Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 28
Текст из файла (страница 28)
известный из теории поля поток векторного поля правых частейсистемы — фазовых скоростей. Приведенная формула аналогичнаформуле Остроградского — Гаусса в теории поля.Если divf (y ) = 0, то Vx = const.Если f (y ) = A (x) y , то divf (y ) = TrA (x) = a11 (x) + . . . ++ ann (x). Это⎛дает формулу⎞для определения фазового объема⎝V (x) = C expTrA (x) dx⎠, что совпадает с формулой ОстроDxградского — Лиувилля определителя Вронского для линейных автономных систем. Поэтому определитель Вронского имеет смыслфазового объема (определитель всегда имеет смысл некоторогообъема, вспомним хотя бы смысл смешанного произведения векторов).17. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙНеоднородную систему линейных дифференциальных уравнений можно записать в видеy = A (x) y + f (x) .Однородную систему линейных дифференциальных уравненийможно записать в видеy = A (x) y .Все теоремы для линейных систем аналогичны соответствующим теоремам для линейных дифференциальных уравнений высших порядков.
Этого и следовало ожидать, так как система дифференциальных уравнений сводится к дифференциальному уравнению высшего порядка.Рассмотрим теоремы о свойствах решений однородной и неоднородной системы.Теорема. Если yo1 , yo2 — решения однородной системы, тоyo1 + y02 , λyo1 , λy02 — решения однородной системы.Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем(yo1 + yo2 ) = y01+ y02= A (x) yo1 + A (x) y02 == A (x) (y01 + y02 ) ;(λy01 ) = λy01= λA (x) y01 = A (x) (λy01 ) .Теорема. Если y0, yн — решения однородной и неоднороднойсистем, то y0 + yн — решение неоднородной системы.Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем(y0 + yн ) = y o + y н == A (x) y0 + A (x) yн + f (x) = A (x) (y0 + yн ) + f (x) .Теорема. Если yн1 , yн2 — решения неоднородной системы, тоyн1 − yн2 — решение однородной системы.114115Д о к а з а т е л ь с т в о.
Запишемпо столбцам которого расположены векторы(yн1 − yн2 ) = yн1− yн2== A (x) yн1 + f (x) − A (x) yн2 + f (x) = A (x) (yн1 − yн2 ) .Теорема. Множество решений линейной однородной системыесть линейное пространство.Д о к а з а т е л ь с т в о. Из теорем о свойствах решений видно, чтооперации сложения и умножения на число на решениях однородной системы определены корректно.
Легко проверяется ассоциативность по сложению, а также существование «нуля» — тривиального решения y (x) ≡ 0, существование «противоположного элемента» (−y (x)), коммутативность по сложению. Отсюда следует, чторешения однородной системы образуют коммутативную группу посложению (4 аксиомы линейного пространства). Существует единица — число и справедлива ассоциативность по умножению начисло (еще 2 аксиомы).
Наконец, справедлива дистрибутивность посложению решений и чисел (последние 2 аксиомы линейного пространства). Таким образом, выполнены все 8 аксиом для корректно введенных операций сложения решений и умножения решенияна число. Следовательно, множество решений однородной системыобразует линейное пространство.Заметим, что точно так же доказывалась аналогичная теоремадля дифференциального уравнения n-го порядка (см. разд. 14).Функции y1 (x) , . . . , yn (x) называются линейно независимыми,еслиλ1 ȳ1 (x) + .
. . + λn ȳn (x) ≡ 0 ⇒ λ1 = 0, . . . , λn = 0.Функции y1 (x) , . . . , yn (x) называются линейно зависимыми,если∃λ1 , . . . , λk = 0, . . . , λn : λ1 y1 + . . . + λn yn ≡ 0.Введем определитель Вронского y11 (x) . . . yn1 (x)W = . . ....... y1n (x) . . . ynn (x)116,⎛⎛⎞⎞y11 (x)yn1 (x)y1 (x) = ⎝ . . . ⎠ , . . . , yn (x) = ⎝ . . . ⎠ .y1n (x)ynn (x)Введем также матрицу⎛⎞y11 (x) . .
. yn1 (x).... . . ⎠ ; W (x) = det Y (x) .Y (x) = ⎝ . . .y1n (x) . . . ynn (x)Теорема. Если функции y1 (x) , . . . , yn (x) линейно зависимы,то W (x) ≡ 0.Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функции линейно зависимы, тоодна из них линейно выражается (тождественно) через остальные,поэтому соответствующий столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные. Тогда по свойству определителяW (x) ≡ 0.Теорема. Пусть y1 (x) , . . .
, yn (x) — решения однородной системы и ∃x0 : W (x0 ) = 0, тогда решения y1 (x) , . . . , yn (x) линейно зависимы.Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как W (x0 ) = 0, его столбцы в x0линейно зависимы, т. е. ∃λ1 , . . . , λk = 0, . . . , λn : λ1 y1 (x0 ) + . . . ++ λn yn (x0 ) ≡ 0.Рассмотрим решение y̆ (x) ≡ λ1 y1 + . . . + λn yn с теми же коэффициентами.Функция y̆ (x) — решение однородной системы как линейнаякомбинация решений однородной системы (теоремы о свойствахрешений). Начальные условия для этого решения в точке x0 — нулевые. Но есть решение однородной системы (тривиальное решение y (x) ≡ 0), имеющее те же начальные условия.
