Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

. + mn дифференциальных уравнений первого порядка.Удобнее нормальную систему дифференциальных уравнений(систему в нормальной форме) записывать в видеТеорема. Пусть задана система n дифференциальных уравнений первого порядкаy1 = f1 (x, y1 , . . . , yn ) ;.....................y1 = f1 (x, y1 , . . . , yn ) ;yn = fn (x, y1 , . . .

, yn ) .........................Обозначимyn = fn (x, y1 , . . . , yn ) ,т. е. в покоординатной форме, или в виде⎛⎞⎛y1f1⎜⎟⎜⎜⎟⎜y = f (x, y ) , где y = ⎜ . . . ⎟ , f = ⎜ f2⎝⎠⎝yn...⎞⎟⎟⎟,⎠т. е. в векторной форме.П р и м е р. Система уравнений имеет канонический видy1 = sin y1 cos y2 ;y2 = xy1 + y2 .Приведем ее к нормальному виду(y10 = y1 );y10= y11 ;y11= sin y11 cos y21 ;(y20 = y2 );y20= y21 ;y21= xy10 + y21 .Оказывается, не только дифференциальное уравнение n-го порядка сводится к системе n дифференциальных уравнений первогопорядка — нормальной системе, но и нормальная система можетбыть сведена к одному дифференциальному уравнению.106∂f1 ∂f1+fk ;∂x∂yknF2 =F3 =∂F2+∂xk=1nk=1∂F2fk ;∂yk........................n∂Fn−2 ∂Fn−2+Fn−1 =fk .∂x∂ykk=1Потребуем, чтобы функция Fn−1 была дифференцируемой посовокупности переменных.

Потребуем, чтобы определитель Δ былравен 0: ∂f1∂f1...∂yn ∂y2 ∂F2∂F2... = 0.Δ = ∂y2∂yn ......... ∂Fn−1. . . ∂Fn−1 ∂y2∂ynТогда система n дифференциальных уравнений эквивалентна одному дифференциальному уравнению n-ого порядка.Д о к а з а т е л ь с т в о. Метод доказательства называется методом исключения переменных и применяется на практике при сведении системы к одному уравнению. Продифференцируем функциюFn−1 :n∂Fn−1 ∂Fn−1 +Fn =y .∂x∂yk kk=1Построим алгоритм метода исключения.107Пусть y1 , . . .

, yn — решения системы (y1 = f1 , . . . , yn = fn ),тогда уравнения системы∂f1 ∂f1 +F2 =y = y1 ;∂x∂yk knF3 =∂F2+∂xk=1nk=1Покажем эквивалентность решений исходной системы и полученного уравнения. Предположим, что y1 , . . . , yn — решения по(n)лученного уравнения для y1 , покажем, что y1 , . . . , y n — решенияисходной системы. Справедливо уравнение y1 = f1 . Дифференцируя обе части этого уравнения, получим∂F2 yk = y1 ;∂yky1oбозначимполучимy1= F2 . Дифференцируя обе части этого уравнения,k=2представляют собой тождества.Дифференцируя последнее тождество, получимoбозначим y1 = F3 и аналогично дифференцируем и т. д.Окончательно получим∂Fn−1 ∂Fn−1 (n)+Fn =yk = y1 .∂x∂ykn(n)y1k=1(n)oбозначим y1 = Fn .Приравниваем функции F2 , F3 , .

. . , Fn функциям, введеннымпри построении алгоритма метода исключения, сокращая первые ивторые слагаемые, получаем систему уравненийy1 = f1 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) ;y1 = F2 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) ;y1 = F3 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) ;n∂f1 yk − fk = 0;∂yk...........................= Fn−1 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) .k=2(n−1)Из этих уравнений можно выразить y2 , .

. . , yn через y1 , . . . , y1,так как определитель системы этих уравнений Δ = 0.Подставим выражения y2 , . . . , yn через производныеy1 , . . . ,(n)y1в выражение для Fn , получим= Fn x, y1 , y2(n−1)(n−1). Так как выраженияy1 , . . . , y1, . . . , yn y1 , . . . , y1y1f1 , . . . , yny1 , . . . , yn — решения системы== fn , то они являются и решениями полученного уравнения. Следовательно, системаy1 = f1 , .

