьсовх+ с асовх — Ья)пх ( ./ аыпх+Ьсовх+с ! аяпх+Ьсовх+с ах = Ах+В!и!аз)пх+Ьсозх+с!+О Последний интеграл справа можно вычислить при помощи замены Фд(х/2) = 1. Если подынтегральная функция представляет собой рациояаяьную функцию синусов и косинусов различных, но кратных аргу ументов то путем тригонометрических преобразовании сизус и косинус следует привести к одинаковому аргументу.
Пример 4.7. Функцию в!пЗх/(в!пхсов2х) с учетом известных формул з сав2х=соззх — яп х= 1 — 2япзх и ыпЗх=Зяпх — 4ып х пРеобразуем к виду япЗх Зяпх — 4в!п х 3 — 4в!п х 1 з 2 +2. япхсов2х ыпхсов2х соз2х сов2х Интегрированием зтой функции получаем | в!п Зх Нх /' Нх /' /' сов2хс!х = ! — +2/Их= 1 ., +2хса в!их сов2х,/ соз2х,/,( 1-ып22х 1 г Н(з!п2х) 1 !1+яп2х~ 2 +С 2,/ 1 — в!п22х 4 !1 — в)п2х~ десь использован табличный интеграл 14. 158 4.
ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ При вычислении интегралов от произведений синусов и „ синусс оазличных аргумеытов полезно испольэовать формул, 1г. з1пах сов 9х = -~з1п(а+~9)х+з1п(а-ф)х); 1/ в1пох в1п,бх = — ~сов(а —,9)х — сов(а+,9)х); 2~ 1 с' совах совфх = — ~соз(а+,9)х+ соз(а — 9)х). 2~ Пример 4.8.
Функцию з1пх в1п(х/2) з1п(х/3) перед инт~ грированием преобразуем к виду х. х 1у х Зх~. в1п х з1п — з!п — = — ~сов — — соз — ) з!п — = 2 3 2~ 2 2~ 3 1 ~ . х, 5х . 7х . 11х~ = - ~~ — з1п — + яп — + зш — — з1п — ). 4~ 6 6 6 6! В итоге получаем | х . х япх яп — яп -вх = 2 3 3 х 3 5х 3 7х 3 11х = -сов- — — соз — — — сов — + — сов — +С. 4 2 6 10 6 14 6 22 6 В общем случае, если аргументами рациональной подмв тегральной функции являются синусы и косинусы углов, зв висящих от произведений переменного интегрирования х различные рациональные числа, то следует найти общий эвв меиатель и б И этих чисел и после замены х = п1 с помошьх формул для тригонометрических функций с кратными угламя выразить аргументы подынтегрвльной функции через нату рвльные степени яп$ и сов1, а затем испольэовать рассм~ треииые выше замены переменного.
159 е г Раниоиааънме стенени синуса н косинуса 4.2. Рациональные степени синуса и косинуса Неопределенные интегралы выда 1, = зш хсовехЫх, пг,убей, (4.6) й 1-/г(1 1)-/г с 2зш х сов х д,1 е ~ а а. 2 г'.дедовательно, /' . „, е о (1( -1)/г (1 1)Й-~Угй (4.7) еье 2,/ Этот интеграл можно выразить через элементарные функции в трех случаях (см.
3.6): 1) (о — 1)/26Е, 2) (~и+1)/2ЕЕ, 3) (я+6)/26 Е, т.е. когда хотя бы один иэ показателей степеней 1п илы д является нечетным целым числом или в сумме оыи дают четное целое число. Однако сведеные интеграла вида (4.6) к интегралу от дифференциального бинома (как и применение уныверсзльной подстановки 16(х/2) = $) может привести и громоздким вычислениям. В рассмотренных пыже трех частных случаях к цели можно прийты более простым путем.
Первый случай. Если одно из чисел пг или д в (4.6) положительно ы нечетно, то следует сделать замену, укаэанную в 41 для рациональной функциы В(з!пх, созх), нечетной по отношению к одному иэ ее аргументов. В некоторых случаях интеграл удается вычыслить подведением под знак дифференциала. Пример 4.9. а. Найдем интеграл от функции соз х/в1п х, 3 в авяюп1ейся нечетной по отношению к созх, причем о поло- меной переменного $=в1пх, 1=в~в х, 1=совх или 1=сов х . г =с гх заме можно свести к иытегралу от диффереицыольиого бикона. В самом деле, принимал для определенности 1=яп х ( тогда Й= г -2в1п х сов х ох), запишем 160 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ жительно.
Подведем совх под знак дифференциала и испол зуем равенство совгх = 1 -яп х: г г | соезх /совгх . (1-в1п х г — 11х = 1 —.и 11(е1пх) = 1 . 11(в1пх) = ЯПЕ Х,/ В1ПЕ Х -( ., | 11(в!п х) /' !1(в1п х) в + з в!цех „! яп4х 5ып х Зв1п х ° з вà — 4— б. Для подыитегральной функции в1п х/1!с~ее х значеие т положительно и нечетно, т.е. эта функция нечетна и отношению к япх. Подведем ыпх под знак дифференциала е используем равенство в1п х=1 — сов х: г г . | ып х /'1 — сое х г — ( )= ~Усов~ х ./ ~(сое4 х гз l -вуз 3 в з = ~ сов ! хп'(соех) — ( сое хп'(соех) = -сове зх+ вуз 5 +Зсов-1~зх+С= -~4ов'ж+ — +С.
