Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ можно выбрать я = -1, 1 = 4 и использовать замену = (1+х 4)'/4 = (1+х4)1/4/х. Тогда получим (,4 1)-1/4 1 ( 4 1)-$/4 3 1 и далее, используя табличные интегралы 14 и 13, запишем | 11х ( (34 — 1)-$/423113 ( Х2нг ф1+х4,/ 3(34-1) '/4,/ г~ — 1 1/( +1)+( — 1) 11 а 1( 2 / (32+1)(32 1) 2 / 1 32 2 / 1+32 1 ~1+3! 1 = -1п~ — ~ — -агс133+С= 4 ~1-3~ 2 х+ 1/~+х4 1 Я+х4 — -агс1п 2 х 1 = -1и 4 (а+ Ы)Я14а и интегрируя по переменному 1 тождества (а+ Ы)Я+114 = а(а+ Ы)Я14+ Ь(а+ Ы)Я14+1, — ((а+ Ы)Я+~14+ ) = (р+ 1)Ь(а+ Ы)Я14+ + (у+ 1)(а+ Ы)Я+~14, 11$ находим /,+1„-— а1„4+ Ь1„,+„ (а +Ы)я+114+1 = (р+ 1)Ь/я +1+ (я+ 1)!я+1 4. В случае большйх по абсолютной величине показателей степени р и 1/ в правой части (3.26) непосредственное вычисление интеграла даже при выполнении условия рЧаЧр+у Е Е может привести к весьма громоздким выкладкам.
Этн выкладки можно сократить, если использовать следующии прием. Обозначая З.б. Интегроем от диффероецваеьыого бииомо 131 Отсюда получаем рекуррентные соотношения ('+Ы) Р+д+ ~1 ~ -1 (3 32) а(р+ 1) а(р+ 1) à — Ь Г ф -1. (3.33) а(д+ 1) а(д+ 1) общая зтн уравнения относительно 1р+це и 1р о+1, а потом вменяя р+1 на р в первом выражении и д+1 на д во гором, прн условии р+д+1фО приходим к соотношениям ( +ЬС) Ю р Г (3 34) р+д+1 р+д+1 ' '" Г Г (3 35) Ь(р+д+1) Ь(р+д+1) " ' Из соотношений (3.32) — (3.35), называемых формулами приеедемтм, можно выразить Гр,е через аналогичные интегралы с ббльшимн или меньшими показателями степеней. Если р Е г1 нли д Е г1, то соответственно (3.34) или (3.35) позволяют зтн показатели в интеграле вида Гр,я последовз тельно свести к нулю, а если -р Е И нли — д б Х, то соответственно (3.32) или (3.33) дают возможность в аналогичном янтеграле зти показатели довести до -1.
Ясно, что вычисление интеграла вида 1р,е при р Е ( — 1, О) или при д Е (-1, 0) существенно упрощается. Третий случай (р+ д Е Х) заменой ~еременного $ = 1/и можно свести ко второму случаю (д Е Х). 0тметим, что формулы приведения можно применять, если ни р ии д, ни р+д не являются целыми числами.
Пример 3.10. Рассмотрим неопределенный интеграл Г х Нх / Чих. 3 Десь и= 2 и р=-1/2. Следовательно, как при яз нечетном +1)/и= (т+1)/2Е Х, так и при яз четном (ж+1)/и+р= (ш+ 1)Г'2 — 1/2= т/2 Е Х, т.е. во всех случзлх подынтеграль- Д.а 1. Геометрической смысл подстекоеок Эклера 133 11 и использовании этого рекуррентного соотношения значее р уменьшается на 2, а вычисление У „последовательно ,в ди либо к =1в +С рн р нечетном, либо к / Ых ~/1 — хг ° Уз=/ = — +С ,у хгъ/Г-Ф2 х яри р четном. Дополнение 3.1; Геометрический смысл подстановок Эйлера Подстановкам Эйлера можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Уравнение р=м/ т+~+с, вл~ у=м~~.ь +с, (3.38) задает плоскую кривую второго порядка [П1]. Из каноническо- го уравнения (х+ ) (3.39) Ь~ -4ас Ь -4ас ~а~ 4а атон кривой видно, что она симметрична относительно оси О " а вертикальная ось симметрии имеет абсциссу — 6/(2а).
Р) рн а > О зта кривая будет гиперболой, причем в случае > 4ас с осью Ох совпадает ее действительная ось (рис. 3.1), в случае бе <4ас — ее мнимвл ось (рис. 3.2). При а < О ~иван будет эллипсам (рис. 3.3) (согласно замечанию 3.3, в дейс „и случае квадратный трехчлен ахз+ ьх'+ с должен иметь ствнтельные нули, т.е. Ь' > 4ас). Все кривые изображены случая с > О. 134 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ Рис. 3.3 Рис. 3.1 Рис.
З.З Для координат произвольной точки (хо,.уо) любой из указанных кривых справедливо равенство уо = ахо+ Ьхо+с. 2 2 (3.40) Проходящая через эту точку секущая, представленная уравнением й — йо = 1( — хо) (3.41) (уо+1(х — хо)) = их +Ьх+с пересечет гиперболу или эллипс еще только в одной точке (х;у). Координаты точки (х;у) можно выразить рациональ- ными функциями угловогокозффициента 1 секущей. Действи- тельно, исключая у из (3.38) и (3.41), запишем Д.ЗЛ. Геометрический смысл иодстеиоиок Эйлере 135 учитывая (3.40),— М~ 2уо$(х — хо) + 1~(х — хе) = а(х — хо2) + Ь(х — хо).