Следовательно,по теореме Коши решение y̆ (x) и является тривиальным решением. Тогда y̆ (x) ≡ λ1 y1 + . . . + λn yn ≡ 0, (λk = 0), следовательно,решения y1 (x) , . . . , yn (x) линейно зависимы.117Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишемпо столбцам которого расположены векторы(yн1 − yн2 ) = yн1− yн2== A (x) yн1 + f (x) − A (x) yн2 + f (x) = A (x) (yн1 − yн2 ) .Теорема. Множество решений линейной однородной системыесть линейное пространство.Д о к а з а т е л ь с т в о. Из теорем о свойствах решений видно, чтооперации сложения и умножения на число на решениях однородной системы определены корректно.
Легко проверяется ассоциативность по сложению, а также существование «нуля» — тривиального решения y (x) ≡ 0, существование «противоположного элемента» (−y (x)), коммутативность по сложению. Отсюда следует, чторешения однородной системы образуют коммутативную группу посложению (4 аксиомы линейного пространства). Существует единица — число и справедлива ассоциативность по умножению начисло (еще 2 аксиомы). Наконец, справедлива дистрибутивность посложению решений и чисел (последние 2 аксиомы линейного пространства).
Таким образом, выполнены все 8 аксиом для корректно введенных операций сложения решений и умножения решенияна число. Следовательно, множество решений однородной системыобразует линейное пространство.Заметим, что точно так же доказывалась аналогичная теоремадля дифференциального уравнения n-го порядка (см. разд.
14).Функции y1 (x) , . . . , yn (x) называются линейно независимыми,еслиλ1 ȳ1 (x) + . . . + λn ȳn (x) ≡ 0 ⇒ λ1 = 0, . . . , λn = 0.Функции y1 (x) , . . . , yn (x) называются линейно зависимыми,если∃λ1 , . . . , λk = 0, . . . , λn : λ1 y1 + . .
. + λn yn ≡ 0.Введем определитель Вронского y11 (x) . . . yn1 (x)W = . . ....... y1n (x) . . . ynn (x)116,⎛⎛⎞⎞y11 (x)yn1 (x)y1 (x) = ⎝ . . . ⎠ , . . . , yn (x) = ⎝ . . . ⎠ .y1n (x)ynn (x)Введем также матрицу⎛⎞y11 (x) . . . yn1 (x).... . . ⎠ ; W (x) = det Y (x) .Y (x) = ⎝ . . .y1n (x) . . .
ynn (x)Теорема. Если функции y1 (x) , . . . , yn (x) линейно зависимы,то W (x) ≡ 0.Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функции линейно зависимы, тоодна из них линейно выражается (тождественно) через остальные,поэтому соответствующий столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные. Тогда по свойству определителяW (x) ≡ 0.Теорема.
Пусть y1 (x) , . . . , yn (x) — решения однородной системы и ∃x0 : W (x0 ) = 0, тогда решения y1 (x) , . . . , yn (x) линейно зависимы.Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как W (x0 ) = 0, его столбцы в x0линейно зависимы, т. е. ∃λ1 , . . . , λk = 0, . . . , λn : λ1 y1 (x0 ) + . . . ++ λn yn (x0 ) ≡ 0.Рассмотрим решение y̆ (x) ≡ λ1 y1 + . . . + λn yn с теми же коэффициентами.Функция y̆ (x) — решение однородной системы как линейнаякомбинация решений однородной системы (теоремы о свойствахрешений). Начальные условия для этого решения в точке x0 — нулевые.
Но есть решение однородной системы (тривиальное решение y (x) ≡ 0), имеющее те же начальные условия. Следовательно,по теореме Коши решение y̆ (x) и является тривиальным решением. Тогда y̆ (x) ≡ λ1 y1 + . . . + λn yn ≡ 0, (λk = 0), следовательно,решения y1 (x) , . . . , yn (x) линейно зависимы.117Следствие. Равенство определителя Вронского нулю для решений однородной системы хотя бы в одной точке — критерий линейной зависимости решений, отличие определителя Вронского отнуля для решений однородной системы хотя бы в одной точке —критерий линейной независимости решений.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ∃x0 : W (x0 ) = 0, тогда решения y1 (x) , . .
. , yn (x) линейно зависимы. Если решенияy1 (x) , . . . , yn (x) линейно зависимы, то W (x) ≡ 0 по теореме о равенстве определителя Вронского нулю для системы линейно зависимых функций. Заметим, что тогда ∃x0 : W (x0 ) = 0 ⇒ W (x) ≡ 0.Пусть ∃x0 : W (x0 ) = 0. Если решения y1 (x) , . . . , yn (x) линейно зависимы, то W (x) ≡ 0 (пришли к противоречию).
Пустьрешения линейно независимы. Если ∃x0 : W (x0 ) = 0, то решенияy1 (x) , . . . , yn (x) линейно зависимы (пришли к противоречию).Теорема. Размерность пространства решений однородной системы равна n.Д о к а з а т е л ь с т в о. Надо доказать, что: 1) существуют nлинейно независимых решений однородной системы; 2) любое решение однородной системы линейно выражается через эти линейнонезависимые решения.Докажем первое утверждение теоремы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
