Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Укажем алгоритм действий для действительного корня (или пары комплексносопряженных корней) кратности r. Алгоритм этот основан на двухтеоремах.Теорема 1. Существует система из n линейно независимых векk1kqторов α . . . α k , удовлетворяющих соотношениямA αk1 = λk αk1 ;A αk2= λk αk2k1+ α ;........................A αkqk= λk αkqk+ αkqk−1.Векторы αk2 . .
. αkqk — присоединенные векторы, порожденные собственным вектором αk1 ; qk — кратность корня λk , суммаqk для различных корней λk равна n.Теорема 2. Каждому корню λk соответствует qk решений видаk1y k1 = α e λk x ;k2y k2 = ( αkqkk1+ x αkqk −1+ ... +xqk −1αk1 ) e λk x .(qk − 1) !Для каждого кратного корня надо найти присоединенные векторы по теореме 1 и построить решения по теореме 2.130ż = x + y;1 1 0Заметим, что матрица симметрическая, она приводится к диагональному виду ортогональным преобразованием. Следовательно, собственные векторы можно выбрать ортогональными, так какименно в базисе из собственных векторов матрица имеет диагональный вид, а ортогональное преобразование переводит один ортонормированный базис в другой.Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни: −λ 11 |A − λE| = 1 −λ 1 = −λ3 + 3λ + 2 = 11 −λ = − (λ − 2) (λ + 1)2 = 0; λ1 = 2; λ2,3 = −1;⎛⎞⎛ 1 ⎞α1−2 11⎝⎠⎝α12 ⎠ = 0;1 −2 1λ=2α1311 −2−2α11 + α12 + α13 = 0;+ x α )e λk x ;...........................y kqk = ( αЕсли порядок системы мал, то можно действовать проще.Пусть матрица (A − λE) для корня, кратности r будет иметьранг n − r.Это означает, что для данного корня можно подобрать r линейно независимых собственных векторов и соответственно r линейнонезависимых решений вида y = e λx α в фундаментальной системерешений.П р и м е р.
Решить систему уравнений⎛⎞ẋ = y + z;0 1 1⎜⎟ẏ = z + x; A = ⎝ 1 0 1 ⎠ .α11 − 2α12 + α13 = 0;α11 + α12 − 2α13 = 0;⎛⎞11α11 = α12 = α13 ; α = ⎝ 1 ⎠ ;1131⎛⎞1y 1 = e2t ⎝ 1 ⎠ ;1⎞⎛⎞⎛α11 1 1λ = −1; ⎝ 1 1 1 ⎠ ⎝ α2 ⎠ = 0;1 1 1α3α1 + α2 + α3 = 0.Кратность корня равна 2. Ранг матрицы равен n − r = 3 − 2 = 1.Из последнего уравнения можно выбрать координаты двух линейнонезависимых векторов. Например,⎛⎞⎛⎞−20α2 = ⎝ 1 ⎠ , α3 = ⎝ 1 ⎠ .1−1Тогдаyooили⎛⎞⎛⎞−20y 2 = e−t ⎝ 1 ⎠ ; y 3 = e−t ⎝ 1 ⎠ ;1−1⎛ ⎞⎛ ⎛⎞⎛⎞⎞1−20= C1 e2t ⎝ 1 ⎠ + e−t ⎝C2 ⎝ 1 ⎠ + C3 ⎝ 1 ⎠⎠11−1⎧⎪⎪⎪⎨x = C1 e2t − 2C2 e−t ;y = C1 e2t + C2 e−t + C3 e−t ;⎪⎪⎪⎩ z = C e2t + C e−t − C e−t .123Если действительному корню λk кратности r соответствует m(m < r) линейно независимых собственных векторов, то решение 1 + xw 2 + x2 w 3 + .
