Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 22
Текст из файла (страница 22)
.+Cn (x) yn(n−1) (x) == −L (C1 y1 + . . . Cn yn ) + f (x) .yoн (x) = C1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x) .C1 (x) y1 (x)(x) + . . . + Cn (x) yn(n−1) (x)в неоднородное уравнение (y n ) = −Ly + f (x), получаемВарьируем произвольные постоянные, ищем решение неоднородного уравнения в виде (x)yoн(x) + . . . + Cn (x) yn(n−1) (x) .C1 y1+ . . . + Cn yn(n−1) = f (x) .Так как определитель системы — определитель Вронского, не равный нулю в силу линейной независимости решений, то функцииC1 (x) , .
. . , Cn (x) определяются из этой системы однозначно.Теперь общее решение неоднородного уравнения представляютв виде yoн (x) = C1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x).9315. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИНачнем изучение линейных дифференциальных уравнений спостоянными коэффициентами с однородных уравнений второгопорядка. Дело в том, что в приближенных инженерных расчетах,в инженерной практике, в исследованиях процессов и систем часто проводят анализ линейных систем, моделями которых служатлинейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами первого и второго порядка. Вспомним, например, чтовся механика строится на втором законе Ньютона, который можнозаписать в виде дифференциального уравнения второго порядка.Основные элементарные функции являются решениями уравненийпервого и второго порядков.
Экспонента является решением уравнения ẋ = ax, а sin x, cos x, shx, chx — решениями уравненийвида ẍ ± x = 0.Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядкаy + py + qy = 0.Будем искать его решение в виде y = ekx . Подставляяy в дифkx2ференциальное уравнение, получаем ek + pk + q = 0. Так какekx = 0, то выполняется соотношение k 2 + pk + q = 0, котороеназывается характеристическим уравнением. Решая его, получаемкорни p 2pk1,2 = − ±− q.22Здесь возможны три случая: корни k1 , k2 действительны и различны, k1 = α + iβ, k2 = α − iβ — комплексно-сопряженныекорни; k1 = k2 — действительный кратный корень.В случае действительных и различных корней получаем решенияy1 = ek1 x , y2 = ek2 x .94Для того чтобы доказать, что решения составляют фундаментальную систему решений и общее решение записывается в видеyoo = C1 ek1 x + C2 ek2 x ,надо проверить линейную независимость решений y1 , y2 .
Составим определитель Вронского: y1 y2 ek1 xek 2 x W == y y k ek1 x k ek2 x1212 1 1 = e(k1 +k2 )x k k12== (k1 − k2 ) e(k1 +k2 )x = 0,так как k1 = k2 .Заметим, что для уравнения второго порядка проверить линейную независимость можно проще. Надо показать, что отношениеy1= m не является константой. Тогда столбцы определителяy2Вронского линейно независимы и W = 0. В нашем случае k1 = α++ iβ, k2 = α − iβ при k1 = k2 .В случае комплексно-сопряженных корней k1 = α + iβ, k2 == α − iβ, применяя формулу Эйлера eiz = cos z + i sin z, получаем комплексно-сопряженные решения y 1 = e αx (cos βx + i sin βx),y 2 = e αx (cos βx − i sin βx). Так как линейная комбинация решений линейногооднородногоуравнения тоже является решением, то1 1αxy1 = 2 y 1 + y 2 = e cos βx, y2 = 2i(y1 − y2 ) = e αx sin βx —решения.
Они линейно независимы, поскольку yy12 = ctg βx = 0.Следовательно, общее решение линейного дифференциальногоуравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексныхкорней можно записать по формулеyoo = e αx (C1 cos βx + C2 sin βx) .В случае кратного действительного корня k1 = k2 = k одно изрешений можно выбрать в форме y1 = ekx .Второе решение будем выбирать в виде y2 = u (x) ekx . Подставим в дифференциальное уравнение, чтобы определить u (x):9515. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИНачнем изучение линейных дифференциальных уравнений спостоянными коэффициентами с однородных уравнений второгопорядка. Дело в том, что в приближенных инженерных расчетах,в инженерной практике, в исследованиях процессов и систем часто проводят анализ линейных систем, моделями которых служатлинейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами первого и второго порядка.
Вспомним, например, чтовся механика строится на втором законе Ньютона, который можнозаписать в виде дифференциального уравнения второго порядка.Основные элементарные функции являются решениями уравненийпервого и второго порядков. Экспонента является решением уравнения ẋ = ax, а sin x, cos x, shx, chx — решениями уравненийвида ẍ ± x = 0.Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядкаy + py + qy = 0.Будем искать его решение в виде y = ekx . Подставляяy в дифkx2ференциальное уравнение, получаем ek + pk + q = 0. Так какekx = 0, то выполняется соотношение k 2 + pk + q = 0, котороеназывается характеристическим уравнением.
