Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 23
Текст из файла (страница 23)
. , kn действительны и различны, то соответствующие им частные решениябудут равны y1 = ek1 x , . . . , yn = ekn x . Покажем, что эти решениялинейно независимы. Составим определитель Вронского в виде ek1 xek2 x...ekn xkxkxkx12nk2 e. . . kn e k1 eW (x) = =............ n−1 k1 x k1 ek2n−1 ek2 x . . . knn−1 ekn x 11...1 k...kk12n(k+...+k)xn=e 1=... ... ... ...
n−1 k1k2n−1 . . . knn−1 &(ki − kj ) = 0.= e(k1 +...kn )x1j<inПолученный определитель известен в алгебре как определительВандермонда, он равен нулю только когда какие-либо из корней совпадают. Так как корни различны, то определитель Вронского неравен нулю, следовательно, решения y1 = ek1 x , . . . , yn = ekn x линейно независимы и составляют фундаментальную систему решений. Поэтомуyoo = C1 ek1 x + . . . + Cn ekn x .97уравнение, получаем характеристическое уравнениеkxy2 = u ekx + kuekx = eu + ku ;y2 = ekx u + ku + ku + k 2 u = ekx u + 2ku + k 2 u ;ekx u + 2ku + k 2 u + p u + ku + qu == ekx u + u (p + 2k) + u k 2 + pk + q = 0.Так как k — корень характеристического уравнения, то k 2 + pk ++ q = 0. Так как k еще и кратный корень, то по теореме Виетаk1 + k2 = k + k = 2k = −p.
Поэтому p + 2k = 0.Для определения u (x) имеем уравнение u = 0, отсюда u (x) == ax + b. Выберем a = 1, b = 0, получим u (x) = x.Следовательно, y2 = u (x) ekx = xekx . Решения y1 , y2 линейнонезависимы, так как yy21 = x = m.Общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратного корня можно записать по формулеyoo = ekx (C1 + C2 x) .П р и м е р ы. Найти общее решение следующих уравнений:1) y − y = 0, k 2 − 1 = 0, k1,2 = ±1, y1 = ex , y2 = e−x ,yoo = C1 ex + C2 e−x ;2) y − 5y + 6y = 0, k 2 − 5k + 6 = 0, k1 = 2, k2 = 3, yoo == C1 e2x + C2 e3x ;3) y + y = 0, k 2 + 1 = 0, k1,2 = ±i, y1 = cos x, y2 = sin x,yoo = C1 cos x + C2 sin x;4) y + 2y + 5y = 0, k 2 + 2k + 5 = 0, k1,2 = −1 ± 2i,y1 = e−x cos 2x, y2 = e−x sin 2x, yoo = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) ;5) y + 2y + y = 0, k 2 + 2k + 1 = 0, k1,2 = −1, y1 = e−x ,y2 = xe−x , yoo = e−x (C1 + C2 x) .Рассмотрим теперь линейное однородное дифференциальноеуравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами.y (n) + a1 y (n−1) + .
. . + an−1 y + an y = 0.Будем искать его решение в виде y = ekx . Дифференцируяисходное уравнение и подставляя результат в дифференциальное96k n + a1 k n−1 + . . . + an−1 k + a.Каждому корню характеристического уравнения будет соответствовать определенное слагаемое в общем решении однородногоуравнения.
Если корень кратный кратности r, то такому корню будет соответствовать группа из r слагаемых в общем решении.Если среди корней характеристического уравнения есть простой действительный корень k1 , то ему соответствует частное решение y1 = ek1 x в фундаментальной системе решений и слагаемоеC1 ek1 x в общем решении однородного уравнения yoo .Если все корни характеристического уравнения k1 , .
. . , kn действительны и различны, то соответствующие им частные решениябудут равны y1 = ek1 x , . . . , yn = ekn x . Покажем, что эти решениялинейно независимы. Составим определитель Вронского в виде ek1 xek2 x...ekn xkxkxkx12nk2 e. . . kn e k1 eW (x) = =............ n−1 k1 x k1 ek2n−1 ek2 x . . . knn−1 ekn x 11...1 k...kk12n(k+...+k)xn=e 1=...