. . + xr−m−1 ×надо искать в виде y = e λk x (w k , k = 1, 2, . . . , r − m отыски×w r−m ). Координаты векторов wваются путем подстановки решения в систему дифференциальныхуравнений и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях x.132П р и м е р. Решить систему уравнений)ẋ = 3x + 4y;ẏ = −x − y.Получаем: 3− λ4 −1 −1 − λ = λ2 − 2λ + 1 = 0;λ1,2 = 1; Rang (A − λE) = 1.Ищем решение системы уравнений в виде x = (A + Bt) et ,y = (D + Kt) et . Подставим в нее x, y, приравняем коэффициентыпри et , tet в каждом уравнении, получим систему уравнений дляопределения неопределенных коэффициентов⎧⎨ A + B = 3A + 4D;B = 3B + 4K;⎩D + K = −A − D,откуда найдем)B = −2K;2A + 4D = B.Можно выбрать,например,B = K = 0; D = 1; A = −2; тогда решение системы можнозаписать в виде x = −2et ; y = et .1Можно выбрать другие решения констант: D = ; K = −1;2A = 0; B = 2; тогда решение будет выглядеть так: x = 2tet ;1− t et .y=219.
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ.КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК ПОКОЯ.ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВАРассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений, запишем ее уравнения в векторной формеx˙ = f (x̄, t)133⎛⎞1y 1 = e2t ⎝ 1 ⎠ ;1⎞⎛⎞⎛α11 1 1λ = −1; ⎝ 1 1 1 ⎠ ⎝ α2 ⎠ = 0;1 1 1α3α1 + α2 + α3 = 0.Кратность корня равна 2. Ранг матрицы равен n − r = 3 − 2 = 1.Из последнего уравнения можно выбрать координаты двух линейнонезависимых векторов. Например,⎛⎞⎛⎞−20α2 = ⎝ 1 ⎠ , α3 = ⎝ 1 ⎠ .1−1Тогдаyooили⎛⎞⎛⎞−20y 2 = e−t ⎝ 1 ⎠ ; y 3 = e−t ⎝ 1 ⎠ ;1−1⎛ ⎞⎛ ⎛⎞⎛⎞⎞1−20= C1 e2t ⎝ 1 ⎠ + e−t ⎝C2 ⎝ 1 ⎠ + C3 ⎝ 1 ⎠⎠11−1⎧⎪⎪⎪⎨x = C1 e2t − 2C2 e−t ;y = C1 e2t + C2 e−t + C3 e−t ;⎪⎪⎪⎩ z = C e2t + C e−t − C e−t .123Если действительному корню λk кратности r соответствует m(m < r) линейно независимых собственных векторов, то решение 1 + xw 2 + x2 w 3 + .
. . + xr−m−1 ×надо искать в виде y = e λk x (w k , k = 1, 2, . . . , r − m отыски×w r−m ). Координаты векторов wваются путем подстановки решения в систему дифференциальныхуравнений и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях x.132П р и м е р. Решить систему уравнений)ẋ = 3x + 4y;ẏ = −x − y.Получаем: 3− λ4 −1 −1 − λ = λ2 − 2λ + 1 = 0;λ1,2 = 1; Rang (A − λE) = 1.Ищем решение системы уравнений в виде x = (A + Bt) et ,y = (D + Kt) et . Подставим в нее x, y, приравняем коэффициентыпри et , tet в каждом уравнении, получим систему уравнений дляопределения неопределенных коэффициентов⎧⎨ A + B = 3A + 4D;B = 3B + 4K;⎩D + K = −A − D,откуда найдем)B = −2K;2A + 4D = B.Можно выбрать,например,B = K = 0; D = 1; A = −2; тогда решение системы можнозаписать в виде x = −2et ; y = et .1Можно выбрать другие решения констант: D = ; K = −1;2A = 0; B = 2; тогда решение будет выглядеть так: x = 2tet ;1− t et .y=219.
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ.КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК ПОКОЯ.ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВАРассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений, запишем ее уравнения в векторной формеx˙ = f (x̄, t)133или в координатной формеẋk = fk (x1 , . . . , xn , t) k = 1, . . . , n.В качестве независимой переменной выбрано время t, поэтомусистема дифференциальных уравнений является моделью некоторого процесса — изменения переменной x (t) во времени или движения материальной точки, занимающей в фазовом пространстветекущее положение (x1 , . . . , xn ) и изменяющей это положение сизменением времени t. Таким образом, движение — это частноерешение системы дифференциальных уравнений.Зададим некоторые начальные условия t0 , x (t0 ) = x0 .
