Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Решить уравнение y (5) + y = x + sin x. Получаем:k 5 + k 2 = k 2 (k + 1) k 2 − k + 1 = 0; k1,2 = 0;√31;k3 = −1; k4,5 = ± i22√√ x33yoo = C1 + C2 x + C3 e−x + e 2 C4 cosx + C5 sinx .22Ищем yч1 — частное решение, соответствующее правой части уравнения f1 (x) = x, (α = 0, Pn (x) = x, n = 1). Кореньα = 0 содержится в корнях характеристического уравнения 2раза, поэтому yч1 = x2 (Ax + B) .
Подставляя yч1 в неоднородное уравнение с правой частью f1 (x) = x, получаем 6Ax +11+ 2B = x ⇒ A = , B = 0, yч1 = x3 .66Ищем yч1 (x) — частное решение, соответствующее правой части уравнения f2 (x) = sin x, (α = 0, β = 1, α ± iβ = ±i) . Корни±i не содержатся в корнях характеристического уравнения, поэтому yч,2 = D cos x + E sin x. Подставляя yч2 в неоднородное уравнение с правой частью f2 (x) = sin x, получаем(E − D) cos x − (E + D) sin x = sin x, ⇒ E − D = 0, E + D =1=1⇒E=D= ;21yч2 = D cos x + E sin x, yч2 = (cos x + sin x).2Объединим yч1 и yч2 в частное решениеyч =1 3 1x + (cos x + sin x).62103П р и м е р. Решить уравнение y (5) + y = x + sin x.
Получаем:k 5 + k 3 = k 3 (k + i) (k − i) = 0, ⇒ k1,2,3 = 0, k4,5 = ±i;yoo = C1 + C2 x + C3 x2 + C4 cos x + C5 sin x;f1 (x) = x, (α = 0, Pn (x) = x, n = 1) ;Корень α = 0 содержится в корнях характеристического уравнения3 раза, поэтому yч1 = x3 (Ax + B) ; f2 (x) = sin x, (α = 0, β = 1,α ± iβ = ±i). Корни ±i (пара корней) содержатся в корнях характеристического уравнения один раз, поэтому yч2 = x(D cos x ++ E sin x). Неопределенные коэффициенты определяются, как ивыше, подстановкой в исходное уравнение и сравнением коэффициентов при одинаковых степенях x: при sin x, cos x, x sin x, x cos x.Теорема.
Любое дифференциальное уравнение, разрешенноеотносительно старшей производной, можно свести к системе дифференциальных уравнений первого порядка.Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядкаy (n) = f x, y, y , . . . , y (n−1) .Обозначим y0 (x) = y (x), y0 (x) = y1 , y1 (x) = y2 , . . . , yn−2== yn−1 . Дифференциальное уравнение n-го порядка сведено к системе n дифференциальных уравнений первого порядкаy0 (x) = y1 ;y1 (x) = y2 ;............16. НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙСистема дифференциальных уравнений — это система уравнений относительно независимой переменной x, функций этой пе(m )ременной и их производных y1 , y1 , y1 , .
. . , y1 1 , . . . , yn , yn , . . . ,(m ). . . yn n . Система может быть записана в общем виде(m1 )F1 (x, y1 , y1 , y1 , . . . , y1, . . . , yn , yn , . . . , yn(mn ) ) = 0;...................................................(m1 )Fn (x, y1 , y1 , y1 , . . . , y1, . . . , yn , yn , . . . , yn(mn ) ) = 0.Порядок этой системы равен m1 + . . . + mn .Пользуясь теоремой о неявной функции, можно разрешить систему уравнений относительно старших производных и записать еев каноническом виде(m1 )y1(m1 −1)= ϕ1 (x, y1 , y1 , y1 , .
. . , y1, . . . , yn , yn , . . . , yn(mn −1) );............................................................(m1 −1)yn(mn ) = ϕ1 (x, y1 , y1 , y1 , . . . , y1104, . . . , yn , yn , . . . , yn(mn −1) ).yn−2= yn−1 ;yn−1= f (x, y0 , y1 , . . . , yn−1 ) .Применяя эту теорему, можно от канонического вида системыдифференциальных уравнений перейти к системе дифференциальных уравнений первого порядка, т.
е. к нормальному виду системы.y10 (x) = y1 (x) ;y10= y11 ;y11= y12 ;...............y1m= f1 (x, y10 , . . . , y1 m1 −1 , . . . , yn0 , . . . , yn mn −1 ) ;1 −1.........................................................yn 0 (x) = yn (x) ;yn 0 = yn 1 ;...............yn mn −1 = fn (x, y10 , . . . , y1 т1 −1 , . . .
, yn 0 , . . . , yn mn −1 ) .105П р и м е р. Решить уравнение y (5) + y = x + sin x. Получаем:k 5 + k 3 = k 3 (k + i) (k − i) = 0, ⇒ k1,2,3 = 0, k4,5 = ±i;yoo = C1 + C2 x + C3 x2 + C4 cos x + C5 sin x;f1 (x) = x, (α = 0, Pn (x) = x, n = 1) ;Корень α = 0 содержится в корнях характеристического уравнения3 раза, поэтому yч1 = x3 (Ax + B) ; f2 (x) = sin x, (α = 0, β = 1,α ± iβ = ±i).
