Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Знание общего интеграла дает общее решениесистемы, если только можно разрешить уравнение φ (x, y ) = Cотносительно y .Производной скалярной функции в силу системы называетсяn∂φ ∂φ+fk .∂x∂ykk=1Скалярная функция φ (x, y1,..., yn ) является первым интегралом,nесли∂φ ∂φ+fk = 0.∂x∂ykk=1При решении некоторых задач удобно записывать систему уравнений в симметричной форме.Запишем уравнения системы в нормальной (покоординатной)формеdy1= f1 (x, y1 , . . . , yn ) ;dx..............................dyn= fn (x, y1 , . . .
, yn )yn =dxy1 =111и запишем эти уравнения в симметричном видеdxdy1dyn== ... =.1f1 (x, y1 , . . . , yn )fn (x, y1 , . . . , yn )Или, заменяя переменные и правые части x на xn+1 , y1 на x1 , . . . ,. . . yn на xn , f1 на X1 , . . . , fn на Xn , 1 на Xn+1 , получим симметричную форму записи системыdxn+1dx1= ... =.X1 (x1 , . . . , xn+1 )Xn+1 (x1 , . . .
, xn+1 )На переходе к симметричной форме записи основан метод интегрируемых комбинаций, которым иногда удается получить одинили несколько первых интегралов и понизить тем самым порядоксистемы или решить ее.П р и м е р. Решить систему уравненийxdx= 2;x + y2dtdyy= 2.dtx + y2Получим:dyydx1dt; xdx == ⇒ y = Cx;=;2dxxdtx (1 + C )1 + C2x2y2C21==t+C;t + C1 C 2 .1221 + C21 + C2В механике часто рассматриваются автономные системы.Система называется автономной, если в ее правую часть не входит явно независимая переменная y = f (y ).Решение автономной системы можно рассматривать в пространстве координат y1 , .
. . yn , которое принято называть фазовымпространством. Проекция интегральной кривой на это пространство называется фазовой траекторией (или просто траекторией).Вообще говоря, любую систему можно сделать автономной, вводядополнительную фазовую координату — независимую переменную112yn+1 = x и дополнительное уравнение yn+1= x = 1. Фазовое пространство такой системы принято называть расширенным фазовымпространством.Рассмотрим свойства решений автономных систем.1. Если y = ϕ (x) — решение системы, то и y = ϕ (x + C) —тоже является решением, при этомd ϕ (x + C)dϕ (x + C)== f (ϕ (x + C)) .dxd (x + C)Следствие. Фазовая траектория y1 = ϕ (x + C) — это та жефазовая траектория, что и y2 = ϕ (x).В самом деле, любая точка (x + C, y ) фазовой траектории y1является точкой (x, y ) фазовой траектории y2 и наоборот.2.
Две фазовых траектории либо не имеют общих точек, либосовпадают.Пусть две различных фазовых траектории ϕ (x) , φ (x) имеют общую точку ϕ (x1 ) = φ (x2 ). Рассмотрим решение v (x) == φ (x + (x2 − x1 )). Запишем v (x1 ) = φ (x1 + (x2 − x1 )) == φ (x2 ) = ϕ (x1 ). Следовательно, по теореме Коши v (x) ≡ ϕ (x) .Но v (x) — это траектория φ (x), сдвинутая на x2 − x1 по аргументу. По следствию обе фазовые траектории являются одной фазовойтраекторией.Следствие. Множество фазовых траекторий автономной системы в фазовом пространстве представляет собой совокупность непересекающихся кривых.Точка a называется точкой покоя (точкой равновесия) автономной системы, если f (a) = 0.3. Если точка a — точка покоя, то y ≡ a — решение системы.В самом деле, y = a = 0 = f (a).4. Любая фазовая траектория автономной системы есть траектория одного из трех типов:— гладкая, не самопересекающаяся кривая;— замкнутая гладкая кривая;— точка покоя.Введем понятие «фазовый поток».113и запишем эти уравнения в симметричном видеdxdy1dyn== ...
=.1f1 (x, y1 , . . . , yn )fn (x, y1 , . . . , yn )Или, заменяя переменные и правые части x на xn+1 , y1 на x1 , . . . ,. . . yn на xn , f1 на X1 , . . . , fn на Xn , 1 на Xn+1 , получим симметричную форму записи системыdxn+1dx1= ... =.X1 (x1 , . . . , xn+1 )Xn+1 (x1 , . . . , xn+1 )На переходе к симметричной форме записи основан метод интегрируемых комбинаций, которым иногда удается получить одинили несколько первых интегралов и понизить тем самым порядоксистемы или решить ее.П р и м е р. Решить систему уравненийxdx= 2;x + y2dtdyy= 2.dtx + y2Получим:dyydx1dt; xdx == ⇒ y = Cx;=;2dxxdtx (1 + C )1 + C2x2y2C21==t+C;t + C1 C 2 .1221 + C21 + C2В механике часто рассматриваются автономные системы.Система называется автономной, если в ее правую часть не входит явно независимая переменная y = f (y ).Решение автономной системы можно рассматривать в пространстве координат y1 , .