. . , yn = fn сведена к одному уравнению n-го порядка.108∂Fn−1 ∂Fn−1 ∂Fn−1 +y +y ,∂x∂y1 1∂yk kn=k=2Запишем выражения для производных в виде(n−1). . . y1∂F2 ∂F2 ∂F2 +y +y ,∂x∂y1 1∂yk kny1 =k=1(n−1)nk=2..............................n∂Fn−2 ∂Fn−2 (n−1)+Fn−1 =y = y1∂x∂yk ky1∂f1 ∂f1 ∂f1 +=y +y ,∂x∂y1 1∂yk kn∂F2 yk − fk = 0;∂ykk=2........................n∂Fn−1 yk − fk = 0.∂ykk=2Определитель этой системы Δ = 0, следовательно, в качествеединственного решения системы имеем y2 = f2 , . . . , yn = fn . Поэтому решения эквивалентны. Теорема доказана.109Пусть y1 , . .

. , yn — решения системы (y1 = f1 , . . . , yn = fn ),тогда уравнения системы∂f1 ∂f1 +F2 =y = y1 ;∂x∂yk knF3 =∂F2+∂xk=1nk=1Покажем эквивалентность решений исходной системы и полученного уравнения. Предположим, что y1 , . . . , yn — решения по(n)лученного уравнения для y1 , покажем, что y1 , . . . , y n — решенияисходной системы.

Справедливо уравнение y1 = f1 . Дифференцируя обе части этого уравнения, получим∂F2 yk = y1 ;∂yky1oбозначимполучимy1= F2 . Дифференцируя обе части этого уравнения,k=2представляют собой тождества.Дифференцируя последнее тождество, получимoбозначим y1 = F3 и аналогично дифференцируем и т. д.Окончательно получим∂Fn−1 ∂Fn−1 (n)+Fn =yk = y1 .∂x∂ykn(n)y1k=1(n)oбозначим y1 = Fn .Приравниваем функции F2 , F3 , . . . , Fn функциям, введеннымпри построении алгоритма метода исключения, сокращая первые ивторые слагаемые, получаем систему уравненийy1 = f1 (x, y1 , y2 , .

. . , yn ) ;y1 = F2 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) ;y1 = F3 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) ;n∂f1 yk − fk = 0;∂yk...........................= Fn−1 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) .k=2(n−1)Из этих уравнений можно выразить y2 , . . . , yn через y1 , . . . , y1,так как определитель системы этих уравнений Δ = 0.Подставим выражения y2 , . . .

, yn через производныеy1 , . . . ,(n)y1в выражение для Fn , получим= Fn x, y1 , y2(n−1)(n−1). Так как выраженияy1 , . . . , y1, . . . , yn y1 , . . . , y1y1f1 , . . . , yny1 , . . . , yn — решения системы== fn , то они являются и решениями полученного уравнения. Следовательно, системаy1 = f1 , . . . , yn = fn сведена к одному уравнению n-го порядка.108∂Fn−1 ∂Fn−1 ∂Fn−1 +y +y ,∂x∂y1 1∂yk kn=k=2Запишем выражения для производных в виде(n−1). . . y1∂F2 ∂F2 ∂F2 +y +y ,∂x∂y1 1∂yk kny1 =k=1(n−1)nk=2..............................n∂Fn−2 ∂Fn−2 (n−1)+Fn−1 =y = y1∂x∂yk ky1∂f1 ∂f1 ∂f1 +=y +y ,∂x∂y1 1∂yk kn∂F2 yk − fk = 0;∂ykk=2........................n∂Fn−1 yk − fk = 0.∂ykk=2Определитель этой системы Δ = 0, следовательно, в качествеединственного решения системы имеем y2 = f2 , . .

. , yn = fn . Поэтому решения эквивалентны. Теорема доказана.109П р и м е р. Решить систему уравненийẋ = 2x + y;ẏ = x + 2y.Получим:ẍ = 2ẋ + ẏ = 2ẋ + x + 2y = 2ẋ + x + 2 (ẋ − 2x) = 4ẋ − 3x;ẍ − 4ẋ + 3x = 0, k 2 − 4k + 3 = 0, k1 = 1, k2 = 3;x (t) = C1 et + C2 e3t ;y (t) = ẋ (t) − 2x (t) = C1 et + 3C2 e3t − 2C1 et − 2C2 e3t == −C1 et + C2 e3t . называется общим решением системы,Функция y = ϕ(x, C)если: выражение y = ϕ(x, C) — решение1) для любого вектора Cсистемы;2) для произвольных начальных условий (x0 , y0 ) найдется та 0 , что y0 = ϕ(x0 , C 0 ).кой вектор C в общем решении, получим частное реЕсли зафиксировать Cшение системы.Сформулируем задачу Коши.Найти решение системы y = f (x, y ), удовлетворяющее заданным начальным условиям y0 = y (x0 ) .Теорема Коши о существовании и единственности решениязадачи Коши.Пусть функция f (x, y ) непрерывна по совокупности перемен∂fk,ных.