Корни ±i (пара корней) содержатся в корнях характеристического уравнения один раз, поэтому yч2 = x(D cos x ++ E sin x). Неопределенные коэффициенты определяются, как ивыше, подстановкой в исходное уравнение и сравнением коэффициентов при одинаковых степенях x: при sin x, cos x, x sin x, x cos x.Теорема.
Любое дифференциальное уравнение, разрешенноеотносительно старшей производной, можно свести к системе дифференциальных уравнений первого порядка.Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядкаy (n) = f x, y, y , . . . , y (n−1) .Обозначим y0 (x) = y (x), y0 (x) = y1 , y1 (x) = y2 , . . . , yn−2== yn−1 . Дифференциальное уравнение n-го порядка сведено к системе n дифференциальных уравнений первого порядкаy0 (x) = y1 ;y1 (x) = y2 ;............16.
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙСистема дифференциальных уравнений — это система уравнений относительно независимой переменной x, функций этой пе(m )ременной и их производных y1 , y1 , y1 , . . . , y1 1 , . . . , yn , yn , . . . ,(m ). . . yn n . Система может быть записана в общем виде(m1 )F1 (x, y1 , y1 , y1 , . . . , y1, . . . , yn , yn , . . . , yn(mn ) ) = 0;...................................................(m1 )Fn (x, y1 , y1 , y1 , . . .
, y1, . . . , yn , yn , . . . , yn(mn ) ) = 0.Порядок этой системы равен m1 + . . . + mn .Пользуясь теоремой о неявной функции, можно разрешить систему уравнений относительно старших производных и записать еев каноническом виде(m1 )y1(m1 −1)= ϕ1 (x, y1 , y1 , y1 , . . .
, y1, . . . , yn , yn , . . . , yn(mn −1) );............................................................(m1 −1)yn(mn ) = ϕ1 (x, y1 , y1 , y1 , . . . , y1104, . . . , yn , yn , . . . , yn(mn −1) ).yn−2= yn−1 ;yn−1= f (x, y0 , y1 , . . . , yn−1 ) .Применяя эту теорему, можно от канонического вида системыдифференциальных уравнений перейти к системе дифференциальных уравнений первого порядка, т.
е. к нормальному виду системы.y10 (x) = y1 (x) ;y10= y11 ;y11= y12 ;...............y1m= f1 (x, y10 , . . . , y1 m1 −1 , . . . , yn0 , . . . , yn mn −1 ) ;1 −1.........................................................yn 0 (x) = yn (x) ;yn 0 = yn 1 ;...............yn mn −1 = fn (x, y10 , . . . , y1 т1 −1 , . . . , yn 0 , . . . , yn mn −1 ) .105Получена система из m1 + .
. . + mn дифференциальных уравнений первого порядка.Удобнее нормальную систему дифференциальных уравнений(систему в нормальной форме) записывать в видеТеорема. Пусть задана система n дифференциальных уравнений первого порядкаy1 = f1 (x, y1 , . . . , yn ) ;.....................y1 = f1 (x, y1 , . . . , yn ) ;yn = fn (x, y1 , . . .
, yn ) .........................Обозначимyn = fn (x, y1 , . . . , yn ) ,т. е. в покоординатной форме, или в виде⎛⎞⎛y1f1⎜⎟⎜⎜⎟⎜y = f (x, y ) , где y = ⎜ . . . ⎟ , f = ⎜ f2⎝⎠⎝yn...⎞⎟⎟⎟,⎠т. е. в векторной форме.П р и м е р. Система уравнений имеет канонический видy1 = sin y1 cos y2 ;y2 = xy1 + y2 .Приведем ее к нормальному виду(y10 = y1 );y10= y11 ;y11= sin y11 cos y21 ;(y20 = y2 );y20= y21 ;y21= xy10 + y21 .Оказывается, не только дифференциальное уравнение n-го порядка сводится к системе n дифференциальных уравнений первогопорядка — нормальной системе, но и нормальная система можетбыть сведена к одному дифференциальному уравнению.106∂f1 ∂f1+fk ;∂x∂yknF2 =F3 =∂F2+∂xk=1nk=1∂F2fk ;∂yk........................n∂Fn−2 ∂Fn−2+Fn−1 =fk .∂x∂ykk=1Потребуем, чтобы функция Fn−1 была дифференцируемой посовокупности переменных.
Потребуем, чтобы определитель Δ былравен 0: ∂f1∂f1...∂yn ∂y2 ∂F2∂F2... = 0.Δ = ∂y2∂yn ......... ∂Fn−1. . . ∂Fn−1 ∂y2∂ynТогда система n дифференциальных уравнений эквивалентна одному дифференциальному уравнению n-ого порядка.Д о к а з а т е л ь с т в о. Метод доказательства называется методом исключения переменных и применяется на практике при сведении системы к одному уравнению. Продифференцируем функциюFn−1 :n∂Fn−1 ∂Fn−1 +Fn =y .∂x∂yk kk=1Построим алгоритм метода исключения.107Получена система из m1 + . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