. . yn , которое принято называть фазовымпространством. Проекция интегральной кривой на это пространство называется фазовой траекторией (или просто траекторией).Вообще говоря, любую систему можно сделать автономной, вводядополнительную фазовую координату — независимую переменную112yn+1 = x и дополнительное уравнение yn+1= x = 1. Фазовое пространство такой системы принято называть расширенным фазовымпространством.Рассмотрим свойства решений автономных систем.1. Если y = ϕ (x) — решение системы, то и y = ϕ (x + C) —тоже является решением, при этомd ϕ (x + C)dϕ (x + C)== f (ϕ (x + C)) .dxd (x + C)Следствие. Фазовая траектория y1 = ϕ (x + C) — это та жефазовая траектория, что и y2 = ϕ (x).В самом деле, любая точка (x + C, y ) фазовой траектории y1является точкой (x, y ) фазовой траектории y2 и наоборот.2.
Две фазовых траектории либо не имеют общих точек, либосовпадают.Пусть две различных фазовых траектории ϕ (x) , φ (x) имеют общую точку ϕ (x1 ) = φ (x2 ). Рассмотрим решение v (x) == φ (x + (x2 − x1 )). Запишем v (x1 ) = φ (x1 + (x2 − x1 )) == φ (x2 ) = ϕ (x1 ). Следовательно, по теореме Коши v (x) ≡ ϕ (x) .Но v (x) — это траектория φ (x), сдвинутая на x2 − x1 по аргументу. По следствию обе фазовые траектории являются одной фазовойтраекторией.Следствие. Множество фазовых траекторий автономной системы в фазовом пространстве представляет собой совокупность непересекающихся кривых.Точка a называется точкой покоя (точкой равновесия) автономной системы, если f (a) = 0.3.
Если точка a — точка покоя, то y ≡ a — решение системы.В самом деле, y = a = 0 = f (a).4. Любая фазовая траектория автономной системы есть траектория одного из трех типов:— гладкая, не самопересекающаяся кривая;— замкнутая гладкая кривая;— точка покоя.Введем понятие «фазовый поток».113Рассмотрим решение задачи Коши автономной системыy (x, y0 ). Определим фазовый поток как оператор g x сдвига (поаргументу x) по фазовым траекториям системы g x y0 = y (x, y0 ) .Рассмотрим некоторую область D фазового пространства (фазовым) объемом V0 . Фазовый поток переводит эту область в областьDx объемом Vx .Справедлива теорема ЛиувилляdVx=div f (y ) dμ (y ).dxDxЗдесь мерой μ (y ) в фазовом пространстве может служить фазовыйобъем V ,∂f1∂fn∂ fdivf (y ) =+ ...
+= Tr∂y1∂yn∂y— дивергенция векторного поля правых частей системы или следматрицы Якоби. Левая часть формулы Лиувилля представляет собой изменение фазового объема в единицу «времени» — аргумента,т. е. известный из теории поля поток векторного поля правых частейсистемы — фазовых скоростей. Приведенная формула аналогичнаформуле Остроградского — Гаусса в теории поля.Если divf (y ) = 0, то Vx = const.Если f (y ) = A (x) y , то divf (y ) = TrA (x) = a11 (x) + . . . ++ ann (x). Это⎛дает формулу⎞для определения фазового объема⎝V (x) = C expTrA (x) dx⎠, что совпадает с формулой ОстроDxградского — Лиувилля определителя Вронского для линейных автономных систем.
Поэтому определитель Вронского имеет смыслфазового объема (определитель всегда имеет смысл некоторогообъема, вспомним хотя бы смысл смешанного произведения векторов).17. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙНеоднородную систему линейных дифференциальных уравнений можно записать в видеy = A (x) y + f (x) .Однородную систему линейных дифференциальных уравненийможно записать в видеy = A (x) y .Все теоремы для линейных систем аналогичны соответствующим теоремам для линейных дифференциальных уравнений высших порядков. Этого и следовало ожидать, так как система дифференциальных уравнений сводится к дифференциальному уравнению высшего порядка.Рассмотрим теоремы о свойствах решений однородной и неоднородной системы.Теорема. Если yo1 , yo2 — решения однородной системы, тоyo1 + y02 , λyo1 , λy02 — решения однородной системы.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Запишем(yo1 + yo2 ) = y01+ y02= A (x) yo1 + A (x) y02 == A (x) (y01 + y02 ) ;(λy01 ) = λy01= λA (x) y01 = A (x) (λy01 ) .Теорема. Если y0, yн — решения однородной и неоднороднойсистем, то y0 + yн — решение неоднородной системы.Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем(y0 + yн ) = y o + y н == A (x) y0 + A (x) yн + f (x) = A (x) (y0 + yн ) + f (x) .Теорема.
Если yн1 , yн2 — решения неоднородной системы, тоyн1 − yн2 — решение однородной системы.114115Рассмотрим решение задачи Коши автономной системыy (x, y0 ). Определим фазовый поток как оператор g x сдвига (поаргументу x) по фазовым траекториям системы g x y0 = y (x, y0 ) .Рассмотрим некоторую область D фазового пространства (фазовым) объемом V0 . Фазовый поток переводит эту область в областьDx объемом Vx .Справедлива теорема ЛиувилляdVx=div f (y ) dμ (y ).dxDxЗдесь мерой μ (y ) в фазовом пространстве может служить фазовыйобъем V ,∂f1∂fn∂ fdivf (y ) =+ ... += Tr∂y1∂yn∂y— дивергенция векторного поля правых частей системы или следматрицы Якоби. Левая часть формулы Лиувилля представляет собой изменение фазового объема в единицу «времени» — аргумента,т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