Пусть существуют и непрерывны частные производные∂ysk = 1, . . . , n, s = 1, . . . , n. Тогда существует и единственное решение задачи Коши. (Без доказательства.)Фундаментальное значение в математике и ее технические приложения имеют первые интегралы.Пусть выполнены условия теоремы Коши. Рассмотрим решение задачи Коши y (x, x0 ) при заданных начальных условияхy (x0 ) = y0 . По теореме Коши оно существует и единственно. Такое110решение y = ϕ (x, x0 , y0 ) можно представить себе как некоторуюинтегральную кривую, соединяющую точки (x0 , y0 ), (x, y ).Если в качестве начальных условий выбрать y (x) = y , топо теореме Коши через точку (x, y ) проходит та же единственная интегральная кривая, ее уравнение можно записать в виде = y0 , получимy0 = φ (x0 , x, y ).

Зафиксируем x0 , обозначим Cсоотношение φ (x, y) = C — общий интеграл системы дифференциальных уравнений (векторное соотношение). Первый интегралсистемы дифференциальных уравнений — скалярная составляющая общего интеграла. Общий интеграл системы дифференциальных уравнений — векторная функция, сохраняющая свое значениена решениях системы. Первый интеграл системы дифференциальных уравнений — скалярная функция, сохраняющая свое значениена решениях системы.Знание одного первого интеграла позволяет понизить порядоксистемы на единицу.

Знание общего интеграла дает общее решениесистемы, если только можно разрешить уравнение φ (x, y ) = Cотносительно y .Производной скалярной функции в силу системы называетсяn∂φ ∂φ+fk .∂x∂ykk=1Скалярная функция φ (x, y1,..., yn ) является первым интегралом,nесли∂φ ∂φ+fk = 0.∂x∂ykk=1При решении некоторых задач удобно записывать систему уравнений в симметричной форме.Запишем уравнения системы в нормальной (покоординатной)формеdy1= f1 (x, y1 , . . . , yn ) ;dx..............................dyn= fn (x, y1 , . . . , yn )yn =dxy1 =111П р и м е р.

Решить систему уравненийẋ = 2x + y;ẏ = x + 2y.Получим:ẍ = 2ẋ + ẏ = 2ẋ + x + 2y = 2ẋ + x + 2 (ẋ − 2x) = 4ẋ − 3x;ẍ − 4ẋ + 3x = 0, k 2 − 4k + 3 = 0, k1 = 1, k2 = 3;x (t) = C1 et + C2 e3t ;y (t) = ẋ (t) − 2x (t) = C1 et + 3C2 e3t − 2C1 et − 2C2 e3t == −C1 et + C2 e3t . называется общим решением системы,Функция y = ϕ(x, C)если: выражение y = ϕ(x, C) — решение1) для любого вектора Cсистемы;2) для произвольных начальных условий (x0 , y0 ) найдется та 0 , что y0 = ϕ(x0 , C 0 ).кой вектор C в общем решении, получим частное реЕсли зафиксировать Cшение системы.Сформулируем задачу Коши.Найти решение системы y = f (x, y ), удовлетворяющее заданным начальным условиям y0 = y (x0 ) .Теорема Коши о существовании и единственности решениязадачи Коши.Пусть функция f (x, y ) непрерывна по совокупности перемен∂fk,ных. Пусть существуют и непрерывны частные производные∂ysk = 1, .

. . , n, s = 1, . . . , n. Тогда существует и единственное решение задачи Коши. (Без доказательства.)Фундаментальное значение в математике и ее технические приложения имеют первые интегралы.Пусть выполнены условия теоремы Коши. Рассмотрим решение задачи Коши y (x, x0 ) при заданных начальных условияхy (x0 ) = y0 . По теореме Коши оно существует и единственно. Такое110решение y = ϕ (x, x0 , y0 ) можно представить себе как некоторуюинтегральную кривую, соединяющую точки (x0 , y0 ), (x, y ).Если в качестве начальных условий выбрать y (x) = y , топо теореме Коши через точку (x, y ) проходит та же единственная интегральная кривая, ее уравнение можно записать в виде = y0 , получимy0 = φ (x0 , x, y ). Зафиксируем x0 , обозначим Cсоотношение φ (x, y) = C — общий интеграл системы дифференциальных уравнений (векторное соотношение).

Первый интегралсистемы дифференциальных уравнений — скалярная составляющая общего интеграла. Общий интеграл системы дифференциальных уравнений — векторная функция, сохраняющая свое значениена решениях системы. Первый интеграл системы дифференциальных уравнений — скалярная функция, сохраняющая свое значениена решениях системы.Знание одного первого интеграла позволяет понизить порядоксистемы на единицу.

Характеристики

Список файлов книги