... ... ... n−1 k1k2n−1 . . . knn−1 &(ki − kj ) = 0.= e(k1 +...kn )x1j<inПолученный определитель известен в алгебре как определительВандермонда, он равен нулю только когда какие-либо из корней совпадают. Так как корни различны, то определитель Вронского неравен нулю, следовательно, решения y1 = ek1 x , .
. . , yn = ekn x линейно независимы и составляют фундаментальную систему решений. Поэтомуyoo = C1 ek1 x + . . . + Cn ekn x .97Если среди корней имеется действительный корень k кратностиr, то ему соответствуют частные решения y1 = ekx , y2 = xekx ,y3 = x2 ekx , . . . , yr = xr−1 ekx и группа слагаемых в общем решенииyoo = . .
. + ekx C1 + C2 x + C3 x2 + . . . + Cr xr−1 + . . .Если среди корней имеется простая пара комплексно-сопряженных корней k1 = α + iβ, k2 = α − iβ, то им соответствуют частные решения в фундаментальной системе решений y1 = e αx cos βx,y2 = e αx sin βx и группа слагаемых в общем решенииyoo = . . . + e αx (C1 cos βx + C2 sin βx) + . . .Если среди корней имеется простая пара комплексно-сопряженныхкорней k1 = α + iβ, k2 = α − iβ, то им соответствуют частныерешения в фундаментальной системе решенийy1 = e αx cos βx, y2 = e αx sin βx и группа слагаемых в общемрешенииyoo = .
. . + e αx [(C1 cos βx + C2 sin βx) . . .Если среди корней имеется пара комплексно-сопряженных корней k1 = α+iβ = α−iβ, кратности r, то им соответствуют частныерешения в фундаментальной системе решенийy1 = e αx cos βx, y2 = e αx sin βx, y3 = e αx x cos βx,y4 = e αx x sin βx . . . y2r−1 = e αx xr−1 cos βx, y2r = e αx xr−1 sin βxи группа слагаемых в общем решенииyoo = . . . + e αx [(C1 cos βx + C2 sin βx) + xC3 cos βx++ C4 sin βx) + . . . + xr−1 (C2r−1 cos βx + C2r sin βx)] + . . .П р и м е р .
Решить уравнение y (4) − y = 0. Получаем:− 1 = (k − 1) (k + 1) (k − i) (k + i) = 0, k1 = 1, k2 = −1,k3 = i, k4 = −i, y1 = ex , y2 = e−x , y3 = cos x, y4 = sin x,yoo = C1 ex + C2 e−x + C3 cos x + C4 sin x.П р и м е р . Решить уравнение y (6) − y (4) = 0. Получаем:6k − k 4 = k 4 (k − 1) (k + 1) = 0, k1,2,3,4 = 0, k5 = 1, k6 = −1,k4y1 = 1, y2 = x, y3 = x2 , y4 = x3 , y5 = ex , y6 = e−x ,23xyoo = C1 + C2 x + C3 x + C4 x + C5 e + C6 e98−x.Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентамиy (n) + a1 y (n−1) + . . . + an−1 y + an y = f (x) .Теорема о наложении частных решений. Пусть y1 (x) — решение неоднородного уравнения с правой частью f1 (x), y2 (x) —решение неоднородного уравнения с правой частью f2 (x). Тогдаy1 (x) + y2 (x) — решение неоднородного уравнения с правой частью f1 (x) + f2 (x) .Д о к а з а т е л ь с т в о.
Подставим y1 (x)+y2 (x) в неоднородноеуравнение:(y1 (x) + y2 (x))(n) + a1 (x) (y1 (x) + y2 (x))(n−1) + . . .. . . + an (x) (y1 (x) + y2 (x)) == (y1 (x))(n)+ a1 (x) (y1 (x))(n−1) + . . . + an (x) (y1 (x)) ++ (y2 (x))(n) + a1 (x) (y2 (x))(n−1) + . . . + an (x) (y2 (x)) == f1 (x) + f2 (x) .По теореме о структуре решения неоднородного уравненияyон (x) = yoo (x) + yчн (x).