Пусть∂fkвыполняются условия теоремы Коши (непрерывны функции f,∂xsk = 1, . . . , n, s = 1, . . . , n в рассматриваемой области). Тогда через любую точку рассматриваемой области расширенного фазовогопространства (t0 , x01 , . . . , x0n ) проходит единственная интегральная кривая — график частного решения x (t, t0 , x01 , . . . , x0n ).Назовем движение, «начинающееся» в точке (t0 , x01 , . . . , x0n ), невозмущенным движением x (t, t0 , x01 , .
. . , x0n ). Если «возмутить»— несколько изменить начальные условия в фазовом пространстве,выбрать их t0 , x 01 , . . . , x 0n , то изменится и движение. Назовемдвижение, «начинающееся» в точке t0 , x 01 , . . . , x 0n , возмущенным движением x t, t0 , x 01 , . . . , x 0n . Если возмущение начальных условий невелико, то в некоторой окрестности начальной точкитраектории — движения тоже близки.Справедлива теорема о непрерывности решения по начальным условиям. Пустьусловия теоремы Коши.
Тогда выполнены∀ε > 0 ∃ δ (ε) > 0, x0k − x 0k < δ ⇒xk t, t0 , x 01 , . . . , x 0n −−xk (t, t0 , x01 , . . . , x0n ) < ε при (k = 1, . . . , n), |t − t0 | < δ (ε) .Отсюда видно, что близость возмущенного и невозмущенногодвижений гарантируется в некоторой временной окрестности, размер которой зависит от размеров трубки — окрестности («допуска») в фазовом пространстве координат.134В практике встречаются процессы, для которых надо гарантировать близость возмущенного и невозмущенного движений прилюбом времени t > T (важно, чтобы существовало это некотороевремя T ).Например, запустив спутник на орбиту, полезно быть уверенным, что он не свалится нам на голову через 10 или 100 лет, а будет«вечно» находиться на орбите.В наше время приходится сталкиваться с экологическими проблемами.
Кто же знал, конструируя двигатель внутреннего сгорания, что через некоторое время использование этого открытия поставит под угрозу существование жизни на Земле?Рассматривая близость возмущенного и невозмущенного движений при любом времени t > T , мы приходим к определениюустойчивости движения по Ляпунову.Движение называетсяустойчивымЛяпунову, если ∀ε >по > 0 ∃ δ (ε) > 0, ∃T : x0k − x 0k < δ ⇒xk t, t0 , x 01 , .
. . , x 0n −−xk (t, t0 , x01 , . . . , x0n ) < ε при (k = 1, . . . , n), ∀t > T.Смысл определения в том, что для любого размера окрестности «допуска» (по фазовым координатам) невозмущенного движения существует размер окрестности, в которой можно «возмутить»начальные условия. Причем это возмущение приведет к тому, чтовозмущенное движение после некоторого момента времени Т войдет в окрестность «допуска» и останется в этой окрестности прилюбом t > T .Если движение устойчиво по Ляпунову и limt→∞ x(t, t0 , x̄ 0 ) −−x(t, t0 , x0 ) = 0, то такое движение называется асимптотическиустойчивым.Если движение асимптотически устойчиво, то возмущенноедвижение с ростом времени стремится к невозмущенному.Движение называется неустойчивым по Ляпунову,если∃ε > 0 ∀ δ (ε) > 0, ∃T, ∃s ∈ [1, n] : x0k − x 0k < δ ⇒ ⇒ xs t, t0 , x 01 , .
. . , x 0n − xs (t, t0 , x01 , . . . , x0n ) ε при(k = 1, . . . , n) , ∀t > T.135или в координатной формеẋk = fk (x1 , . . . , xn , t) k = 1, . . . , n.В качестве независимой переменной выбрано время t, поэтомусистема дифференциальных уравнений является моделью некоторого процесса — изменения переменной x (t) во времени или движения материальной точки, занимающей в фазовом пространстветекущее положение (x1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