Решая его, получаемкорни p 2pk1,2 = − ±− q.22Здесь возможны три случая: корни k1 , k2 действительны и различны, k1 = α + iβ, k2 = α − iβ — комплексно-сопряженныекорни; k1 = k2 — действительный кратный корень.В случае действительных и различных корней получаем решенияy1 = ek1 x , y2 = ek2 x .94Для того чтобы доказать, что решения составляют фундаментальную систему решений и общее решение записывается в видеyoo = C1 ek1 x + C2 ek2 x ,надо проверить линейную независимость решений y1 , y2 . Составим определитель Вронского: y1 y2 ek1 xek 2 x W == y y k ek1 x k ek2 x1212 1 1 = e(k1 +k2 )x k k12== (k1 − k2 ) e(k1 +k2 )x = 0,так как k1 = k2 .Заметим, что для уравнения второго порядка проверить линейную независимость можно проще.
Надо показать, что отношениеy1= m не является константой. Тогда столбцы определителяy2Вронского линейно независимы и W = 0. В нашем случае k1 = α++ iβ, k2 = α − iβ при k1 = k2 .В случае комплексно-сопряженных корней k1 = α + iβ, k2 == α − iβ, применяя формулу Эйлера eiz = cos z + i sin z, получаем комплексно-сопряженные решения y 1 = e αx (cos βx + i sin βx),y 2 = e αx (cos βx − i sin βx). Так как линейная комбинация решений линейногооднородногоуравнения тоже является решением, то1 1αxy1 = 2 y 1 + y 2 = e cos βx, y2 = 2i(y1 − y2 ) = e αx sin βx —решения. Они линейно независимы, поскольку yy12 = ctg βx = 0.Следовательно, общее решение линейного дифференциальногоуравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексныхкорней можно записать по формулеyoo = e αx (C1 cos βx + C2 sin βx) .В случае кратного действительного корня k1 = k2 = k одно изрешений можно выбрать в форме y1 = ekx .Второе решение будем выбирать в виде y2 = u (x) ekx .
Подставим в дифференциальное уравнение, чтобы определить u (x):95уравнение, получаем характеристическое уравнениеkxy2 = u ekx + kuekx = eu + ku ;y2 = ekx u + ku + ku + k 2 u = ekx u + 2ku + k 2 u ;ekx u + 2ku + k 2 u + p u + ku + qu == ekx u + u (p + 2k) + u k 2 + pk + q = 0.Так как k — корень характеристического уравнения, то k 2 + pk ++ q = 0.
Так как k еще и кратный корень, то по теореме Виетаk1 + k2 = k + k = 2k = −p. Поэтому p + 2k = 0.Для определения u (x) имеем уравнение u = 0, отсюда u (x) == ax + b. Выберем a = 1, b = 0, получим u (x) = x.Следовательно, y2 = u (x) ekx = xekx . Решения y1 , y2 линейнонезависимы, так как yy21 = x = m.Общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратного корня можно записать по формулеyoo = ekx (C1 + C2 x) .П р и м е р ы. Найти общее решение следующих уравнений:1) y − y = 0, k 2 − 1 = 0, k1,2 = ±1, y1 = ex , y2 = e−x ,yoo = C1 ex + C2 e−x ;2) y − 5y + 6y = 0, k 2 − 5k + 6 = 0, k1 = 2, k2 = 3, yoo == C1 e2x + C2 e3x ;3) y + y = 0, k 2 + 1 = 0, k1,2 = ±i, y1 = cos x, y2 = sin x,yoo = C1 cos x + C2 sin x;4) y + 2y + 5y = 0, k 2 + 2k + 5 = 0, k1,2 = −1 ± 2i,y1 = e−x cos 2x, y2 = e−x sin 2x, yoo = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) ;5) y + 2y + y = 0, k 2 + 2k + 1 = 0, k1,2 = −1, y1 = e−x ,y2 = xe−x , yoo = e−x (C1 + C2 x) .Рассмотрим теперь линейное однородное дифференциальноеуравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами.y (n) + a1 y (n−1) + .
. . + an−1 y + an y = 0.Будем искать его решение в виде y = ekx . Дифференцируяисходное уравнение и подставляя результат в дифференциальное96k n + a1 k n−1 + . . . + an−1 k + a.Каждому корню характеристического уравнения будет соответствовать определенное слагаемое в общем решении однородногоуравнения. Если корень кратный кратности r, то такому корню будет соответствовать группа из r слагаемых в общем решении.Если среди корней характеристического уравнения есть простой действительный корень k1 , то ему соответствует частное решение y1 = ek1 x в фундаментальной системе решений и слагаемоеC1 ek1 x в общем решении однородного уравнения yoo .Если все корни характеристического уравнения k1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