Общее решение однородного уравнениямы строить умеем. Остается подобрать частное решение неоднородного уравнения по известной правой части. При этом можновоспользоваться доказанной теоремой. Если правая часть уравнения f (x) представляет собой сумму функций, то можно искатьчастные решения, соответствующие каждому слагаемому суммы, азатем сложить найденные частные решения.Если правая часть уравнения f (x) имеет специальный вид, томожно применить метод подбора формы частного решения.Рассмотрим сначала неоднородное уравнение второго порядкаy + py + qy = f (x) .Пусть правая часть представляет собой квазиполиномf (x) = Pn (x) e αx ,99Если среди корней имеется действительный корень k кратностиr, то ему соответствуют частные решения y1 = ekx , y2 = xekx ,y3 = x2 ekx , .
. . , yr = xr−1 ekx и группа слагаемых в общем решенииyoo = . . . + ekx C1 + C2 x + C3 x2 + . . . + Cr xr−1 + . . .Если среди корней имеется простая пара комплексно-сопряженных корней k1 = α + iβ, k2 = α − iβ, то им соответствуют частные решения в фундаментальной системе решений y1 = e αx cos βx,y2 = e αx sin βx и группа слагаемых в общем решенииyoo = . . .
+ e αx (C1 cos βx + C2 sin βx) + . . .Если среди корней имеется простая пара комплексно-сопряженныхкорней k1 = α + iβ, k2 = α − iβ, то им соответствуют частныерешения в фундаментальной системе решенийy1 = e αx cos βx, y2 = e αx sin βx и группа слагаемых в общемрешенииyoo = . . . + e αx [(C1 cos βx + C2 sin βx) . . .Если среди корней имеется пара комплексно-сопряженных корней k1 = α+iβ = α−iβ, кратности r, то им соответствуют частныерешения в фундаментальной системе решенийy1 = e αx cos βx, y2 = e αx sin βx, y3 = e αx x cos βx,y4 = e αx x sin βx . . . y2r−1 = e αx xr−1 cos βx, y2r = e αx xr−1 sin βxи группа слагаемых в общем решенииyoo = .
. . + e αx [(C1 cos βx + C2 sin βx) + xC3 cos βx++ C4 sin βx) + . . . + xr−1 (C2r−1 cos βx + C2r sin βx)] + . . .П р и м е р . Решить уравнение y (4) − y = 0. Получаем:− 1 = (k − 1) (k + 1) (k − i) (k + i) = 0, k1 = 1, k2 = −1,k3 = i, k4 = −i, y1 = ex , y2 = e−x , y3 = cos x, y4 = sin x,yoo = C1 ex + C2 e−x + C3 cos x + C4 sin x.П р и м е р . Решить уравнение y (6) − y (4) = 0. Получаем:6k − k 4 = k 4 (k − 1) (k + 1) = 0, k1,2,3,4 = 0, k5 = 1, k6 = −1,k4y1 = 1, y2 = x, y3 = x2 , y4 = x3 , y5 = ex , y6 = e−x ,23xyoo = C1 + C2 x + C3 x + C4 x + C5 e + C6 e98−x.Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентамиy (n) + a1 y (n−1) + . . . + an−1 y + an y = f (x) .Теорема о наложении частных решений.
Пусть y1 (x) — решение неоднородного уравнения с правой частью f1 (x), y2 (x) —решение неоднородного уравнения с правой частью f2 (x). Тогдаy1 (x) + y2 (x) — решение неоднородного уравнения с правой частью f1 (x) + f2 (x) .Д о к а з а т е л ь с т в о. Подставим y1 (x)+y2 (x) в неоднородноеуравнение:(y1 (x) + y2 (x))(n) + a1 (x) (y1 (x) + y2 (x))(n−1) + . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
