Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного (1999) (1135787), страница 18
Текст из файла (страница 18)
2 3.8. Выделяя алгебраическую часть неопределенного инте. грела, проинтегрировать следующие функции: 1 ,3 х10 1 а) б) в); г) — Бг -1. *гг/*24 !' г/1 Ь2*~ ~\ 1.41 )/'хг+ 1 1 хз — бхг+ 11х — 6 д) г , е) г+1 ' )* — 1)~г/*2~3*+! г/~+4* 13 ж) 1 л) ; м) ),-Цгг/44 2 — 2' ) '-3 4.2)г/2 — 4*4!.3' 3.7. Применяя подстановки Эйлера, проинтегрировать следующие функции: 3); ) Ь/*г — 24 4- 2; ! — 2 — г' /1 4 )! 4. 1 1 — г/!4- 4. г * — г/Р~4 +3 г) ЬггР+ +!' г/!+~+У ~4. /,'т~г,+З д) е) 3.8.
Найти неопределенные интегралы от следующих функ цнй: 1 х х(х+ 1), а) б) ~/хам+1 — ~/х)3 — 1 (1 — хг)~/1-х~ ~/х+~/х+1 1 хг+1 хг — 1 г) д) г/*4 22 4-1 ~г/344.*3~Т ! г ьг)гг*'41 1 * + г/1 + г + И' г/2~г/!4+к*+Я вЂ” * 1.4*+Д4. ~ Ч' 14Т Вопросы и задачи 3.9. При каких рациональных значениях показателя степени интеграл 1~/1 + хМх является элементарной функцией? 4 ин 3.10. Найти интегралы от следующих дифференциальных биномов: ,) з/з'+ 4; з) (~з*- ', ) фз+~; ) з~/~*з.цз; з) ф~Г~г4' * (зз.4")~' И~.
з' зф~зз.чх)з' з ' ) '") Фз +Й ) ~з'/з.з1/*' 1/ззз.4 з' Я ' с~з:гз' ,х)1. 3.12. Выразить через элементарные функции и функции Р(Й, ))о), Е(Й, ))о) эллиптические интегралы: | х2)1х ( ззх а) ; б) 4зз 4-зз з+з' | Их ( Их в) ; г) )) Л вЂ” з*з--з, з — з- з— Нх / ~Ь | А44~+з*' — з 3 Л+Р 3.11. Вычислить ющих функций: а) 1 х~~/х4+1 ' б) х~+ 1 г) псевдоэллиптические интегралы от следу- х~ — 1 х — 1 ) з~ц„44 З' ) ~ц / з~ ~~' ' 4.
ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ Ф'УНКЦИЙ Напомним, что трансцендентной называют функцию, зва. чения которой пе удается вычислить при помощи конечиол последовательности алгебраических операций (сложеиия, вм читания, умножения, деления и возведения в целую степеиь). Рассмотрим приемы интегрирования трансцендентных функций и выражений, содержащих такие функции. 4.1. Рациональные функции синуса и косинуса Покажем, что рациональную функцию В(и(х), о(х)) при и(х) =япх и о(х) =совх всегда можно привести к дробно- рациональной функции заменой переменного гй(х/2) = $, часто называемой универсальной подстановкой.
В самом деле, прл $= гд(х/2) имеем 2ал х = 2 ахею 1, дх = —, (4.1) 1+ег' 2в!п(х/2) сов(х/2) 2гд(х/2) 21 совг(х/2) +япг(х/2) 1+ юг(х/2) 1+ гг ' совг(х/2) — в!п~(х/2) 1 — г~~(х/2) 1 — 1~ совг(х/2)+япг(х/2) 1+г~г(х/2) 1+лг . Следовательно, | /' к 2$ 1 — гг~ й В(в1п х, сова) дх = 2 В~ —, — ! —. ~1+гг 1+юг!1+гг' Пример 4.1. Проинтегрируем функцию 1/(2яп х- сов х+5) используя замеиу переменного 1и(х/2)=$. Учитывал (4.1)-(4.3) 149 4.Ь Рационаеаные функции синуса н носннуса лучаем Их / й =2 2в1пх — совх+5,/ /2 г1 1 — 1г +5)(1+гг) ~ 1+1г 1+1г й ( й 41 — 1+гг+5(1+гг),/ бгг+4$+4 Вынесем за знак последнего интеграла 1/6 и выделим в знаме- нателе подынтегральной функции полный квадрат: Й 1|' Й 61г+4$+4 3 / гг+2Ф/3+2/3 1 / И(1+1/3) 1 3 1+1/3 3.| (е+1/3)г+ (Л/3)г 3 ~/5 Я/3 1 31+1 = — агсг6 — + С.