1(1 Зз 3 5 ~~/см х Второй случай. Если и ти, и е в (4.6) — четные н неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равно нулю), то (4.6) при помощи замены $ = г6х можно свести к интегралу от дробно-рациональной функции. Однако проще предварительно уменьшить сумму показателей вдвое переходом к удвоенному аргументу по формулам И 2 ! 1 — ~2* ! !+ ~2* В!ПХ СОВХ = —, В1П Х = 2 ' 2 Пример 4.10. Проинтегрируем функцию яп х сов х. И г 4 . Используя формулы удвоения аргумента, запишем 4ыпгхсовгх яп х сов х = 4 сов х= ыпг2х 1+ сое2х 1 — сое4х япг2х сов2х — ! 2 16 8 161 4.2.
Рациеиааьиые етеиеии сииуса и косинуса 11рииимая во в а мзл во внимание что сов2х Их = (1/2) Н(в~в 2х), имеем | 1 Г 1 Г и'п хсов~х = — / (Ь вЂ” — / сов4хдх+ 16,/ 16,/ 1 х в~п4х в!и 2х ° з + — ' 2х Ы(вш 2х) = — — — + — + С. 4~ — в!п ' — 16 64 48 Третий случай. Если и т, и в в (4.6) отрицательны, чем их сумма является четным числом, т.е. т+и= -2п арич ьного (вб )э г1), то нужно числитель и знаменатель подынтегрально 3» зх ения разделить на сова»х, подвести множитель 1/сов х яод знак дифференциала, а остальную часть подынтеграль ьной функции выразить через с8х. 3 Пример 4.11.
В подынтегральной функции 1/ в)п х созх вбапоказателя т=-11/3 и в=-1/3 отрицательны, причем вхсумма оп+и=-4 — четное число (в=2, 2п=4). Деля числитель и знаменатель подынтегрального выражения на созе х, яодводя 1/соззх под знак дифференциала и используя равенство 1/соззх = 1+18зх, находим | Их (1/совех) дх з .
в1п х совх з еиРхсовх сое'~ х — ', =,(';"„'*д(~8х) = з7з 8 | с8-ы/зх цех) + ~ с8-ь/зхЯ16х) ее»- 7 х 3 Зз Зз 2 — — с8 з~зх+С= — — ~/сабах — — сзи х+С. В общем случае, если воспользоваться формулами приведе- «з (3.32)-(3.35), то интеграл 1„,е в (4.7) можно выразить 162 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ через аналогичные интегралы с ббльшими илн меньшими и казателямн степеней: в1п'"+1х сова+' х )и+ 0+2 1тв,д — —, + 1 1~в,г+з ! 0 Ф -1; (4.8) 0+1 0+1 в1п~+' х сов~+1 х т+ в+2 1, = т+1 + т+1 1(в+за! гн ~ 1! (4.9) в1п)ч+г х совч 1 х а — 1 Авл = + — оп,д з! Оф- ! (4.10) го+ е т+е в1п'" 1х совг+' х гп — 1 )тл— + У з,г! 09в -ш.
(4.11) гп+ 0 го+ д Если оба показателя степени являются целыми чнсламн, то по. следовательное применение зтия формул позволяет привести 1, либо к одному из табличных ингпсгралов, либо к интегралам Пример 4.12. а. Найдем интеграл от функции 1/совьх. Можно применить замену 1= в1пх, но проще дважды прибегнуть к формуле прнведеяия (4.8), принимал )п=О и е=-5 и используя вторую формулу (4.12): | Их в1пх 3 /' (Ь в1пх 3 в)пх + + + совах 4сов4х 4,/ совах 4совлх 4 2совзх 42| 4~се~* 8ае~ 8 ~ (2 4)! б.
Для интегрирования функции сов4х/вшах пригодиаз®' мена 1= совх, но быстрее к цели приводит последовательв в()~ 4.л. эксаовевциаввеме и тътерволические фуыкцаи 163 (4.10) и первой форму- ярн нменение формул приведения (4.9) и ~ (4.12): сов4х савв х 3 г соввх —.з дх= — . з — -/ — ~~ в[пзх 2в[пзх 2./ в1пх Зсовзх 3 /совзхдх дх=— 2 3 2,/ в[их 3 2 2 2в[пз х 1 — в[п х 3 сов хв 2в[пз х 3 Г1 — в[п~х совх 3 [ х[ — — / . дх= —, -совх — -[п~сй-~+С. 2 / в[пх 2в[пзх 2 ~ 2 [ 4.3. Экспоненцинльные и гиперболические функции = 1 — [п(1+ 4) + С = е — [п(1+ е ) + С.
Если рациональная подымтегральиая фующил В(гв' "' ... ев" ) [=1 п авнснт от и Е Х зкспонент, показатели которых являются в рвнзведениями переменного иктггрированал х на различные ацнонавьные числа р; Е я, то заменой х = е*~~, где у Е Х— 05 в[нй знаменатель дробей р< ([ = 1, и), интеграл от такой Неопределенный интеграл от рациональной функции В(г*), аргументом которой является экспонента е, заменой переивнного $ = е нетрудно привести к интегралу от рациональной функции аргумента 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