Отсюда, сокращая на х — хо и принимая во внимание (3.38) н (3.41), у Флхо -2уо1+ ахо+ Ь $2 а Ь+ ауо1-Зуо12 у= ~ ах2+ Ьх+с ее уз+а(х - хе) = а — Р (3.42) Таким образом, при изменении углового коэффициента секущей, проходящей через фиксированную точку (хо, уЭ) рассматриваемой кривой, вторая точка пересечения этой секущей с кривой опишет всю кривую. Иначе говоря, угловой коэффициент 1 в данном случае играет роль параметра, при помощи которого соотношения (3.42) параметрнчески задают данную кривую.
Этн соотношения и определяют подстановки Эйлера, позволяющие подынтегральную функцию в (3.9) привести к ра~Жональной функции одного переменного 1. Конкретный внд подстановки зависит от выбора точки (хо,уо). Если квадратный трехчлен ах2+ Ьх+с имеет действительные нули се и б, то рассматриваемая кривая пересекает ось «бсцнсс в точках (се; 0) и (Д О) (см. рнс. 3.1 и 3.3). При«на хо= се и уз=О, придем к третьей подстановке Эйлера.
Прн с>0 кривая пересекает ось ординат в точках (О;~(с) и (О~-~/с). Положив хо — — 0 и уз=~~/с, получим вторую подстановку Эйлера. Так как в случае комплексно сопряхсенных «Улен неаоратного трехчлена радикал в (3.9) имеет действительное значение лишь при а > 0 (см. замечание 3.3), то в результате замены х на 1/г получим 136 а интеГРиРОВАние иРРАЦиОнАльных ВыРАжений т.е.
кривая, заданная в плоскости яОу уравиеиием у~ = сгг.~ +ох+а, пересечет ось Оу в точках (О; /а) и (О;-~/а). Пр этом вторая подстановка Эйлера примет вид или „Ббббб,б, „Я После обратного перехода к переменному х получим первуе подстаиовку Эйлера (3.10).
Эту подстановку можно тракте. вать иначе. При а ) О зиачеиия ~~/а соответствуют угле. вым козффициеитам наклонных асимптот ветвей гиперболн (см. рис. 3.1 и 3.3), а прямая с уравнением у = х~(а+1 яля у = -х~/а+ в, параллельигя одиой из асимптот, пересекает обе ветви только в одной точке. Тогда параметр $ будет ордива. той точки пересечения такой прямой с осью Оу. Дополнение 3.2.
Об интегрировании функций вида гс(х, ~Р„(х)) Большинство из рассмотреииых в этой главе инвпегралов можно представить в виде (3.43) где В(х, у) — рациоиальигя функция переменного интпегрирв вания х и аргумента у, который, в свою очередь, являетсв алгебраической функцией х. Если эта алгебраическая фуяк ция обращает в нуль миогочлеи Р(х, у), то (3.43) ыазывакт абелееььм инпзегралом. В частности, интеграл от подвб» бпегральноб функции вида (3.2) является гбелевым, поскольку г ббм~~к фУ» б ~ б=Сы~бб*б ббаб~б ббб~ миогочлеи Р(х, у) = у~ — (ах~+ах+с).
д.з.я. Об еитегвироеаеии фуяяаяе вала Л (х, ~/Р„(х) ) 137 С геометрической точкы зрения абелев интеграл связывают доской алгебраической кривой, описываемой уравыеыием с Р(х, у) =О. (3.44) (3.45) от рациональыой функции вида (3.4), где Р„(х) — многочлеы аргумента х степени «б И с действительными коэффициентами, также является абелевым. Но (ЗА5) уже при «> 2 в общем случае ые удается выразить через элементарные функции, поскольку не всегда кривая, задаваемая уравнением у = Р„(х), 3 является уникурсальной. При «=3 и «=4 (3.45) называют аляиппзическим иипъеграяом, а при «> 4 — гиперзлли- «~«ическим. Если эллиптический интеграл в частном случае Удается выразить через элементарные функции, то его называ ит исеедозллииюическим. Например, интегралы 5хз+1 (1+ х4) бх х Ых=х Г2хз+1+С и / = — +С ~/2ххз+1 ,! (1-х4)Ч1 — * яапяются псевдоэллиптическими. При рассмотрении эллиптических и псевдоэллиптических пытегралов полагают, что многочлен в (3.45) имеет лишь «ро"«ме нули.
В противном случае можно было бы вынести нз под ,1~с, интеграл от функции вида (3.2) связан с кривой второго поря --дка описываемой уравнением у = ах + Ьх + с. 2 2 Подынтегральную функцию в абелевом интеграле можно пр еобразовать в рациональную функцию от нового переменыог го интегрирования и затем выразить этот интеграл через лементарные фуыкции, если кривая (3.44) может быть за- А аыа параметрически рациональными функциями х =г~($) и у= гз(1) параметра 1. Такую кривую называют уникурсаль- вой (от латинских слов а«аг — один и сигвнг — путь). Прямая я любая плоская алгебраическая кривая второго порядка уыияурсальны. Интеграл 138 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ знака корня линейный миожитель и получить оодын~вегрально, еырахеение уже изученного типа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
