Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 30
Текст из файла (страница 30)
. + Cn ynn (x0 ) = y0n .Определитель этой системы равен W (x0 ) = 0, так как решениялинейно независимы. Поэтому набор констант C1 , . . . , Cn определяется из системы уравнений единственным образом. Теорема доказана.Следствие. Общее решение однородной системы можно записать в виде⎛⎞C1 C = ⎝ ... ⎠.yoo (x) = Y (x) C,CnВведем определение матрицы Коши (матрициант).Пусть надо записать решение задачи Коши, удовлетворяющееначальным условиям y (x0 ) = y0 :120TrA (x) = a11 (x) + a22 (x) + . . .
+ ann (x) .Выведем эту формулу.Фундаментальная матрица системы является решением однородной системы. Запишем уравнение для k-го столбца фундаментальной матрицы — координат решения yk :⎛ ⎞ ⎛⎞⎛⎞yka11 . . . a1nyk1⎝ ... ⎠ = ⎝ ... ... ...
⎠⎝ ... ⎠.yk nan1 . . . annyknОтсюда yks= as1 yk1 + as2 yk2 + . . . + asn ykn .Запишем определитель Вронского и продифференцируем его,подставляя вместо производных координат решений полученноесоотношение: y11y2 1...yn 1 .......... . . W (x) = y; 1 n−1 y2 n−1 . . . yn n−1 y1 ny2 n...yn n 121 y11 ...W (x) = y 1 n−1 y1 n y11 ....
. . + y 1 n−1 y1 n y11 ...+ y 1 n−1 y1ny2 1...y2 n−1y2 n...yn 1....... . . yn n−1...yn ny2 1......yn 1....... . . yn n−1y2 n...y2 n−1y2 1...y2 n−1y2 nyn n...yn 1....... . . yn n−1...yn n + ... y1 1y2 1......+ yy1n−12n−1 an n y 1 n an n y2 n+Здесь определитель Вронского представлен в виде суммы определителей и учтено равенство нулю определителей с одинаковымистроками. В результате получено соотношение W (x) = TrA (x) W ,где TrA (x) = a11 (x) + . .
. + ann (x) — след матрицы системы. Отсюда выведем формулу Остроградского — ЛиувилляW (x) = C expT rA (x)dx .= a11 y11 + a12 y12 + . . . a1n y1n a11 y21 + a12 y22 + . . . a1n y2n......= y1 n−1y2 n−1y1 ny2 n. . . a11 yn1.........y2 1...y1 1.......... . .+ay+...ayay+...ayn−1 n 1 nn−1 1 2 1n−1 n 2 n . . . an−1 1 yn n−1 1 11y1 ny2 n...+y2 1...yn 1y1 1............+ yy...y1 n−12 n−1n n−1 an 1 y1 1 + . . .
an n y1 n an 1 y2 1 + . . . an n y2 n . . . an 1 yn 1 + . . . + an n a11 y11 a11 y21 ......= yy2 n−1 1 n−1 y1 ny2 n122. . . a11 yn1....... . . yn n−1...yn n + ...+...yn 1....... . . yn n−1. . . an n y n n = (a11 + . . . + ann ) W (x) .Заметим, что эту формулу можно получить как следствие из теоремы Лиувилля о фазовом объеме.Теорема о структуре общего решения неоднородной системы. Общее решение неоднородной системы равно сумме общегорешения однородной системы и частного решения неоднороднойсистемы:yoн (x) = yoo (x) + yчн (x) .Д о к а з а т е л ь с т в о. Решением неоднородной системы потеореме о свойствах решений является yoн (x) = yoo (x) + yчн (x).Покажем, что yoн (x) — общее решение неоднородной системы.Зададим произвольные начальные условия yoн (x0 ) = y0 . Выберем какое-либо частное решение неоднородной системы yчн (x)и вычислим для него начальные условия yчн (x0 ) в точке x0 .
Составим систему уравнений yoo (x0 ) = yoн (x0 ) − yчн (x0 ) = u изапишем ее покоординатно:C1 y11 (x0 ) + . . . + Cn yn1 (x0 ) = u1 ;....................................C1 y1n (x0 ) + . . . + Cn ynn (x0 ) = un .Определитель этой системы — определитель Вронского, он неравен нулю, так как составлен из линейно независимых решений,образующих фундаментальную систему решений.