~/5 Л Здесь использован табличный интеграл 13. Возвращаясь к переменному х, записываем | Ых 1 Зги(х/2)+1 = — агсг6 +С. 2в1п х — сов х + 5,/5 ~/5 Пример 4.2. При помощи универсальной подстановки гв(х/2) =г найдем интеграл от функции 1/(Зв1пх+4совх+5). Используя (4.1) — (4.3) и принимая во внимание табличный интеграл 1, получаем | ох пг =2 Звгпх+4совх+5 / 61+4(1 — гг)+5(1+гг) й Г Ф+3) гг+ 6С+ 9 .1 ~й+ 3~'.~ 2 2 =- — +С=— +С. 1+ 3 3+ 16(х/2) 150 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ Подстановке ~ = ЯЕ(х/2) (-х < х < х) можно дать следУк„ щую геометрическую интерпретацию. Аргументы и(х) = в1ях и и(х)=совх рациональной фуик. ции Я(и(х), и(х)) принимают М лишь те значения, которые на координатной плоскости чОи от 1З вечают координатам точек ок Е х/З х ' А руж~ости единичного радиуса (рис.
4.1), причем текущее зиз, чеиие переменного интегрирования х соответствует углу АОМ, а значение х/2 — углу АВМ. Тогда новому переменному ииРке. 4.1 тегрирования 1 будет отвечать ордината точки Р пересечения луча ВМ с осью Ои. При движении точки М по окружности от точки В против хода часовой стрелки переменное 1 пробегает значения в интервале (-оо, +оо). Таким образом, рассматриваемая подстановка позволяет выразить ординату и абсциссу текущей точки М через ордииату точки Р при помощи рациональных фуикций (4.2) я (4.3). Эти функции, будучи подставлены в функцию Н(в, ч), не нарушают ее рациональности.
Подстановка ~Е(х/2) =1, являясь универсальной, часто приводит к громоздким выкладкам. В некоторых частных случаях рациональной функции синуса и косинуса к цели можно прийти более простым путем. Пример 4.3. Примеиение подстановки 1 = ФЕ(х/2) пря интегрировании функции 1/(в1пзх совх) приведет с учетом (4.1) — (4.3) к интегралу от довольно сложной дробно-рационаяь. иой функции: | ~ (1+12)з Ц в1пз х совх 4,/ 1з (1 — 1з) 4. Ь Рациониюнне функции синуса н косинуса 2 2 рместо э того используя известное соотношение зш х+соз х = 1, находим „„г ~ и Нх = + ° з ''*~оа* 3 а' ~ з 1* * Г Ы зш х сов х Подынт егральную функцию первого интеграла в правои части этого Р авенства умножим и разделим на созх и затем подведем 1Г'соз х под знак дифференциала, а во втором интеграле под ведем под знак дифференциала созх: / Нх Г созх Их Г Н(Фдх) / И(з1пх) з1пх созх,/ з1пэх,/ 1~х,/ з1п х 1 =!и ~ Фдх~ — . + С.
2зш2 х 3десь использованы табличные интегралы 2 и 1 соответствен- Пусть рациональная функция В(и, о) не изменяет своего значения при изменении знака одного из своих аргументов (например, н), т.е. В(-и, о) = В(и, о). Будем называть такую функцию четной по отношению к и. Ее можно привести к некоторой рациональной функции В.(нз, ю), зависящей от о в лишь от четных степеней и. Пусть теперь при изменении знака и функция В(и, о) сохраняет значение по модулю, но изменяет знак, т.е. В(-н, и) = =-В(и, о) (В(и, о) — нечетная функция по отношению к «) Тогда она представнма функцией В'(и2, о)и, что выте"зет из предыдущего свойства, если его применить к функции В(н, о)/н.
Пусть, наконец, функция В(и, и) не изменяет значения при дновременном измененин знаков и и и, т.е. В(-и, -и) = В(н о). Такая функция является четной по совокупности Ргументов и н о. В этом случае можно записать В(н,о)=В("-о, )=Вз(-", ) =Вз(-", — )=В;(-",о'), 152 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ поскольку при одновременном изменении знаков и и ю отпо.
шеыие и/ю не измеыяет значения. Любую рациональную функцию В(и, ю) можно предста вить тождественным соотношением В(и, ю) — В(-и, ю) 2 В(-и, ю) — В( — и, -ю) В(и, ю)+ В(-и, — ю) + + . (4.4) Первое слагаемое в правой части изменяет знак при изменении знака и, второе — при изменении знака ю, а третье слагаемое сохраняет зыачение при одновременном изменении знаков и и ю. Итак, отмеченные выше свойства функции В(и, ю) позволяют записать ее в виде В(и, ю) = В1(иг, ю)и+ Вг(и, юг)ю+ Вз(-, ю~).
Из сказаыного следует, что если и=я!Пх и ю=совх, то функцию В(и, ю) = В($!их, соях), ыечетную по отыошению к $!Пх, можно прывести к виду В1($)пгх> совх)8!Пх, фуыкцню, нечетную по отношению к совх, — к виду В'(8!пх, совгх)соз», а функцию, четную по совокупности $!Пх и соях, — к выду Вэ($!Пх/совх, совгх). Наконец, пРоизвольнУю РациональнУю функцию В(и, ю) = В(8!их, соях) можыо привести к виду В(и, ю) = В(8!пх, с0$Х) = В1($!п х, совх)$!пх+ г У81ПХ + Вг(81П Х~ СО$ х) СОвх + Вэ ~, СО8 Х ) . совх Если от этой функции необходимо найти неопределеыный интеграл, то в подынтегральных выраженыях В18!Пхи» Вгсовхих и ВэЫХ целесообразно сделать замены перемеыыо' го г=совх (й= — $!ПХ~Ь) !=в!пх (Й=сояхНХ) и г=Ж» (й = Нх/соягх, Ых = Й/(1+гг)) соответственно (в последыеи 4.
Ь Раииоиаааиасе фуикции сииуса и косииуса 153 ~учае иногда удобна замена с = СЗЗХ). При этом Я1(з!и х, созх) 81пхих = -В1(1 — соз х, созх) исозх = Зг 1)й Вг(з)пх, созгх)созхНХ = Вг(з|пх, 1 — ыпгх)Н81пх = = Вг(з, 1 — зг) й = Вг(з) й, Вз( ~ соз х) их Вз(ЗЗХ~ г ) их 1 ~ й = Вз, Й> — ) — = Вз(1) й. ( ' 1 + 1г 1 + 1г Пример 4.4. Функция 1 В(81пх, созх)— япзх созх 1=ФКХ х = агсЗ31 ~й = й|(1+ зг) 81пг х = Зг/(1+ Зг) | Ох (ф3ХИХ 81пз х созх / 81П4 х 1(1+зг)гй |' ~+Р |'й ~ й ~ г 2 ~ ~ ~ ~ ~ г й 14 (1 + 1г) / ~з / 1 / 13 1 1 = 1п ф — — + С1 — — 1п ~ ф3 х ~ — + С1. 21г 2з3г х олучеы результат, совпадающий с ответом в примере 4.3 прн 1 =С-1/2.
рзссмотреныая в примере 4.3, является четыой по совокупности аргументов 81пх и созх. Поэтому для ее интегрироваыия целесообразно применить замену 1= 83х: 154 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ Пример 4.5. Найдем веопределенный интеграл от фувк. ции 1/(аяпх+Ьсовх+с). Преобразуем ее к виду ав1п х+ Ьсовх+ с с+ гв!п(х+ у) ' где г = ~/ай+ Ь~ и у = агсвш(Ь/г), и, согласно (4.4), запишем 1 -гяп(х+ у) + . з (4.5) с с+гав(х+у) сз — гзв1пз(х+~р) сз — гзв|пз(х+~р) Проинтегрируем каждое слагаемое в правой части (4.5).
Длл первого из иих примеиим замену гсов(х+~р) =1. При этом -гяп(х+у)с(х=й и 1~ —— -гяп(х+ <р) Их /' й сз — гзешз(х+~р) / Р+сз — гз' Если ~с~ > г, то с учетом табличного интеграла 13 1 $1 гсов(х+ у) 11 = агсФЕ = агой Если же ~с~ ( г, то с учетом табличного иитеграла 14 г сов(х + у) — ~/гз:сз +С гсое(х+ у) + ~/гз - сз Наконец, при ~с~ =г 1 1 11 — — --+ =— С+. гсов(х+ р) 1 11 — — 1п 2~/г~ — с~ 1 )п 2~/гз — сз 4.1. Раццоыальцме фувкцим синуса и «осцыуса 155 При интегрировании второго слагаемого в правой части (. 4.5) сделаем замену ФЕ(х+ У) — 1 (цх/соз (х+ У) = Й): с Их сг — ггз1пг(х+ Р) сИх/созг(х+ 1з) 17' сЮ сг/созг(х+ у) — ггеиг(х+ у),/ (сг — гг)гг+ сг 11ри !с1) г ас~~,/Г:~7с)~ю агщ(с/Г-'77с~~йк(*+у)) 1= +С- +С, ~ус — гг Чс' — г з при ~с~ (г Фс/гг — сг+ с 1~/г5:сг - с Наконец, если ~с! =г, то 1 1 1 = - + С = — 15(х + р) + С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