Следовательно,123 y11 ...W (x) = y 1 n−1 y1 n y11 .... . . + y 1 n−1 y1 n y11 ...+ y 1 n−1 y1ny2 1...y2 n−1y2 n...yn 1....... . . yn n−1...yn ny2 1......yn 1....... . . yn n−1y2 n...y2 n−1y2 1...y2 n−1y2 nyn n...yn 1....... . . yn n−1...yn n + ... y1 1y2 1......+ yy1n−12n−1 an n y 1 n an n y2 n+Здесь определитель Вронского представлен в виде суммы определителей и учтено равенство нулю определителей с одинаковымистроками. В результате получено соотношение W (x) = TrA (x) W ,где TrA (x) = a11 (x) + .
. . + ann (x) — след матрицы системы. Отсюда выведем формулу Остроградского — ЛиувилляW (x) = C expT rA (x)dx .= a11 y11 + a12 y12 + . . . a1n y1n a11 y21 + a12 y22 + . . . a1n y2n......= y1 n−1y2 n−1y1 ny2 n. . . a11 yn1.........y2 1...y1 1.......... . .+ay+...ayay+...ayn−1 n 1 nn−1 1 2 1n−1 n 2 n . . . an−1 1 yn n−1 1 11y1 ny2 n...+y2 1...yn 1y1 1............+ yy...y1 n−12 n−1n n−1 an 1 y1 1 + . .
. an n y1 n an 1 y2 1 + . . . an n y2 n . . . an 1 yn 1 + . . . + an n a11 y11 a11 y21 ......= yy2 n−1 1 n−1 y1 ny2 n122. . . a11 yn1....... . . yn n−1...yn n + ...+...yn 1....... . . yn n−1. . . an n y n n = (a11 + . . . + ann ) W (x) .Заметим, что эту формулу можно получить как следствие из теоремы Лиувилля о фазовом объеме.Теорема о структуре общего решения неоднородной системы. Общее решение неоднородной системы равно сумме общегорешения однородной системы и частного решения неоднороднойсистемы:yoн (x) = yoo (x) + yчн (x) .Д о к а з а т е л ь с т в о. Решением неоднородной системы потеореме о свойствах решений является yoн (x) = yoo (x) + yчн (x).Покажем, что yoн (x) — общее решение неоднородной системы.Зададим произвольные начальные условия yoн (x0 ) = y0 .
Выберем какое-либо частное решение неоднородной системы yчн (x)и вычислим для него начальные условия yчн (x0 ) в точке x0 . Составим систему уравнений yoo (x0 ) = yoн (x0 ) − yчн (x0 ) = u изапишем ее покоординатно:C1 y11 (x0 ) + . . . + Cn yn1 (x0 ) = u1 ;....................................C1 y1n (x0 ) + . . . + Cn ynn (x0 ) = un .Определитель этой системы — определитель Вронского, он неравен нулю, так как составлен из линейно независимых решений,образующих фундаментальную систему решений. Следовательно,123набор констант из этой системы уравнений определяется однозначно. Теорема доказана.Рассмотрим метод вариации произвольной постоянной.Общее решение однородной системы можно записать в виде где Y (x) — фундаментальная матрица системы;yoo (x) = Y (x) C, — вектор произвольных постоянных.CБудем искать решение неоднородной системы в том же виде, варьируя вектор произвольных постоянных: (x) .yoн (x) = Y (x) CЗдесь в полном соответствии с теоремой о структуре общего решения неоднородной системы первое слагаемое представляет собойобщее решение однородной системы, а второе слагаемое — частное решение неоднородной системы.Вычисляем производную и подставляем ее в уравнение неоднородной системы: (x) + Y (x) C (x) ;y (x) = Y (x) CСистема линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записана в векторной формеoн(x)yoн (x) + Y (x) C (x) = A (x) Y (x) C (x) + f (x) .= Y (x) CТак как фундаментальная матрица удовлетворяет уравнениюоднородной системы, то Y (x) = A (x) Y (x).
Поэтому в последнем уравнении для yон = (x) (как и всегда в методе вариации)сокращается пара слагаемых A(x)Y (x)C(x).Получаем уравнениеY (x) C (x) = f (x). Так как фундаментальная матрица не вырождена ((det Y (x) = W (x) = 0)), то уравнение для определения (x) имеет видвектора C (x) = Y −1 (x) f (x) .CИнтегрируя это уравнение, получаем1C (x) = Y −1 (x) f¯ (x) dx + C(здесь предполагается, что при вычислении интеграла вектор кон 1 ).стант не добавляется, он уже добавлен в виде вектора CПодставляя C(x) в yoн , получаем1) =yoн (x) = Y (x) ( Y −1 (x) f¯ (x) dx + C 1 + Y (x) Y −1 (x) f (x) dx.Y (x) C12418.
ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙС ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИy = Ay ,где⎛⎞⎛⎞a11 . . . a1ny1A = ⎝ . . . . . . . . . . ⎠ ; y = ⎝ . . . ⎠ ,an1 . . . annynили в покоординатной формеy1 = a11 y1 + . . . + a1n yn ;........................yn = an1 y1 + . . . + ann yn .Будем искать решение системы в виде⎞⎛α1y = e λx α, α = ⎝ . . . ⎠ .αnПодставляя y в уравнение системы в векторной форме, находимλe λx α = Ae λx α; e λx (A α − λ α) = 0; A α = λα.Получено уравнение для определения соответствующего собственному значению λ собственного вектора α ( α = 0) линейногооператора с матрицей A. Система уравненийA α = λ α, или (A − λE) α = 0125набор констант из этой системы уравнений определяется однозначно.
Теорема доказана.Рассмотрим метод вариации произвольной постоянной.Общее решение однородной системы можно записать в виде где Y (x) — фундаментальная матрица системы;yoo (x) = Y (x) C, — вектор произвольных постоянных.CБудем искать решение неоднородной системы в том же виде, варьируя вектор произвольных постоянных: (x) .yoн (x) = Y (x) CЗдесь в полном соответствии с теоремой о структуре общего решения неоднородной системы первое слагаемое представляет собойобщее решение однородной системы, а второе слагаемое — частное решение неоднородной системы.Вычисляем производную и подставляем ее в уравнение неоднородной системы: (x) + Y (x) C (x) ;y (x) = Y (x) CСистема линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записана в векторной формеoн(x)yoн (x) + Y (x) C (x) = A (x) Y (x) C (x) + f (x) .= Y (x) CТак как фундаментальная матрица удовлетворяет уравнениюоднородной системы, то Y (x) = A (x) Y (x).
Поэтому в последнем уравнении для yон = (x) (как и всегда в методе вариации)сокращается пара слагаемых A(x)Y (x)C(x).Получаем уравнениеY (x) C (x) = f (x). Так как фундаментальная матрица не вырождена ((det Y (x) = W (x) = 0)), то уравнение для определения (x) имеет видвектора C (x) = Y −1 (x) f (x) .CИнтегрируя это уравнение, получаем1C (x) = Y −1 (x) f¯ (x) dx + C(здесь предполагается, что при вычислении интеграла вектор кон 1 ).стант не добавляется, он уже добавлен в виде вектора CПодставляя C(x) в yoн , получаем1) =yoн (x) = Y (x) ( Y −1 (x) f¯ (x) dx + C 1 + Y (x) Y −1 (x) f (x) dx.Y (x) C12418. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙС ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИy = Ay ,где⎛⎞⎛⎞a11 .
. . a1ny1A = ⎝ . . . . . . . . . . ⎠ ; y = ⎝ . . . ⎠ ,an1 . . . annynили в покоординатной формеy1 = a11 y1 + . . . + a1n yn ;........................yn = an1 y1 + . . . + ann yn .Будем искать решение системы в виде⎞⎛α1y = e λx α, α = ⎝ . . . ⎠ .αnПодставляя y в уравнение системы в векторной форме, находимλe λx α = Ae λx α; e λx (A α − λ α) = 0; A α = λα.Получено уравнение для определения соответствующего собственному значению λ собственного вектора α ( α = 0) линейногооператора с матрицей A. Система уравненийA α = λ α, или (A − λE) α = 0125имеет ненулевое решение только когда определитель системы равеннулю, т. е.|A − λE| = 0.Это уравнение характеристическим уравнением системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
В развернутом виде его можно записать так: a11 − λa12...a1n a21a22 − λ . . .a2n = 0. ............ an1an2. . . ann − λ Характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение n-го порядка относительно λ. Из основной теоремывысшей алгебры известно, что оно имеет ровно n корней. Часть корней может быть действительными корнями, часть — комплексными, но комплексные корни встречаются только парами комплексносопряженных корней. Это следует из действительности коэффициентов характеристического уравнения и теорем Виета.Рассмотрим случай, когда все собственные значения λ1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
